管理运筹学讲义：目标规划

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运 筹 学 课 件

运 筹 帷 幄 之 中 Multiple Objective Programming

决 胜

多目标规划

千 里 之 外

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第五章

多目标规划

线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大 或最小值的问题。

实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、 提高质量、提高劳动生产率等； 生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求 量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定 量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。

目标规划(Goal Programming) 在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版 的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中，首先提出的。2

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第一节

多目标线性规划

一、问题的提出 多目标线性规划 含有多个优化目标的线性规划。 线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。 多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。

例题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每种产品 的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示。试确定计划期内 的生产计划，使获得的利润最大。资源 设备 单位产品利润

产品

甲453

乙34

现有资源24

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第一节

多目标线性规划

解： 设x1 、 x2 分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立线规划模型如下：maxZ=5x1+4x2 4x1+3x2 ≤24 x1,x2 ≥0

假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目 标，则可建立如下的模型：maxZ1=5x1+4x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1,x2 ≥04

这些目标 之间相互矛盾， 一般的线性规划 方法不能求解

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第一节

多目标线性规划

二、求解思路 加权系数法 为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模 型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重 要程度。

优先等级法 将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模 型。

有效解法 寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策 者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有

效解的数目 太多而难以将其一一求出。

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第一节

多目标线性规划

三、目标规划法

加权系数法和优先等级法的结合 对每个目标函数确定一个希望达到的期望值(目标值 或理想值); 由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都 达到； 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表 示超过或未达到目标值的情况； 为区别各目标的重要程度，引入目标的优先等级和加 权系数； 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条 件中，组成新的约束条件； 从这组新的约束条件，寻找使组合偏差最小的方案。6

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第二节 目标规划的数学模型

一、目标规划的基本概念 目标函数的期望值 每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。

偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的期望值 之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没有达到 期望值，所以在dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。

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第二节 目标规划的数学模型

目标约束 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立新的目标函数方程。 ckj x j d k d k E * j 1 n

新的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束) 原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。 上例中，管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划 部门规定利润目标是20;第二个目标是充分利用设备台时，但尽量 少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位， 乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量：

5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4-- d4+ = 28

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第二节 目标规划的数学模型

目标达成函数 各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的 目标函数以求得有关偏差变量的最小值。 这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情 况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk-

都 尽 可 能 最 小 ， 将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函

数 中 ， 即 minSk=dk++dk- ; 若希望尽可能不低于期望值(允许超过),则负偏差变量dk- 尽 可能的小，而不关心超出量dk+ ,故只需将dk- 列入目标函数， minSk= dk- ; 若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正 偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ,故只需将dk+ 列入目标函数，minSk= dk+ 。9

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第二节 目标规划的数学模型

优先等级和权数 目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。 例如 第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ; 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2 ; 第三个目标：甲的产量不少于3,乙的产量比甲多2,优先级为P3 。 假设： 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3, 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。

minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥010

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第二节 目标规划的数学模型

二、目标规划的数学模型 min Z Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K Lk

绝对约束 目标约束 非负性约束

a xj 1 ij n j 1

n

j

( , )bi

i 1,2,..., m k 1,2,..., K

* ckj x j d k d k Ek

x j , d k , d k 0

j 1,2,..., n

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第三节 目标规划的解法

一、目标规划的图解法 只含有两个决策变量的目标规划模型 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小； 目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目 标集的折衷方案。 目标规划的图解法的思路 首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2 R1); 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1); 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1), 满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其 中的任一点均为这个目标规划的满意解。上海电力学院管理与人文学院

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第三节 目标规划的解法

目标规划的图解法的步骤 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ① x2 - - d += 24 ② 4

x1+3x2 +d2 2 ②B ③ d4+ ④ x1 +d3- - d3+ = 3 ③ - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④ d4d3+ d3x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 ⑤ ①

D

C

d2+

满意解：x1=18/7, x2=32/713

d2d1+ d1-

A

x1

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第三节 目标规划的解法

二、目标规划的单纯形法

目标规划与线性规划的数学模型的结构相似 可用前述单纯形算法求解目标规划模型： 将优先等级Pk视为正常数(大M法 ) 正负偏差变量dk+、dk-视为松弛变量 以负偏差变量dk-为初始基变量，建立初始单纯形表 检验数的计算与LP单纯形表检验数的计算完全相同， 即 j= cj - CBi Pj 最优性判别准则类似于LP的单纯形算法： 检验数一般是各优先等级因子的代数和

判断检验数的正负和大小14

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第三节 目标规划的解法

minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 划为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥015

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第三节 目标规划的解法cjXB d1d2d3d4b 20 24 3 2 0 x1 5 4 1 -1 0 x2 4 3 0 1 - P1 d11 0 0 0 0 d1+ -1 0 0 0 - P2 - P2 d2- d2+ 0 0 1 -1 0 0 0 0- 3P2

CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3

d30 0 1 0

0 d3+ 0 0 -1 0

- 5P2

d40 0 0 1

0 d4+ 0 0 0 -1

值 4 6 3 -

检验数 j- P1 - P2 0 - 5P3 d1d2x1 d45 12 3 5

+5 P1 +4 P1 0 +4 P2 +3 P2 -2 P3 +5 P30 0 1 0 4 3 0 1 1 0 0 0

-P1

0-2P2

0-3P3

0-5P3 0 0 0 1 0 -5P3 0 0 0 -1 1 3 -

-1 0 0 0 -P1

0 1 0 0 0

0 -1 0 0

-5 -4 1 1

5 4 -1 -1

检验数 j

0 +4 P1 0 +3 P2 +5 P3

-5 P1 +5 P1 -2P2 -4 P2 +4 P2 +2 P3 -5 P316

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第三节 目标规划的解法cjXB d3+ d2x1 d4b 1 8 4 6 0 x1 0 0 1 0 0 0 x2 4/5 -1/5 4/5 9/5 - P1 d11/5 -4/5 1/5 1/5 - P1 0 - P2 - P2 d1+ d2- d2+ -1/5 0 0 4/5 1 -1 -1/5 0 0 -1/5 0 0 0-2P2 -3P3 -5P3- 3P2

CB 0 - P2 0 - 5P3

d3-1 0 0 0

检验数 j0 0 0 - 5P3 d3+ d1+ x1 d43 10 6 8

0 d3+ 1 0 0 0 0

- 5P2

d40 0 0 1 0

0 d4+ 0 0 0 -1

值

10 -

-1/5P2 -4/5P2 +4/5P2 +9P3 +P3 -P3

检验数 j

0 0 1 0 0

3/4 -1/4 3/4 7/4

0 -1 0 0 - P1

0 1 0 0 0

1/4 5/4 1/4 1/4-P2

-1/4 -5/4 -1/4 -1/4-P2

-1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 4 0 8 0 -1 32/7

35/4P3

+5/4P3 -5/4P3 -3P317

-5P3

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第三节 目标规划的解法cjXB x2 d1+ x1 d4b 4 11 3 1 0 x1 0 0 1 0 0 0 x2 1 0 0 0 0 - P1 d10 -1 0 0 - P1 0 - P2 d1+ d20 1/3 1 4/3 0 0 0 -1/3 0-P2

CB 0 0 0 - 5P3

- P2 d2+ -1/3 -4/3 0 1/3-P2

0 d3- d3+ -4/3 4/3 -1/3 1/3 -1 1 7/3 -7/3

- 3P2

- 5P2

检验数 j0 0 0 - 3P3 x2 32/7 d1+ 78/7 x1 18/7 d3- 3/7

d40 0 0 1 0

0 d4+ 0 0 0 -1

值 3

-5/3P3 +5/3P326/3P3 -35/3P3

-5P3

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

检验数 j

0 -1 0 0 - P1

0 1 0 0 0

1/7 9/7 1/7 -1/7-P2

-1/7 -9/7 -1/7 1/7-P2

0 0 0 1 0

0 0 0 -1

4/7 1/7 -3/7 3/7 0

-4/7 -1/7 3/7 -3/7

-3/7P3 +3/7P318

-3P3 -26/7P3 -9/7P3

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第四节 目标规划的应用产品

在目标管理中的应用资源

甲

乙

现有资源

20 10 140 设备 10 8 售价 5 6 成本 6 10 最大需求量 经营目标 x2 x1 =6 P1:总利润不低于40, ④ ③ P2:充分利用设备能力，且尽量不超过140 D C x2 =10 如何安排生产？ minZ= P1 d1- + P2 (d2-+d2+ ) x1 ≤6 ① x2 ≤10 ② B (6,5) d2+ + 5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③ d1 20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④ d2- -, d + , d -, d + ≥0 x1 x 1 , x2, d1 1 d1 2 219

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第四节 目标规划的应用

满意解：x1 =6, x2 = 5 设备能力：需求：20 6+10 5=170,实际：140 实现目标P1和P2,降低甲乙产品的设备消耗:降低率(170-140)/170=18%, 甲产品的设备消耗降为20 (1-18%)=16.4, 乙产品的设备消耗降为10 (1-18%)=8.2。 生产部目标 甲产品的产量：6,成本：5 乙产品的产量：5,成本：6 总利润：40 单位甲：5 单位乙：2 技术部目标 甲产品的设备单耗：16.4 乙产品的设备单耗： 8.2 销售部目标 甲产品的销量：6,单价：10 乙产品的销量：5,单价： 820

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第四节 目标规划的应用

降低设备消耗很困难，则调整经营目标的次序 P1:充分利用设备能力，且尽量不超过140, P2:总利润不低于40 如何安排生产？资源 产品

甲 20 10 5 6

乙 10 8 6 10

现有资源 140x2 ④ ③ E x1 =6 d1+ d2+ x2 =10

设备 售价 成本 最大需求量

minZ= P2 d1- + P1 (d2-+d2+ ) x1 ≤6 x2 ≤10 5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 x1 , x2, d1-, d1+ , d2-, d2+ ≥0

① ② ③ ④

d1d2-

A (6,2)x121

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b5ae.html