§1-3高斯定理

§1-3 高斯定理

一、电场线 1、电场线

为了形象地描述电场，我们引入电场线这个概念。

1）电场线：电场中每一点的场强都有一定的方向，我们可以在电场中描绘一系列的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向都与该点处的场强的方向一致，这些曲线叫做电场线。（46页） 2）电场线的性质：（参考电磁证明描述） ⑴电场线起自正电荷（或来自无穷远），至于负电荷（或伸向无穷远），但不会在没有电荷的地方中断。 ⑵若带电体系中正、负电荷一样多，则由正电荷出发的全部电场线都集中到负电荷上去。 ⑶两条电场线不会相交。（提示：相交则该点处有至少两条不同切线，即同一点场强不同，不合理。）

⑷静电场中的电场线不形成闭合线。 2、电场线数密度

为了使电场线不仅能表示场强的方向，而且还可以表示大小，我们对电场线的疏密程度作如下规定：

在电场中任意一点处取一个垂直于场强的小面元ds，设穿过的电场线条数为。电场线数密度：通过某点单位垂直截面的电场线条数，即大小相同，即E?d?e。我们规定，作电场线图时，使任意一点的电场线数密度与该点场强dsd?e。 ds二、电通量

为了研究高斯定理，我们需要引入电通量的概念。 1、 电通量的定义

设为电场中任意一个面，图中标出了穿过这个面的电场线条数。我们把通过电场中某个面的电场线条数称为通过该面的电通量。通常用?e表示，定通量是个标量。 2、电通量的计算

S E ??1、 匀强电场中，平面S与E垂直 ?e?ES

????平面S与E垂直，如图（a），显然，垂直E的单位面积上的电场线条数（电场线

数密度）与面积的乘积等于通过该面的电场线的条数即通过该面的电通量?e?ES。

????????? 2、 匀强电场中，平面S与E不垂直 ?e?ES'?EScos??E?SS?Sn?????????????平面的法线n与E夹角为?????n,E??，如图（b），显然

????S S ???????，S'是S在垂直于方向上的投影。 ?e?ES'?EScos??E?SS?Sn??? S' E ?的规定： 关于法线n① 面上各点的法线与面处处垂直；

②曲面：由凸面向外； ③封闭面：由内向外。

? n? n? n? n3、 非匀强电场中，任意一曲面S

如图，设S为任意一个曲面，其上电场为非匀强电场，要计算通过该面的电通量，不能直接用上面的结果，而应当把该面划

??E ??分成无限多个面元dS，在每一个面元上，E可看成均匀的，若

? ndS S ?表示面元的法线，那么通过该面元的电通量用n???????，则通过S面的电通量d?e?EdScos??E?dSdS?dSn???e???EdScos????SS????E?dS

说明：从上式可见，因为cos?可正可负，故通过某一面的电通量可正、可负，也可为零。 4、 闭合曲面S 上式改写为?e????S????E?dS。

E n E ? dS ??0?说明：在电场线穿入曲面的地方，n与E的夹角??90,cos??0，∴?e为负； ??0?在电场线穿出曲面的地方，n与E的夹角??90,cos??0，∴?e为正。

三、高斯定理

了解了电通量的概念后，我们来讨论静电场中的一条重要定理——高斯定理。 1、 高斯定理的描述

? dS n 通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以?0，而与S以外的电荷无关。 即

???S???1E?ds??0?s内??q，其中???q是闭合曲面内部的电荷代数和

iis内下面分几种情况证明高斯定理 2、 高斯定理的证明

⑴通过包围单个点电荷q的任意闭合曲面S的电通量等于

q?0。

①通过包围单个点电荷q的同心球面的电通量等于

q?0（由高斯定理此通量应等于q?0，证明确实等于即可）

以所在处为中心，任意长r为半径做一球面，由库仑定律，球面上各点场强大小一样， 大小：E?q，方向：沿半径向外辐射。

4??0r02??E 1?????在球面上任取一面元ds,其法线n也沿半径向外,∴n与E间的夹角??0.?由此,通过ds的电通量

???1qd?e?E?ds?Edscos??Eds?ds,通过整个闭合球面的电通量

4??0r2q· r ds ?● n ???1q?e??E?ds???s4??0r2???sds?qq2,得证. 4?r?24??0r?01②（注:①高斯定理的成立与库仑的平方反比定律密切相关；②点电荷q对于包围它的球面的电通量与包围它的球面的半径r无关。即无论多大

的球面去包围点电荷q，总有q发出的全部电力线无一遗漏地从球面内穿出。）

由于球面和闭合曲面S都只包含电荷q，且它们之间无别的电荷，那么穿过球面的电场线也必然全部穿过S，即穿过球面的电通量?e也必然要穿过S，故通过包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量也等于⑵通过不包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量恒为0。

即q在闭合曲面S外，如图，这时闭合曲面可以分为两部分S1,S2，从S1穿入的电场线又全部从S2穿出，因此通过闭合曲面的电通量（电场线条数）为0，即?e?q S r1 1S r2 S2 q?0。

S ???s???E?ds?0。

? q 1⑶通过包围多个点电荷的任意闭合曲面S的电通量等于

?0?s内??q。

i如图，电场由n个点电荷激发，其中S面内有k个点电荷，面外有n?k个，则它们在S面上的面元dS处产生的总场强E?E1?E2?......?En

????????????上的投影为Ecos??Ecos??Ecos??......?Ecos?， 它们在法线n1122nn各电荷总的电场在dS面上的电通量为

d?e?Ecos?dS?E1cos?1dS?E2cos?2dS?......?Encos?ndS?d?e1?d?e2?......?d?en

对整个高斯面也是这样?e??e1??e2?......??en，

将（1）、（2）步的结论代入，S面内包围的前k个电荷（单独存在时）通过S的电通量分别为

?e?1q1?0,?e2?q2?0,......,?ek?qk?0

而S面外的电荷qk?1,......,qn，通过S的电通量均为0， 即?ek?1??ek?2?......??en?0。

因此n个点电荷同时存在时，通过S的总电通量为

?????Ek?1 ???Ek q1? ? dS ???E2 ???E1

? qk+1

q2 ? q?k ? ? ? qn ?

