初中数学中考100题压轴题精选

2011年中考数学压轴题100题精选

【001】如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33（a≠0）经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为

t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

y M D C

P A O Q B x 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

Q D E B A C P

图16

【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过

点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

【004】如图，已知直线l1:y?28x?与直线l2:y??2x?16相交于点C，l1、l2分别交x轴于33A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与

点B重合．（1）求△ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关

t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

y A O l2 E C D l1

B F （G） x （第26题）

【005】如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.

MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周①当点N在线段AD上时（如图2），△P长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

N

A A A D D D E B

图1 A E B

图4（备用）

D F C

B

图5（备用）

F C

B

M

图2

E

P

F C B

E

P N

F

C

M 图3 D F C

（第25题） A

E

【006】如图13，二次函数y?x2?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

5。 4（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m

的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的

坐标；若不存在，请说明理由。

【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点

P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1） 求证：BE=AD；

（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

【009】一次函数y?ax?b的图象分别与x轴、y轴交于反比例函数y?

点M,N，与

k

的图象相交于点A,B．过点A分别作AC?x轴，AE?y轴，垂足分别为C,E；x

AC与BD交于点K，连接CD． 过点B分别作BF?x轴，BD?y轴，垂足分别为F，D，（1）若点A，B在反比例函数y?①S四边形AEDK?S四边形CFBK； ②AN?BM．

（2）若点A，B分别在反比例函数y?吗？试证明你的结论．

k的图象的同一分支上，如图1，试证明： xk

的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等xy y N E D A(x1，y1)B(x2，y2)

K O C F M E N F M O B(x3，y3) A(x1，y1)x C D K x （图1） （图2） ?3a)，【010】如图，抛物线y?ax2?bx?3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，对称轴是直线x?1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x，C，N为顶点的四边形为平行四边轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y??x?3与y轴的交点是

D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），B，E三点的圆交直线BC于点F，，经过A试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． y A O 1 ?3 C B x M 【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为

DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

A

D A G D A F D

B ①

F C B ②

E G E

F E C B ③

C 【012】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax2?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． y

D N

E A O x C F M B

0)B(1，，0)C(0，?2)三点． 【013】如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． y x O B 1 4 A ?2 C

【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；

（3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且

9顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

y y?x A M B O C (第26题)

N x

3)． 【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于

y 点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；

A （3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、 3 B B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象 上是否存在点E，

O 3 C 6 使四边

形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1?x 2S？若存在，求点 3D E的坐标；若不存在，请说明理由．

【017】如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点

C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

y B O A D x

，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． 018】如图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A(?1（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．

y

C

A B x O

【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，

延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m?S四边形CFGHS四边形CNMN；，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

12，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q33两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，

使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。 【021】如图，点P是双曲线y?k1x(k1?0，x?0)上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别

k2 （0＜k2＜|k1|）于E、F两点． x交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)； （2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记S2?S?PEF?S?OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

yDOACBx

【023】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点 y取最小值时，判断为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当

y△PQC的形状，并说明理由．

B

A

M

D

BEQD60° P 23题

Q C

AOPFCx24题 【024】如图，已知?ABC为直角三角形，?ACB?90?，AC?BC,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m?0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D． （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC?EC)为定值．

【025】如图12，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为

a（0?a?4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该

函数的图象．

y B D M B y B y O C A x O A 图12（2）

x O A 图12（3）

x

图12（1）

【026】如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH

（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3 （1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系.

【027】阅读材料：

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△

ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的2一半.解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=请说明理由.

B

D 1 O

1

A

x

y C 9S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，8

【028】如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【029】已知二次函数y?x?ax?a?2。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

2313，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 20)和点E(0，4)．动点C从点M(5，0)出【030】如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个

单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、

1t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），2连接PA、PB． y ①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

E

P

D A C B M O

【031】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3). 现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA 向终点A运动，设运动时间为t秒.

x

（1）填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ； （2）探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。

yDEAOCxB

【032】如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋

转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ C M A B N

2【033】已知抛物线y?x?2x?a（a?0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y?1x?a分2别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M? ， ?，N? ， ?； (2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点

D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y?x2?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. y y C A B? C N N′ N O O x B x D B B C A 第（34）题 A M M

第（2）题

备用图

【034】若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点.

