弹性力学读书报告

《弹性力学》读书报告

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域.

弹性力学问题的求解主要是基于以下几个理论基础。

1.Newton定律

弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。

2.连续性假设

所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。

3.广义Hooke定律 所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。

Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。 弹性力学在不同的常用坐标系下有不同的基本方程。 1.直角坐标x，y，z

几何方程为

?u?v?w???,??,??yz?x?x?y?z??1??v?w?????yz??2?z?y??? ????1??w??u???zx2??z???x?1??u?v???xy?????2??y?x??平衡方程为

???x??yx??zx???fx?0??x?y?z?????xy??y??zy???fy?0 ??x?y?z??????zy??z??fz?0?xz??y?z???x应变协调方程为 ??2?yz?2??y?z??2?zx?2??z?x??2?xy?2???x?y?2??x????y?z?2???y??z?x????2?x????x?y????y?z222???z?y222?0????z?x22????x?z22?0?0??x?y2??y?x2????yz??zx??xy???????0?x??x?y?z?????zx??xy??yz???????0?y??y?z?x?????xy??yz??zx???????0?z??z?x?y?

Beltrami-Michell应力协调方程（无体力）为 11?22?????0,????,yx?0x,xxyz?1??1???11?22?,yy?0,??zx??,zx?0 ???y?1??1???11?22?????0,????,xy?0z,zzxy?1??1???其中???x??y??z。 以位移表示的弹性力学方程为

?21?u??1?2???1?2?v??1?2???1??2w?1?2??????u?v?w?1??fx?0????x??x?y?z?????u?v?w?1??fy?0 ????y??x?y?z?????u?v?w?1??fz?0????z??x?y?z??Papkovich-Neuber通解（无体力）为 ?1?u?P??P0?xP1?yP2?zP3?1?4(1??)?x??1?v?P??P0?xP1?yP2?zP3? ?24(1??)?y??1?w?P??P0?xP1?yP2?zP3??34(1??)?z?2其中?Pi?0(i?0,1,2,3)。

2.柱坐标r，?，z 单位矢量及其徽商

00r?icos??jsin?，???isin??jcos?

?r0?r?0，

?r0????，

0???r0?0，

??0????r

0基本关系

x?rcos?，y?rsin?，z?z

?ur?uxcos??uysin???u???uxsin??uycos? ??uz?uz几何方程和平衡方程分别为

??ur?uz1?u?ur??,???,???z?r?rr??r?z??11?ur?u?u???)??r??(?2r???rr ??uz1?u??rz?(r?)?2?z?r????1(?u??1?uz)?z?2?zr??????r1???r??zr?r??s????fr?0??rr???zr??2?r????r?1?????z?????f??0 ??rr???zr????1???z??z?rzrz????fz?0??rr???zr??应变协调方程为

22?2?2??z2?????1??z1??zzr???22??0?2?zr??r?r?r???zr?z22?????z??rrz???0?222?r?z?r?r?2?2???r????1?1?1?2(r)?(?)??(r)?0?2r222??r??r?rr?r?r?r?r ?2???z?1??r???1?(r?)???(1??zr)?1?(r2)?0?z?2?r???z?r?r?r?rr??r?r?z???22???????r????1?11?11?z??rzr(r)??2(r)?2??02?r?r?zr?zr?r??r??r???z?22??1??z?1??z?1??zr??r?()?r()???0?2?rr???rr?zr???z?z?3.球坐标r，?，? 单位矢量及其徽商

?r0?isin?cos??jsin?sin??kcos??0???icos?cos??jcos?sin??ksin? ?0????isin??jcos???r00??????0??r0??sin????????00??r???? ?0??0???cos?????0????0????0??00???rsin???cos?????基本关系

x?rsin?cos?，y?rsin?sin?，z?rcos?

?ur?uxsin?cos??uysin?sin??uzcos???u??uxcos?cos??uycos?sin??uzsin? ??u???uxsin??uycos?几何方程为

?ur????rr????1?u??ur??r??r??u?ur1cot?????u????rsin???rr? ?11?ur?u?u???r??(??)2r???rr???u?111?u?cot??????(??u?)2rsin???r??r???ur?u?u?11???(??)?r?2rsin????rr?平衡方程为

???r1???r1????rr??rsin???1???r?1??????r??rsin???r???1????1r????r??rsin????r???r??????????????cot?r3?r?r3?r?r??r??2?r??????r?fr?0?cot?r(?????)?f??0

??2cot?r????f??0应变协调方程为

22??r????????2?2?211?cot????1?1???222(?sin?)?(?sin?)???3(r??)??2(sin?)??2?r?0?2??r?22222222?????????r??????r?rrsin?rsin?rsin?rsin???rrrsin?r?22??????r2?2cot??1?11??rcot???r2(r?r?)?(r?)?(r)????0?2r?222222?r?rr?r??rr?rrsin???r?rsin??r??22?2?1??r1??r1?2????(r?r?)?2?2?2(r)?022?rr??r?rr?r?r?r???222?????r??r1?sin??1?2?1?()?(r)?(r)?(r?r?)?0222?r2????sin??r?r??sin?r?rrrsin??r???222??r????????r11?1?cos2?1??12(r)?2?(???sin?)?2(sin?)?2?r??2(r?)?022?rsin??r??sin???rsin???rsin??r??rsin???rsin?r????sin??2222?1??????r??1??rcot????11?12(?sin?)????(?sin?)??2?r??0??r?222222rsin??r????r?rrsin??r??????rrsin?rsin???r?