?e??e??e?......??e??e?......??e?12k?1k?2nq1?0?q2?0?......?qk?0?0?1?0?qi?i?1k1?0?s内??q，

i故?e????s???1E?ds??0?s内??q。

i⑷通过包围任意带电体的任意闭合曲面S的电通量也满足高斯定理

任意带电体均可分成许多电荷元dq，各电荷元可视作点电荷，与点电荷系情况相同，只不过若电荷连续分布，求和要变积分，?e????s???1E?ds??0????dq?1?0?????d?，?为闭合曲面S所包围的体积。

3、关于高斯定理的几点说明

?????（1）注意E本身与其通量?e????E?ds的区别

s高斯定理说明，闭合曲面外的电荷对通过闭合面的通量没有贡献，但这并不意味着这些电荷对闭合面上和

????闭合面内的场强E没有贡献。E不仅仅是由面内电荷产生的，而是由面内和面外所有电荷共同产生的。当

???????E?ds?0q?0E一定等于0（一般不为0）时，但不能认为闭合面上。 ?ie????s内?s（2）①当②若

?s内??s内??s内??q是代数和。

ii?q?q?0时，不能说面内一定无电荷。?qi?0?面内无电荷?而是正、负电荷代数和为0?。

?s内?i?0，并不意味着闭合面内一定没有负电荷，也不意味着闭合面上一定没有负的通量，但闭合面

的总通量肯定为正。③反之，若

?s内??s内??qi?0?面内无负电荷。

?qi?0，并不意味着闭合面内一定没有正电荷，也不意味着闭合面上一定没有正的通量，但

闭合面的总通量肯定为负。

?s内??qi?0?面内无正电荷。

例：判断下列说法是否正确

??A、如果高斯面上处处E为零，则该面内必无电荷； ??B、如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处E为零； ??C、如果高斯面上处处E不为零，则高斯面内必有电荷； ??D、如果高斯面内有电荷，则高斯面上处处E不为零。

? ? ? ? q ? ? S ?? 答案：均不一定。（A ，D以后面讲到的导体空腔为特例，腔内有带电体，在导体上取高斯面S，S上处处

??E为零，但S内有电荷）

三、高斯定理求场强

利用高斯定理可以求特殊情况下的场强

前面讲的求场强的方法叫做“叠加法”，利用高斯定理求场强的方法我们称为“Gauss法”。 应用条件：不是在任何情况下都可以用高斯定理求出场强，只有当电荷分布已知，且具有某种对称性时（或者说场强分布具有对称性时），才可由高斯定理求场强。

例1、一根无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为?，求距细棒为r处的电场强度。 解：（分析）由前无限长均匀带电直棒Ey??，场强方向与直棒垂直，场强大小只与场点到棒的垂直2??0a距离有关。因此对于无限长均匀带电直棒，在以棒的轴线为中心与棒垂直的圆周上，各点E的大小相等，方向沿矢径方向（垂直于轴线）呈辐射状。即

????E ??在以中心轴线为轴的同轴圆柱面上，各点E的大小相等，方向垂直

于轴线——轴对称性。（无限长均匀带电直棒、圆柱体、圆柱面） 高斯面：建立以中心为轴的同轴圆柱面作为高斯面。 ①以中心轴线为轴作一半径为r，高为l的柱形高斯面， ②运用高斯定理

RBl?n ???s???1E?ds??l （1）

r2r1S1?n ??E A?0?n ?n

③通过圆柱面的电通量等于通过圆柱侧面的电通量和通过两底面的电通量的代数和，即

S2???s????????????E?ds???E?ds???E?ds???E?ds

上下侧其中，∵电场线与两底面法线垂直，Edscos??0，∴

??上??????E?ds?0,??E?ds?0；

下侧????

圆柱侧面各点场强垂直于圆柱侧面向外与ds方向一致，??E?ds???Eds，

侧圆柱侧面各点场强大小相等，

??侧Eds?E??ds?E2?rl。

侧∴

???s1??????1代入（1）式得，即E?E2?rl??l，E?ds???E?ds?E2?rl。

侧?0?????，矢量式E? r。2??0r2??0r2讨论：无限长均匀带电直棒、圆柱体、圆柱面的场强分布都具有这样的轴对称性；建立高斯面时，都建立

以中心为轴的同轴圆柱面作为高斯面。 （分析）无限长均匀带电圆柱面可分成无数条与中心轴线平行的无限长细直棒，O为场点P到中心轴线的垂足，任意一对关于OP对称的直棒在P点产生的场强叠加后只有沿OP的分量，因此对整个圆柱面在P??点产生E的也只有沿OP的分量，并且由于电荷分布具有关于中心轴线的对称性，在以中心轴线为轴的同??轴圆柱面上，各点E的大小相等，方向垂直轴线——场强分布具有轴对称性。

无限长均匀带电圆柱体可以分成无数层圆柱面，因此其场强分布也具有轴对称性。 ① 无限长均匀带电圆柱体：

?r11?R22圆柱体内：E2?rl；圆柱体外：E2?r2l?。 ??rl，即E???Rl，即E?1??0?02?02?0r2121② 无限长均匀带电圆柱面：

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