，PA?3，PC?4，则PB的值为（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°________；

（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′. 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA?PB?PC. 【035】如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相

等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

【036】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，那么EF=2GO是否成立？5若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y D B A

E

x

O C 26题图 【037】已知平行于x轴的直线y?a(a?0)与函数y?x和函数y?又有定点P（2，0） .

（1）若a?0，且tan∠POB=

1的图像分别交于点A和点B，x1，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线y?x上9的抛物线中，已知线段AB=

8，且在它的对称轴左3边时，求出式

；

y随着x的增大而增大，试满足条件的抛物线的解析（3）已知经过A，B，P三抛物线，平移后能得到

点的

y?92x的图像，求点P5到直

线AB的距离。

【038】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形的形状是 ，

当α=90°时，

BP的值是 ． PQBP的值; PQ1BQ？2（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求

②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中,当0???180时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=

00若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．

【039】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上．

(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q

的坐标；(2)平移抛物线y?ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若

存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

【040】△ABC与△A?B?C?是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△ABC位置固定，△A?B?C?按y A 8 如图叠放，使斜边A?B?在直线MN上,顶点B?与点M重合。等腰直角△6 A?B?C?以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A?与点N重合。4 设x秒时，△A?B?C?与△ABC重叠部分面积为y平方厘米。

D C -4 -2 O -2 -4 2 B 2 4 x （1）当△A?B?C?与△ABC重叠部分面积为

32平方厘米时，求△2A?B?C?移动的时间；（2）求y与x的函数关系式；

(第24题)

（3）求△A?B?C?与△ABC重叠部分面积的最大值。 【041】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木

齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比 公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的 路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的 函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达 石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比 出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

y（1） 请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 千米）与所用时间x（小时）的函数图象．

y115?0 1 2

3 4 5 6 7 8 x

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

【042】如图9，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

C(0，2) （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D

y B P 三点的抛物线的解析式；

O A(4，0) x （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何 D 处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长； 图9

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使?CPN?90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

【043】已知函数y1?x，y2?x2?bx?c，?，?为方程y1?y2?0的两个根，点M?1，T?在函数y2的图象上． （Ⅰ）若??，??131，求函数y2的解析式； 2112（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；

（Ⅲ）若0?????1，当0?t?1时，试确定T，?，?三者之间的大小关系，并说明理由．

12

x–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂2直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置． 【044】如图9，已知抛物线y=

(1) 求直线l的函数解析式； (2) 求点D的坐标；

(3) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

045】如图，已知直线y?抛物线y?1x?1与y轴交于点A，与x轴交于点D，212x?bx?c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两2点，且B点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

图9

M的坐标。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点

【046】如图，已知直线l1:y?28x?与直线l2:y??2x?16相交于点C，l1、l2分别交x轴于33A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与

点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时

间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

y l2 l1 D E C B F （G）A O x 【047】如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合）， （1）压平后得到折痕MN．当

CE1AM?时，求的值． CD2BN 方法指导：

为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

BN 类比归纳

CE1AMCE1AM?，?，则的值等于 ；若则的值等CD3BNCD4BNCE1AM?（n为整数）于 ；若，则的值等于 ．（用含n的式子表示） CDnBN在图（1）中，若

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设示）

AB1CE1AM??m?1?，?，则的值等于 ．（用含m，n的式子表BCmCDnBNF

A M F

D

A

M D E

E

B

B

N 图（2）

C

N 图（1）

C

【048】如图11，抛物线y?a(x?3)(x?1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。

【049】已知：抛物线y?ax2?bx?c?a?0?的对称轴为

x??1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中

A??3，0?、C?0，?2?．（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重

△PDE的面积为S．合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，求

S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

y E D A

Q

O A P B x

B C 50题

F C 【050】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?6cm，CD?4cm，BC?BD?10cm，点P

