2013-2014丰台期末数学文科含答案

丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习

高 三 数 学（文科） 2014.1

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)函数y?log2(4?x)的定义域为

(A)(??,0) (B)(0,??) (C)(??,4) (D)(4,??) (2)在复平面内，复数

i?1对应的点位于 i(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)经过圆(x-1)2+y2=1的圆心且与直线y=2x平行的直线方程是

(A)2x+y-2=0 (B)2x+y+2=0 (C)2x-y+2=0 (D)2x-y-2=0 (4)命题甲：f(x)是 R上的单调递增函数；命题乙：?x1

(C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件

uuuruuuro

(5)已知平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠DAB=60，则AB?AD等于 (A)23 (B)2 (C)3 (D)1

??(6)函数y?sin(x?)?cos(x?)的最大值是

633(A)2 (B)1 (C)3 (D)

2uuuruuurx2y2(7)设点F1，F2分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1?PF2ab的最小值为0,则椭圆的离心率为 (A)

2313(B)(C)(D)

2 2 2 4(8)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点 E是底面的边BC上的动点，设

BE??(0???1)，则满足 BCPPE⊥DE的λ值有

(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

A

ECB第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知等差数列?an?的首项a1?1，前三项之和S3?9，则an?____．

D1

?x?1,?(10)已知变量x,y满足?y?2,则z?x?y的最小值是___________.

?x?y?0,?(11)从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如下表，则这50人成绩的平 均数为__________,方差为__________.

分数 人数 5 10 4 5 3 15 2 15 1 5 开始 i=1,S=0 1（注：s2=[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，x为数据x1,x2,?,xn的平均

n数）

(12)若一个算法程序框图如右图，则输出的结果S为_____.

S?S?1 i(i?1)i<4 是 i=i +1 否 输出S 结束 (13)若一个底面是正三角形的三棱柱的三视图如下图所示，则其体积等于____.

(14)已知函数f(x)?lgx,g(x)?lnx,若f(a)?g(b),则下列五个关系式：①1?b?a； ②a?b?1； ③

1?a?b；④b?a?1；⑤a?b?1.

其中有可能成立的关系式有_____________.（请填写序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)（本题共13分）

在△ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a?23,c?22,

?A?60O.

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求b边的长.

(16) （本题共13分）

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于 A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点.

2

(Ⅰ) 若点E是AC的中点,求证：OE∥平面VBC； (Ⅱ) 若VA=VB=VC,求证：VO?平面ABC.

(17) （本题共13分）

某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号.已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元四、五、六3个楼层共5套房，其中四层有1套房，五层、六层各有2套房. （Ⅰ）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率； （Ⅱ）求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率. (18) （本题共14分）

11 已知函数f(x)?x3+ax2?2a2x.

32（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的极值点； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间. (19) （本题共14分）

已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

1（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为?,求证：直线AB过x轴上一定点.

2(20) （本题共13分）

某市实行机动车摇号购车政策，规定每年购车指标为24万个，设2014年初全市汽车保有量为500万辆，假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的4%，每年新购车辆数等于该年购车指标. （Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；

*（Ⅱ）设2014年初的汽车保有量为a1, n?1年后汽车保有量为ann?N,求证：数列{an?600}为

??等比数列；

（Ⅲ）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）.

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2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末

数学(文科)试题答案

一、选择题

CADA DBBC 二、填空题:

（9） 2n-1 （10） 2 （11） 3; 1.6 （12）45 （13）83（14）①②⑤

注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若答案中含有③④不得分.

三、解答题: (15)解： （Ⅰ）正弦定理

acsinA?sinC，-----------------------------------3分 所以sinC?csinAa?22sin60?23?22-------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理cosA?b2?c2?a22bc，----------------------------9分

得cos60??b2?8?1242b，解得，b=2?6.----------------------12分

B的值为2?6--------------------------------------------13分 (16)证明：

(Ⅰ)? O,E分别是AB和AC的中点，-----------1

?OE∥BC .----------------------------3分 又?OE?面VBC, BC?面VBC.-- -------5分 ?OE//面VBC. ---------------------- --6分 （Ⅱ）? VA=VB，∵ △ABC为等腰三角形，