弹性力学的几个例题。

例题1. 设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁的应力。 解：边界条件： ???rr?a??q,?r??

??urr?b?0

?A???r2 ?r?? 1???u? ?rE?

2C,????Ar2r?a?0?2C,?r??0?A???2(1?2?)Cr?r???刚体

代入边界条件有： ?A?2C??q2? ?a?

??A?2(1?2?)Cb?0 ??b

22?ab(1?2?) q?A??22(1?2?)b?a?

?2a ?2C??q22? (1?2?)b?a?

将常数A、C代入，有

?r?Ar2?2C,????Ar2?2C,?r??022?ab11?2????q(?)?r2222(1?2?)b?abr??22ab11?2????q(?)2222??(1?2?)b?abr?r?a

例题2. 楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。 解：（1）应力函数 ? 的确定

由因次分析法，可知

代入相容方程：

得到：

22?ab11?2????q(?)??qr?2222(1?2?)b?aba??22ab11?2????q(?)2222??(1?2?)b?abr??(r,?)?rf(?)22yq2O??q2??21?1???2??0?2?2??rr?rr????421?df(?)df(?)??4??02?42r?d?d??422xdf(?)d?4?4df(?)d?2?0f(?)?Acos2??Bsin2??C??D 22??rf(?)?r(Acos2??Bsin2??C??D)

（2）应力分量的确定

??r??2Acos2??2Bsin2??2C??2D?????2Acos2??2Bsin2??2C??2D???2Asin2??2Bcos2??C?r?由对称性， ? r, ? ? 应为? 的偶函数； ? r 应为? 的奇函数，因而有 ?

??r??2Acos2??2D?????2Acos2??2D???2Asin2??r?B?C?0

（3）由边界条件确定常数

????0???2边界条件： ?? ??r?????q?2

q?代入，有： ?2Acos??2D?0?2A?sin??? 2Asin??q??2D??qcot??

代入应力分量式，有 ?cos2????q(?cot?)?r sin?? cos2????q(?cot?)?? sin?? sin2????q?r? sin??

例题3.曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力分量。 解：（1）应力函数的确定 PO任取一截面 ，截面弯矩为

M?Py?P?rsin? a Px

???M(?)f1(r)?f1(r)sin???f(r)sin?(a)br 222??将其代入相容方程： ??1??1???0?222??rr?rr?? ??

2 ?d4f(r)2d3f(r)?3df(r)3df(r)3????f(r)??sin??0432234 rdrrdrrdrr?dr? df(r)dr44y?2df(r)rdr33?3df(r)r22dr2?3df(r)r3dr?3r4f(r)?0

13上述欧拉方程的解： f ( r ) ? Ar ? B ? C r ? D r r （b） lnr

1??代入应力函数为 ? ? ? Ar 3 ? B ? C r ? D r ln r ? sin ? （c）

r??

（2）应力分量的确定

2 ? 1 ? ? 1 ? 2 B D ??2?(2Ar?3?)sin???r?2 r?rr??rr?2 ??2BD????(6Ar? ? 3 ? ) sin ? （d） ? 2

??rrr ???r?????1?????(2Ar?2BD

??r??r????r3?r)cos?边界条件： ????r?r?a?0,???r?r?a?0

?

????r?r?b?0,???r?r?b?0 ?代入应力分量得： ?? 2 Aa2BD ? a 3 ? a ? 0 （e）

??2Ab?2B ??b3?Db?0

端部条件（左端）： b ?a?P?br???0dr?a????0dr?0 代入剪应力分量得： ??Ar2?1?b ?B?Dlnr?r2??P?a

22?A(b2?a2)?Bb?aa2b2?Dlnb

a?P联立求解式（e）、（f），得：

22 A?P,B??PabP22

2N2N,D??N(a?b)

N?(a2?b2)?(a2?b2)lnb

a代入应力分量式（d），有： ?P2222 ??r?(r?a?b?ab)sin??Nrr3 ???P2222 ??(3r?a?b?ab)sin?Nrr3? ?222 ??Pr???(r?a?b2?ab)cos??Nrr3

?ba????0rdr?0（f）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b5cr.html