第6章+滤波器组基础

第6章 滤波器组基础

6.1 滤波器组的基本概念

一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。

x(n) 0(nx(n)x0

1(nx(n)x1

(n)x M 1(n)xM 1(n) x

图6.1.1 滤波器组示意图，（a）分析滤波器组，（b）综合滤波器组。

假定滤波器H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的频率特性如图6.1.2（a）所示，x(n)通过这些滤波器后，得到的x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)将是x(n)的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。若H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的频率特性如图6.1.2（b）所示，那么，x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)的频谱相互之间将有少许的混迭。由于H0(z)，

H1(z)，…，HM 1(z)的作用是将x(n)作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。例如，若图6.1.1中的M 2，那么，在图6.1.2中，H0(z)的频率特性将分别占据0~

2

和

2

~ 两个频段，前者对应

低频段，后者对应高频段。这样得到的x0(n)将是x(n)的低频成份，而x1(n)将是其高频

150

成份。我们可依据实际工作的需要对x0(n)和x1(n)作出不同的处理。例如，若我们希望对x(n)编码，设x(n)的抽样频率为20KHz，若每个数据点用16bit，那么每秒钟需要的码

M

M

图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a）无混迭，（b）稍有混迭

流为320Kbit。若x(n)是一低频信号，也即x(n)的有效成份（或有用成份）大都集中在

x0(n)内，x1(n)内含有很少的信号能量。这样，我们可对x0(n)仍用16bit，对x1(n)则

用8bit，甚至是4bit，由于x0(n)和x1(n)的带宽分别比x(n)减少了一倍，所以，x0(n)和

x1(n)的抽样频率可降低一倍。这样，对x0(n)编码的数据量是160Kbits，对x1(n)，若

用4bit，则数据量为40Kbits。总的数据量为200Kbits，这比320Kbits减少了约37%。 在图6.1.1（b）中，M个信号x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)分别通过滤波器G0(z)，

G1(z)，…，GM 1(z)，所产生的输出分别是y0(n)，y1(n)，…，yM 1(n)。这M个信

号相加后得到的是信号x(n)。显然，G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)是综合滤波器组，其任务是将M个子信号x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)综合为单一的信号x(n)。

前已述及，将x(n)分成M个子带信号后，这M个子带信号的带宽将是原来的M。因

151

此，它们的抽样率可降低M倍。这样，在分析滤波器组H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)后还应分别加上一个M倍的抽取器，如图6.1.3所示。图中H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)等工作在抽样频率fs状态下，而 0(n)，…， M 1(n)是处在低抽样频率状态（fsM）下。我们希望重建后的信号x(n)等于原信号x(n)，或是其一个好的近似，那么，首先应保证x(n)和x(n)的抽样频率一致。因此，在综合滤波器组G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)之前还应加上一个M倍的插值器，如图6.1.3所示。图中中间部分的信号重新作了定义。该图即是一个完整的M通道滤波器组。

图中H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的作用一方面是将原x(n)分成M个子带信号，另一方面是作为抽取前的抗混迭滤波器。同理，G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)一方面起到信号重建的作用，但实质上是插值后去除映像的滤波器。

图6.1.3 M通道滤波器组

也许读者会问，图中M倍抽取后又紧跟M倍的插值，二者的作用不是抵消了吗？实际上不是如此。前已述及，对x(n)分解成x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)后再抽取，得到

0(n)，…， M 1(n)，其目的是在低抽样频率状态下针对它们能量分布的特点给出不同

的处理（例如编码）。这些处理或编码后的信号在送到插值器之前可能要经过很长的传输距离，因此图中的抽取和插值环节都是必要的。

将信号x(n)通过分解、处理和综合后得到x(n)，我们希望x(n)=x(n)，例如，在通

152

信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。当然，要求x(n)=x(n)是非常困难的，也几乎是不可能的。如果x(n) cx(n n0)，式中c和n0是常数，即x(n)是x(n)纯延迟后的信号，我们称x(n)是x(n)的准确重建（Perfect Reconstruction，PR）。实现PR的滤波器组就称为PR系统。