由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0?t?5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

2S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 25（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ?【051】如图14（1），抛物线y?x?2x?k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，?3）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］

2（1）k? ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线y?x2?2x?k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线y?x2?2x?k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

图14（1） 图14（2） 图14（3）

，0)，B(2，0)，C(0，?2)，直【052】已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象经过点A(1线x?m（m?2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由． y

x O

，0)，B(3，0)，【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?c（a?0）经过A(?1C(0，3)三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作

y D y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

B A （2）如果P点的坐标为(x，y)，△PBE的面积为s，求s与x ?3 ?2 ?1 O 1 2 3 x ?1 的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值； （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P?，请直接写出P?点坐标，并判断点P?是否在该抛物线上． 【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分 别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到

C 3 2 E 1 P 点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线y??12x?bx?c 4经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）． （1）求抛物线对应的函数关系式． （2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．

（3）当0＜t≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．

【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，

2)，点C(?1，0)，如图所示：抛物线y?ax2?ax?2经过点B． 且点A(0，（1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是 以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

y A （0，2） B yBAPODC

x

（－1，0） C x 图 56

（第25题）

2【056】如图18，抛物线F：y?ax?bx?c的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点 A、 D得到抛物线F′：y?a?x?b?x?c?，抛物线F′与x轴的另 B、 一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)； ⑵若a、b、c满足了b?2ac ①求b：b′的值；

22

【088】如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(11)，、B(31)，．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线．．OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0?t?4），△OPQ（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式； （2）求S与t的函数关系式；

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【089】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax2?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． y y y E D N G O B A B x A O F E A O x Q C M C D F N M y=kx+1 B 图（9）-2 图（9）-1

与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

x 【090】如图（9）-1，抛物线y?ax2?3ax?b经过A（?1，0），C（3，?2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线y?kx?1(k?0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；

（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥x轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．

【091】已知二次函数y＝x2－x＋c．

(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值； (2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E

两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当22≤OP≤2＋2时，试判断直线DE与抛物

3

线y＝x2－x＋c＋8的交点个数，并说明理由．

【092】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(

32，1)， B(s，t)，C(

72，0)，抛物线y=x2

＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数． (1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC； ．．(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围． y

321-1O-112345x（第24题）【093】已知在平面直角坐

标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A?3，????、C?0，4?，点D的坐标为D??5，??，点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线

DP的函数解析式；

（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若

设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答． yyCBCBDOAxDOAx备用图

【094】在平面直角坐标系中，已知A(?4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点

C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式 （2）求点D的坐标

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与xy 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？ 【095】）如图1，已知：抛物线y?12x?bx?c与 2A ?4 2 O C B 1 D x x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C 两点的直线是y?1x?2，连结AC． 2（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、 C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明

理由．

y y A C O B x A O B x C

图1 图2(备用)

（第26题） 【096】如图12，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形

ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，

同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t．．．．．≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图13所示）.

5① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

2② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

P · C B y M C y N M B D O (A) 图12 E x D O A 图13 E x

【097】矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图13所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)，

C(0，?3)，直线y??（1）求点D的坐标；

3x与BC边相交于D点． 49x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

（2）若抛物线y?ax?2

y A 6 C 图13 D B y??3 x4O ?3 x 【098】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.

（1）当t=4时，求直线AB的解析式；

（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不

存在，请说明理由.

y y

A A · D

O M B C x O

备用图

x

【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提．．．．．．．．．．．．．．．．

出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；

若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个．．

图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？

(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n．．．．．．．．．

（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）. 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之. (3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是

出点C和点E重合的条件，并说明理由.

D B m E C G A O C 第25题图1

第25题图2

O A

O F B

ABC 的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找

D 第25题图3

100】抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，与x轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于x的一元二次方程

(m?a)x2?2bx?(m?a)?0有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM的形状，并说明理由。

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标。

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