又? O为AB中点，∴ VO⊥AB;----- --------8分

连接OC，在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC,

△VOA≌△VOC;- ---------------------------------------------------10分

∴ ∠V0A=∠VOC=90o

. ∴ VO⊥OC;-------------------------------------11分

4

? AB∩OC=O, AB?平面ABC, OC?平面ABC, --------------------12分

∴ VO⊥平面ABC. -----------------------------------------13分

(17)解：将这5套进行编号，记四层的1套房为a，五层的两套房分别为b1,b2,六层的两套房分别为c1,c2，

则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1), (b2,c2),(c1,c2)共10种.-----------------------------------7分

（注：写出5个以上情况的给4分，但不全的；按有顺序情况写出10个给4分，全部正确给8分） （Ⅰ）甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有2种，

1所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为.--------------10分

5 （Ⅱ）甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有6种，所以甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层

3的概率为.----------------------------13分

5(18)解：

11 （Ⅰ）当a?1时，f(x)?x3?x2?2x.------------------------1分

32所以f?(x)?x2?x?2.--------------------------------------3分 令f?(x)?0得，x1??2,x2?1.-------------------------------4分

f'(x)与f(x)变化规律如下表：

x f?(x) f(x) (-∞,-2) + ↑ -2 0 (-2,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) + ↑ 极大值 ↓ 所以函数f(x)的极大值点为-2，极小值点为1.-------------------6分 （Ⅱ）f?(x)?x2?ax?2a2 ---------------------------------------8分 令f?(x)?0,得x1??2a,x2?a.---------------------------------9分 （1）当a?0时,f?(x)?x2?0, f(x)在的单调递增区间为(??,??)-----10分 （2）当a?0时，f'(x)与f(x)变化规律如下表：

x

(-∞,-2a) -2a (-2a,a) a (a,+∞) 5

f?(x) + 0 - 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)------- 12分

（3）当a?0时，f'(x)与f(x)变化规律如下表：

x (-∞,a) a (a,-2a) -2a (-2a,+∞) f?(x) + 0 - 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a) 综上所述，当a?0时,f?(x)?x2?0,f(x)在R上单调递增；

当a?0时，f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞)，减区间是(-2a,a)；

当a?0时，f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞)，减区间是(a,-2a).--14分（无综上所述不扣分） (19)解：

（Ⅰ）因为抛物线y2?2px的焦点坐标为(1,0)，所以p2?1,p?2.

得到抛物线方程为y2?4x.----------------------------------4分

（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时设A(t2t24,t),B(4,?t)

因为直线OA,OB的斜率之积为?12,所以t?tt2t2??1化简得2t2?32. 44所以(8,t),B(8,?t),此时直线AB的方程为x?8.----------------7分 ②当直线AB的斜率存在时设直线的方程为y?kx?b,A(xA,yA),B(xB,yB)

联立方程??y2?4x?b化简得ky2?4y?4b?0.------------------9分

?y?kx根据韦达定理得到y1AyB?4bk,因为直线OA,OB的斜率之积为?2, 所以得到yAyBx??1即xAxB?2yAyB?0.--------------------11分

AxB2y22得到AyB44?2yAyB?0,

化简得到yAyB?0（舍）或yAyB??32.--------------------12分

6

又因为y4bAyB?k??32,b??8k,所以y?kx?8k,y?k(x?8).

上所述，直线AB过定点（8，0）.-------------------------14分

(20)解：

（Ⅰ）根据题意2015年汽车保有量为500?500?0.04?24?504-------2分2016年汽车保有量为504?504?0.04?24?507.84-----4分

（Ⅱ）根据题意有a

n?0.96an?1?24--------------------------------5分

因为 an?600?0.96an?1?24?600

?0.96an?1?576 ?0.96(an?1?600)

又因为 a1?600??100

所以{an?600}是以-100为首相，公比为0.96的等比数列.------8分

（Ⅲ）由（2）可知，设每年购车指标为x万辆，则an?0.96an?1?x.

变形可得：an?25x?0.96(an?1?25x).

所以{an?25x}是以a1?25x为首项，0.96为公比的等比数列. 所以an?25x?0.96n?1(500?25x)

所以a?1n?25x?0.96n(500?25x)-----------------------------10分 当500-25x≥0，即0

当500-25x<0，即x>20时，n???，an?25x且an?25x,

所以，只需25x?550，即x?22.------------------------------12分 每年购车指标调整为22万个，汽车保有量会控制在550万辆以下.--13分

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