在图6.1.3的系统中，x(n)对x(n)的失真主要来自如下三个方面：

1. 混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及x(n)的抽样频率fs不能大于其最高频率成份的M倍所致；

2 .幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致；

3. 对x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)作M倍抽取后再作处理（如编码）所产生的误差（如量化误差）。

上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关，因此，我们在本书中不作讨论。在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是着重消除其中的一种。在本章，我们则集中讨论和滤波器组有关的一些基本概念，给出相关的定义与公式。至于滤波器组本身的讨论，则留待第七、第八两章。

除了上面谈到的几种失真外，读者肯定还会问起一个问题：即图6.1.3中的2M个滤波器是否要一一设计？每一路的滤波是否要逐一计算？如果是这样，其设计任务和计算量岂不是非常大？

为了回答上述问题，我们用DFT滤波器组（这是一种其基本概念为大家所熟知，且又是均匀的滤波器组）为例来给出相关的内容。

6.2 DFT滤波器组

均匀DFT滤波器组是一种典型的滤波器组，它的基本思路可推广到其它类型的滤波器组。DFT滤波器组有着不同的导出方法[15, 23]，现分别讨论之。

6.2.1 直接导出

在图6.1.3的M通道滤波器组中，我们先给定一低通滤波器H0(z)，其单位抽样响应为h0(n)，其频带为

M

~

M

，即带宽为

2

。设第k条支路上的分析滤波器为Hk(z)，M

153

并假定它和H0(z)有如下关系：

hk(n) h0(n)e

则 Hk(z) H0(ze

j

2 knM

(6.2.1)

(6.2.2)

j

2 M

k

) H0(zWM)

这样，对图6.1.3中的第k条支路，x(n)通过该支路后就变成一个窄带信号，其频谱在

2 kM~2 (k 1)M之间。如若将hk(n)的输出xk(n)再乘以e

j

2

knM

，这就等于将

xk(n)的频谱的中心移到 0的位置，因为其带宽仍是2 M，所以对xk(n)可作M倍

的抽取。图6.1.3中的第k条支路如图6.2.1所示。

由上一章的讨论，有

)

图6.2.1 M通道滤波器组中的第k条支路

k(n) xk(Mn)

xk(n) x(n)*hk(n)

2 kmM

所以

m

x(n m)h(m)e

j

k(n)

现将x(n)分成M个子序列，令

m

x(Mn m)h(m)e

j

2 M

(6.2.4)

m Mr l，r ~ ，l 0,1, ,M 1

则

M 1

j2

klM

k(n) x(Mn Mr l)h0(Mr l)e

l 0r

记 xl(n r) x(Mn Mr l)

(6.2.5a)

154

pl(r) h0(Mr l)

M 1

2

(6.2.5b)

jM则 k(n) xl(n r)pl(r) e

l 0 r

再记 tl(n)

M 1l 0

r

x(r)p(n r)

l

l

j2

klM

(6.2.5c)

则 k(n)

t(n)e

l

，k 0,1, ,M 1 (6.2.6)

这是一个M点的逆DFT，“时域”与“频域”序号分别是l和k，它们都在下标上。如果

我们把M倍抽取器移到滤波器的前面则可得到如图6.2.2的分析滤波器组。

0(n)

1(n)M 1(n)

图6.2.2 均匀DFT滤波器组

图中xl(n) x(Mn l)，pl(n) h0(n l)（注：因为图中将抽取环节移到滤波器的前面，所以（6.2.2b）式中的M可以去掉），tl(n) xl(n)*pl(n)。 现在来分析一下完成图6.2.2的运算所需的计算量。

由于Hk(z) H0(zWM)，即每一个分析滤波器都是由H0(z)依次移位得到的，因此，设计时只需设计一个原型低通滤波器H0(z)即可。

假定M 8，h0(n)的长度为48，则h1(n)，…，h7(n)的长度也是48，按图6.2.1，假定将M倍抽取器已移至滤波器之前，如图6.2.2的一条支路。那么，计算出一个uk(n)需要48次乘法，将n时刻的 0(n)，…， 7(n)全部求出需48*8=384次乘法。按图6.2.2的

