上坡,下坡行程问题
更新时间:2024-04-12 11:50:01 阅读量: 综合文库 文档下载
问题 从甲地到乙地,先是上坡路,然后就是下坡路,一辆汽车上坡速度为每小时20千米,下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用9小时,从乙地返回到甲地共用7.5小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米?
先画出如右图形:图中A表示甲地,C表示乙地。从A到B是上坡路,从B到C是下坡路;反过来,从C到B就是上坡路,从B到A是下坡路。
由于从甲地到乙地用9小时,反过来从乙地到甲地用7.5小时,这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同,而且距离不同,因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。
在从A到B的路程中取一个点D,使得从D到B的距离等于从B到C的距离,这样A到D的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。
下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了:9-7.5=1.5(时)
从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡,而回来时从D到A变成了下坡,其它路途所用的总时间是一样的。
现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米,则时间少用1.5小时,由此可以求出什么?
如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”,那么速度为每小时35千米所用时间为:
由此就可以求出AD之间的距离为:
20×3.5=70(千米)
或 35×2=70(千米)
还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为:9-3.5=5.5(时)
或 7.5-2=5.5(时)
至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到
上坡所用时间为:
所以去时上坡的总路程就是:
70+20×3.5=140(千米)
下坡总路程是:35×2=70(千米)
上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”,而实现这一目的还可以通过“补”的方法。
将返回的路程补在去时路程的后面,画出右图:
这时全程去与回所用的时间都是:
9+7.5=16.5(时)
而且全程的上坡路程和下坡路程相等,都等于原来上下坡距离之和。设
为:
所以原来上下坡距离之和就是:
20×10.5=210(千米)
或 35×6=210(千米)
下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法,假设原来从A到C速度不变,都是每小时35千米,这样9小时所行路程应该为:
35×9=180(千米)
比实际距离少行了:
210-180=30(千米)
就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米,因此从B到C的时间为:
30÷(35-20)=2(时)
从A到B上坡的时间为:9-2=7(时)
由此上下坡的距离就不难求出了。
这个解法的思路是通过“补”,不仅使得上下坡距离相等,而且使得往返所用的时间相等。
解决本题的两个方法说明,在“变不同为相同”这个基本思想的指导下,手段可以是多种多样的。
下面再看一道类似的问题。
问题 如右图,从A到B是下坡路,从B到C是平路,从C到D是上坡路。小张和小王步行速度分别都是:上坡每小时4千米,平路每小时5千米,下坡每小时6千米。二人分别从A、D两点同时
王到达A后9分钟,小张到达D。求从A到D的全程距离。
首先发现二人平路上行走的距离相同,小张比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距离。
我们仿照上题思路,在CD上取一点F,使得CF距离等于AB距离,并画出如右图形:设从D到F下坡所用时间为“1”,则从F到D上坡所用时间为:
到F所用时间18分钟,因此可以求出平路的距离为:
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