第二讲 函数极限

第二讲 函数与函数极限

【知识要点】

1. 函数的概念，定义域、对应法则、值域；2. 复合函数与反函数；3. 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性；4. 函数极限的定义（6种）；5. 极限和左右极限的关系；6. 函数极限的性质；7. 函数极限存在的条件；8. 两个重要极限；9. 无穷小量与无穷大量；10. 无穷大量与无界的区别与联系；11. 无穷小量阶的比较；12. 函数渐近线的求法.

【典型例题】

例1 求复合函数f(g(x))和g(f(x)). （1）f(x)?sinx，g(x)?cosx；

?1,x?1?1,x?1?x,x?1（2）f(x)??，g(x)??；（3）f(x)?g(x)??；

0,x?1?0,x?1?5,x?1??x2,x?0?2?x,x?0（4）f(x)??，g(x)??.

2?x,x?0???x,x?0例2 求函数表达式

（1）已知f(x)?ex，f(?(x))?1?x，?(x)?0，求?(x)并写出它的定义域. （2）已知f(x)?sinx，f(?(x))?1?x2，求?(x)并写出它的定义域. （3）已知f(x?1)?x?1，求f(x). x例3 利用极限的四则运算性质求极限

2xex(2ex?1)ln(sin2x?ex)?x（1）lim；（2）lim；

x???1?(ex?1)2(1?ex)x???ln(x2?e2x)?2x?? （3）limcosx?1?cosx；（4）limx?????x???4x2?x?1?x.

x?sinx例4利用左右极限求函数的极限

?ex?11,x?0?1?exx?2xilf(x). lim（1）lim；（2）；（3）f(x)??求m0,x?0，1x?0x?0x??xx?1?x?11?e

,?1?x?0?x? 例5 利用重要极限求函数的极限

?x?3?(1)lim??x??x?2??x2x?1；(2)limxcotx；(3)lim?1?3x?x?02sinxx?01?1?x??2；(4)lim??； x???x??x3x2?52xxx??sin； (5)limcosx；（6）lim（7）limlim?coscos2?cosn?.

x??5x?3x?0n??x?0?x222?? 例6 利用等价无穷小替换求函数极限

?1?x??11?ex?1?1(1)limcotx?；(3)lim； ??；(2)lim2x?0x?0x?0xsinxx1?cos(x1?cosx)??x4?1?cosx????1ex?esinxln(1?x2)?ln(1?sin2x)2??(4)lim；(5)lim；(6)lim. 33x?0x?0x?0x?sinxxsinxln1?2x2x??例7 利用罗必达法则求不定式的极限 （1）limx?0ex?sinx?11?1?x2?11??arctanx?lim??；（2）；（3）lim???2x?0x?0ln(1?x)x?????ln(x?1?x)?x01x2；

?sinx? （4）lim??x?0x??cot2x?；（5）limx?0(e?1?t2)2dtxarctan4xt2；

??3??1?? （6）limx?sinln?1???sinln?1???.

x???x??x???例8 利用泰勒公式求不定式的极限 (1)limx?01?x?1?x?2； 2xx例9 确定极限等式中的常数

?x?2a?（1）已知lim???8，求a的值.

x??x?a???x2?? （2）已知lim??ax?b??0，求a，b的值. x???x?1?? （3）已知lim3x?ax2?bx?1?2，求a，b的值.

x????? （4）确定a，b，c的值，使limx?0 例10 求下列函数的渐进线

ax?sinx?c(c?0).

xln(1?t3)?btdtx3（1）f(x)?2；（2）f(x)?e?x?x.

x?1f(x)??ln?1??f(x)sinx??A（a?0，a?1） 例11 设lim?x，求lim2.

x?0x?0xa?11?2(x?1)arctan,x?0?x? 例12 f(x)??1,问a为何值时limf(x)存在？ x?0，a?0，

x?02?ln(1?ax),x?0?xsinx??ln(1?sin4x)?,x?0，则当 例13 设f(x)?x?sinxcosxcos2x，g(x)??x?0,x?0?x?0时f(x)是g(x)的（ ）

（A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小；

（C）同阶非等价无穷小； （D）等价无穷小. 例14 设f(x)，g(x)连续，且limx?0f(x)?1，又lim?(x)?0，试证：

x?ag(x)?（1）ex4?2x2?(x)0f(t)dt~??(x)0g(t)dt(x?a).

例15 确定下列无穷小的阶数（x?0）

（2）(1?tanx)?1；

2sinx（3）；（4）?0?1；

21?cosxx81?cosxsint2dt.

例16 已知函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)是_________. （A）奇函数；（B）偶函数；(C)非奇非偶函数；（D不能确定. 例17 设f(x)?a1sinx?a2sin2x???ansinnx, 且f(x)?sinx,

a1,a2,?,an为实常数, 证明:a1?2a2???nan?1.

例18 设f(x)在x?0附近有界,且满足方程f(x)?

12?x?f???x2, 求f(x). ?2?

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