155

k

结构，由于p0(n)，…，p7(n)的长度都等于488 6，所以将n时刻的t0(n)，…，t7(n)全部求出所需的乘法是6*8=48次。将t0(n)，…，t7(n)再作一个8点的DFT，所需乘法是

8

log28 12次。这样，完成图6.2.2的运算所需的乘法总共是48+12=60次，这比3842

图6.2.2的特点是，在求出n时刻的t0(n)，…，t7(n)后，通过DFT可依次求出

次大大减少。

0(n)，…， 7(n)，不需要一条一条支路的分别计算，从而节约了计算时间。

至此，我们已初步了解了均匀DFT滤波器组的基本概念，并看到用多相结构可以大大减少乘法次数。下面，我们从DFT概念自身来导出DFT滤波器组，并进一步了解该滤波器组的特点。

6.2.2 从DFT来导出均匀DFT滤波器组

给定信号x(n)，n 0,1, ,N 1，其DFT定义为

nk

X(k) x(n)WN

n 0N 1

X(0)，X(1)，…，X(N 1)是x(n)的DFT系数，它代表着x(n)中直流分量，基波，

二次谐波以及直至N 1次谐波分量的大小，它犹如用一个个中心频率在 k e极窄带的滤波器对x(n)滤波后的输出。

令si(n) x(n i)，i 0,1, ,M 1，将si(n)输入到一个DFT矩阵（M*M），设其输出为u0(n)，…，uM 1(n)，如图6.2.3所示，这是DFT滤波器组最简单的形式。

j2 kN

处的

x(n)

0(n)

1(n)2(n)M 1(n)

图6.2.3 DFT滤波器组最简单的形式

156

由该图及si(n)和x(n)的关系，有

M 1

uk(n)

s(n)W

ii 0

i

kiM

M 1

x(n i)W

i 0kM

kiM

(6.2.7)

M 1

及 Uk(z)

S(z) (zW

i 0

i 0

M 1

i

M 1

) iX(z) (6.2.8)

1 z m

令 H0(z) z 1

1 zi 0

则 U0(z) X(z)H0(z) 并有 Hk(z) H0(zWM) 及 Uk(z) X(z)Hk(z)

k

(6.2.9)

(6.2.10)

(6.2.11)

(6.2.12)

这样，在图6.2.3中由x(n)至ui(n)之间有一滤波器组（图中未画出）H0(z)，…，HM 1(z)。该滤波器组和（6.2.2）式有着相同的形式，都是由H0(z)作均匀移位的结果，因此，（6.2.11）式的Hk(z)也是均匀DFT滤波器组，其原型低通滤波器H0(z)由（6.2.9）式给出。该原型滤波器的频率响应是：

j

j (M 1)2

sin(

M)

(6.2.13)

H0(e) e

sin(2

其幅频响应为一周期的sinc函数，第一个傍瓣的衰减约为13dB，如图6.2.4（a）所示，而

Hk(ej ) H0(ej( 2 kM))

的幅频特性如图6.2.4（b）所示，图中k 1

(6.2.14)

现在来分析一下，uk(n)和x(n)的DFT系数X(k)之间的关系。由（6.2.7）式，

M 1

uk(n M 1)

s(n M 1)W

ii 0

kiM

M 1

x(n M 1 i)W

i 0

kiM

157

图6.2.4 DFT滤波器组的频率特性， （a）|H0(e

令M 1 i l，则上式变为

M 1l 0

j

j

（b）|H1(e)| )|，

uk(n M 1) W

式中X

(n)

k

M

klk(n)

x(n l)W WX(k) (6.2.15) MM

(k)表示由n为起点的M个数据x(n)，x(n 1)，…，x(n M 1)的DFT的

k

第k个系数，所以，uk(n M 1)和这M个点的DFT的第k个系数仅差一个W因子，二者的幅度完全一样。这样，图6.2.3的滤波器组恰是一个谱分析器，u0(n)，…，uM 1(n)是n时刻时就近的x(n)的M个数据的DFT的系数。这样，我们即把DFT滤波器组和DFT联系起来。

