浙大微积分1期末考（参考答案并不重要）

浙江大学2012-2013学年秋冬学期 微积分I期末试卷

1. 设y?(sin2x)x?(arcsin2x)4，求

dy； dx2. 设函数f(u)可导，y?y(x)是由方程y?3f(xy)?ln(1?sinx)所确定的可导函数，求

dy； dx?x?3t2?2t?3d2y?3. 设y?y(x)是由参数方程?所确定，求2t2dxt?y??(3u?1)sinudu?0?； ?4. 计算定积分??111?5x1?x??32dx；

5. 计算反常积分?16. 求极限lim?x?07. 求极限limx?0?1x2x?12dx；

?11??； ln(1?sinx)ln(1?sinx)??tanx?x1?1?x1cos2x3； 8. 求lim?sinx??x?2； (x?2)n9. 求幂级数?的收敛半径、收敛区间及收敛域； nn3n?1?10. 将函数f(x)?1展开成x的幂级数，并写出成立的开区间； 2x?2x?31?x2?x4ln(1?x2)dx； 11. 求不定积分?32x(1?x)12. 设f(x)?C[0,1]且恒正。试证明： （1） 存在??(0,1)使得以曲线y?f(x)为顶在区间[0,?]上的曲边梯形

面积等于以f(?)为高，以区间[?,1]为底的矩形面积； （2） 若增设f(x)可导且f?(x)?0，则（1）中的?是唯一的。

13. 设f(x)在区间?0,???内可导且f?(x)?0，F(x)??1xf(u)du??x11x1f(u)du. 2u（1） 求F??(x)（当x?0）；

（2） 讨论曲线y?F(x)在区间?0,???内的凹凸性并求其拐点坐标。 14. 设an??04tannxdx，n?2，

（1） 计算an?an?2，并证明??11，（当n?2）； ?an?2(n?1)2(n?1)（2） 证明级数?(?1)nan条件收敛。 n?2

浙江大学2011-2012学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷

一、求导数。

dyd2y1、（7分）设x?y?x?y?xy?1，求|(x,y)?(1,1),2|(x,y)?(1,1)。

dxdx33222、（7分）设y?arcsin2(3、（7分）设?(x)?二、求极限。

1、（7分）求limsinx?cosxdy。 )，求2dx2(n)，求?(x)。 2x?11?cosxcos2xcos3x x?01?cosx2cosxx?22、（7分）求lim。 x?0xlncosx三、求积分。

1、（7分）求?100.1|lnx|dx。 1?lnx)dx。 2、（7分）求?10cos(3、（7分）求?4、（7分）求?四、综合题。 1?lnx?x21dx。 lnx2(1?)xsinxdx。 1?sinxn1?(1?)?(1?)?(1?)。 1、（7分）求limn??1n2nnnx2n2、（6分）确定级数 1?x??的收敛范围与和函数。

n?2n(n?1)2??3、（6分）设曲线s的方程为

23?2x(t)?t?t?,0?t?1 ，求s的弧长。 3??y(t)?t?t2?

4、（6分）已知f（x）满足关系式

?x01。 f(x?t)(x?t)dt?sin(x2)，求函数f（x）

2五、证明题。

1、（7分）证明:在区间[0, 1]上导数连续的函数F（x），F（0）=F（1）=0，

（1）若F'(0?)?0，则存在某一?1?0，使得在（0,?1）上，F(x)?0。

1）（2）若F'(1?)?0，则存在某一?2?0，使得在（1??2，上，F(x)?0。

（3）若F'(0?)?0，F'(1?)?0，且F()<0，则在区间[0，1]上，除0,1外，F（x）至少还有两个零点。

2、（5分）f(x)是在[0，1]上连续的函数，并在（0，1）上三阶可导，满足 111f'(0?)?,f'(1?)?，f(0)?f(1)?0,f()?0

22212证明，在（0，1）上存在一点ξ，使得f'''(ξ)=6。

浙江大学2010-2011学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷

第1至第9题及第14题每题6分,第10至第13题每题10分 1．求曲线ln(y?x)?cos(xy)?x上点x?0处的切线方程. 2．设y?xln(1?x)，求y对x的10阶导数y3．求 limx?0(10)(x).

ln(1?x)?sinx31?x?11222．

4．求 lim(sinx?cosx)x．

x?0x?enx5．设当x??1时f(x)?lim，讨论f(x)的连续性． n???1?enx6.求

xcosx?sin2xdx.

7. 求

?1?1(x?2x)21?x2dx.

?(?1)n8. 设常数 a满足0?a?1,讨论级数?的收敛性,是条件收敛,还是绝对收敛,还n(1?a)nn?1是发散?应说明理由. 9. 试将函数f(x)?1 展开成x?2的幂级数,并写出其成立范围. 2x10. 设b为常数,且积分???1x2?bx?1(?1)dx收敛，并求b的值及该积分的值. x(x?2)S(x).

x???x11. 设S(x)?12. 设an??x0sintdt, (1) 求S(?)及S(n?)；(2) 求limn?1??10x(1?x)dx,n?1,2,?,(1) 求an； (2) 求?(?1)nnan.

n?113. 设f(x)在(??,??)上存在二阶导数,f(0)?0,f??(x)?0,证明: (1) f(x)至多有两个零点,至少有一个零点；（2）若f(x)的确有两个零点，则此两个零点必反号.（注：f(x)的零点就是方程f(x)?0的根）

?cosxsinx2dxI?14. 设常数??0,积分I1??2与2?01?x?dx, 01?x??试比较I1与I2的大小,是I1?I2,I1?I2,还是I1?I2,或者要由?而定,应说明推理过程.

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