由（6.2.15）式，x(n l)，l 0,1, ,M 1的DFT恰是一个短时傅立叶变换的表达式，只不过式中的窗函数g(n,l) 1。可以设想，如果在（6.2.15）式中增加一非矩形的窗函数，那么将会减少Hk(e也可用滤波器组来实现。

j

)中的边瓣影响。另外，上述讨论告诉我们，短时傅立叶变换

6.2.3 从多相结构来导出DFT滤波器组

在图6.2.4中，Hk(e

j

)的主瓣宽度为4 M，若M过小，则Hk(z)之间将有着严

158

重的混迭。为减少混迭，需要增加M，M增大，则计算量随之增大，且由于M是滤波器的通道数，因此，也不能过于增大。这是由于（6.2.9）式中H0(z)的长度也是M所造成的。

假定H0(z)的长度为N，N M，我们将H0(z)分成多相结构，则

M 1

H0(z)

z

l 0

1

El(zM)

(6.2.13)

式中El(z)是el(n) h0(Mn l)，0 l M 1的z变换。由（6.2.11）式，有

Hk(z) H0(zW)

再由（6.2.8）式，有

M 1

kM

M 1l 0

(zW

kM) 1El(zM)

(6.2.14)

Uk(z)

z

l 0

l

kl

El(zM)X(z)WM (6.2.15)

（6.2.13）~（6.2.15）式的含意如图6.2.5所示。

x(0(n)1(n)M 1(n)

图6.2.5 DFT滤波器组的多相表示

由（6.2.9）式，由于h0(n) 1,1, ,1 ，所以

el(n) 1 El(z) 1

l 0,1, ,M 1 (6.2.16a) l 0,1, ,M 1

(6.2.16b)

这样，图6.2.3是图6.2.5的特殊情况，即图6.2.3中的El(z) 1没有画出。但按图6.2.5，

159

每一个el(n)的长度若为M，则h0(n)的长度将远大于M，从而减少了Hk(e混迭。若选E0(z) 1，则H0(e

j

j

)之间的

)可不必是简单的sinc函数。

有关DFT滤波器组的讨论见文献[15]及[23]。

6.3 常用名词及术语解释

6.3.1 最大抽取均匀滤波器组

设某一滤波器组有K个分析滤波器H0(z)，…，HK 1(z)，这K个滤波器若有关系

k

Hk(z) H0(zWK)

j

(6.3.1a)

K)

即 Hk(e

) H0ej( 2

，k 0,1, ,K 1

(6.3.1b)

则称该滤波器组为均匀滤波器组。x(n)经Hk(z)滤波后应作M倍的抽取，若M K，则又称该滤波器组为最大抽取均匀滤波器组（maximally decimated uniform filter bank）。

一个最大抽取均匀滤波器组的幅频响应如图6.3.1所示。

j )图6.3.1 最大抽取均匀滤波器组的幅频响应

我们在上一节讨论的DFT滤波器组，即是最大抽取均匀滤波器组，只不过其幅频响应是周期的sinc函数。

6.3.2 正交镜像滤波器组

一个两通道的滤波器组如图6.3.2（a）所示。如果有

160

H1(ej ) H0(ej( ))

则H0(e

j

(6.3.2)

)和H1(ej )是以 2为镜像对称的，如图6.3.2（b）所示。

(n)

图6.3.2 两通道滤波器组，（a）系统框图，（b）镜像对称的幅频响应

j

x(

若H0(e

)和H1(ej )二者没有重合，即当| | 2时|H0(ej )| 0，那么，

H0(ej )和H1(ej )是正交的。因此，这一类滤波器组又称为正交镜像滤波器组

（Quadrature Mirror filter bank，QMFB）。

实际上，若H0(e

j

)和H1(ej )有少量的重迭，如图6.3.2（b）所示，我们亦称它们

为QMFB。将这种情况推广到最大抽取均匀滤波器组，若它们的幅频响应仅有少许重迭，

如图6.3.1所示，我们也称它们为QMFB。

6.3.3 第M带滤波器

将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相，也即E0(z)恒为一常数c，即

M

H(z) c z lEl(zM)

l 1

M 1

(6.3.3)

那么，其单位抽样响应必有

h(Mn) e0(n)

c 0

n 0

其它

（6.3.4）

161

h(n)满足（6.3.4）式的滤波器称为“第M带滤波器（Mth filter）” 。（6.3.4）式的含意

是，除了在n 0这一点外，h(n)在M的整数倍处恒为零，如图6.3.3所示。

如果将这样一个滤波器接在一个L倍插值器后，且L M，如图6.3.4所示，那么

M 1 l

Y(z) H(z)X(z) c zEl(zM) X(zM)

l 1

M

(6.3.5)

c

h(n)

n

图6.3.3 某一Mth滤波器的单位抽样响应（M

3）

图6.3.4 H(z)为Mth滤波器时对插值后的滤波

该式意味着y(Mn) cx(n)，这就是说，将x(n)作L M倍的插值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为y在Mn处的值。若c 1，则y(Mn) x(n)，在

n的非M整数倍处，即是插值的结果。这一点请读者自行验证。 现在我们来证明有关Mth滤波器的一个定理。

定理6.1 若H(z)是一Mth滤波器，则

M 1k 0

H(zW

k

) 1

(6.3.6)

证明：将H(z)写成（5.5.3）的多相形式，由（5.5.4）式，有

el(n) h(Mn l) h(n) (n Mi l)，

i 0,1, ,M 1，l 0,1, ,M 1，n ~

162

因为 El(z)

n

e(n)z

l

n

所以 El(z)

n

n

h(n) (n Mi l)z

1 h(n) n 0 M1 M 1M

M 1

M 1 j2 k(l n)

e

k 0

n z

h(n)(zW

k 0n 0

kMkl

) nWM

M 1k 0

KMkl)WM

H(zW

当l 0时，E0(z) c，假定c M，则有

M 1k 0

H(zW

kM

) 1

于是定理得证。

若令H0(z) H(z)，Hk(z) H(zWM)，k 0,1, ,M 1，则H0，H1，…，HM 1

的幅频响应之和等于1，效果为一全通滤波器。Mth滤波器的这一特性被用于设计M通道滤波器组。Mth滤波器又称Nyquist（M）滤波器。

上述结论也可推广到更一般的情况。

假定H(z)的第k个多相分量Ek(z) cz

nk

k

，则

H(z) E0(zM) z 1E1(zM) cz kz Mnk z (M 1)EM 1(zM) (6.3.7)

这时，h(n)应有如下特点：

c

h(Mn k)

0

n nk

其它

(6.3.8)

对应图6.3.4，输出y(n)和输出x(n)有如下关系：

Y(z) czz

k

Mnk

X(z) z lEl(zM)X(zM)

M

l 0l k

M 1

(6.3.9)

163

及 y(Mn Mnk k) cx(n)

(6.3.10)

如果k 0，nk 0，则（6.3.8）~（6.3.10）式就简化成（6.3.3）式所对应的情况。

6.3.4 半带滤波器

在上一小节的Mth滤波器中，若令M 2，则所得的滤波器称为“半带滤波器（half bank filter）”。这时，（6.3.3）及（6.3.4）式变为：

H(z) c z 1E1(z2)

而

(6.3.11a)

e1(n) h(2n 1)

(6.3.12a)

c

e0(n) h(2n)

0

n 0

其它

(6.3.12b)

也就是说，该滤波器的h(n)除了在n 0处以外，所有偶序号处的值皆为零，如图6.3.5所示。

c

h(n)

n

图6.3.5 某一半带滤波器的h(n)

由定理6.1，有

H(z) H( z) 1

及 H(e

j

(6.3.13a)

) H(ej( )) 1

(6.3.13b)

，图b和图c亦是如此)如图6.3.6（a）所示，若H(z)的幅频特性(实际上取的是其“增益”

那么H( z)的幅频特性如图6.3.6（b）所示，它是H(e图形如图6.3.6（c）所示。

164

j

)移位后的结果。二者相加后的

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