重庆市万州区甘宁初级中学八年级数学上册 第13章《整式的乘除》

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两数和的平方

◆回顾归纳

1．一般地，我们有（a±b）=______，即两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）________．

2．上述公式的左边是一个二项式的完全平方，右边展开式是一个三项式，且首尾两项是公式左边二项中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项_______． ◆课堂测控

测试点1 运用完全平方公式进行整式乘法运算 1．（x－

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）=_______，（－x－y）=________． 32

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2．下列等式成立的是（ ）

A．（a－b）=a－ab+b B．（a－2b）=a－4b C．（a+b）=a+2ab+b D．（x－9）（x+9）=x－9

3．小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：x■x+1，看不清x前面的数字是什么，只知道这个二次三项式能配成一个完全平方式，?这个被墨水遮住的数字是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D．±1

4．（体验探究题）比较下面两列算式结果的大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） 4+3______2×4×3；

（－2）+1_____2×（－2）×1；

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121）______2×2×； 22322232 （－）+（－）_______2×（－）（－）；

2323 （2）+（

2

2+2_______2×2×2； ?

通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明． 测试点2 完全平方公式的灵活运用 5．用乘法公式计算：201=_______． 6．若x+y=－1，xy=－5，则x+y=_______． 7．若x+kx+9是一个整式的平方，则k=_______． 8．（体验探究题）观察下列各式：

①1×2×3×4+1=__________=（_______）；

1

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ②2×3×4×5+1=__________=（_______）； ③3×4×5×6+1=__________=（_______）．

由以上等式你猜想到了什么结论？（用字母表示），并证明你的结论． ◆课后测控

1．多项式9x+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方式，那么加上的单项式可以是___________（填上一个你认为正确的即可）．

2．当a+b=3，x－y=1，a+2ab+b－x+y的值等于________．

3．（易错题）如果关于x的二次三项式4x+kx+9是完全平方式，则k的值是______． 4．若x+y=（x－y）+P=（x+y）－Q，则P，Q分别为（ ） A．P=2xy，Q=－2xy B．P=2xy，Q=2xy C．P=－2xy，Q=－2xy D．P=－2xy，Q=2xy

5．边长为a的正方形边长减少b（a>b）以后，所得较小正方形的面积比原正方形的面积减少了（ ） A．b B．2 C．2ab－b D．2ab+b

6．如果x+ax+121是两个数的和的平方形式，那么a的值是（ ） A．22 B．11 C．±22 D．±11 7．化简：

（1）（3a+b）； （2）（－x+3y）； （3）（－m－n）． 8．已知a+

9．一个正方形的边长增加50cm，它的面积就增加10000cm，求这个正方形的边长．

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=10，求（a－）的值． aa文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 10．解方程：

（1）（2x+1）－（x+1）（x－1）－3x（x－1）=0；

（2）4（x－3）－（2x+1）=（3x+1）（1－3x）+9x．

11．（变式题）已知x+y=3，xy=－5，求代数式x+y的值．

（1）一变：已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和．

（2）二变：已知长方形的两边之差为4，面积为12，?求以长方形的长与宽之和为边长的正方形的面积．

（3）三变：若一个整数可以表示为两个整数的平方和，试说明这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和．

◆拓展创新

当游客登上一个海岛时，看到一块巨石上写着：欢迎您来风景秀丽的X岛，该岛形状为三角形，三边

3

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a，b，c满足以下关系：3（a2

+b2

+c2

）=（a+b+c）2

，请问此岛的形状是什么三角形？ 答案: 回顾归纳

1．a2

±2ab+b2

它们乘积的2倍 2．乘积的2倍 课堂测控 1．x2－

23x+19 x2+2xy+y2

2．C 3．C（点拨：利用公式（a±b）2

=a2

±2ab+b2

） 4．> > > > = 结论：a2

+b2

≥2ab． 证明：因为（a－b）2

≥0，

所以a2

－2ab+b2

≥0，所以a2

+b2

≥2ab． 5．40401

6．9（点拨：因为x+y=－1，xy=－5，所以x2

+2xy+y2

=1，所以x2

+y2

=1－2xy=9） 7．±6

8．结论：n（n+1）（n+2）（n+3）=（n2

+3n+1）2． 证明：设连续四个整数分别为n，n+1，n+2，n+3．由 规律可知：n（n+1）（n+2）（n+3）+1 =[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1 =（n2

+3n）（n2

+3n+2）+1 =（n2

+3n）2

+2（n2

+3n）+1 =（n2

+3n+1）2

． 课后测控

1．6x或－6x 2．8 3．±12 4．B

5．C（点拨：新正方形的边长为a－b，a2

－（a－b）2

=a2

－（a2

－2ab+b2

）=2ab－b2

）

4

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 6．C

7．（1）（3a+b）2

=9a2

+6ab+b2

；（2）（－x+3y）2

=x2

－6xy+9y2

；（3）（－m－n）2

=m2

+2mn+n2

． 8．（a+

1a）2=100，a2

+112a2=98，（a－a）=96． 9．设这个正方形的边长为xcm，根据题意，得 （x+50）2

=x2

+10000， 所以x2

+100x+2500=x2

+10000． 所以100x=7500，所以x=75．

10．（1）方程化简为4x2

+4x+1－x2

+1－3x2

+3x=0， 即7x+2=0， ∴x=－

27． （2）方程化简为

4（x2

－6x+9）－（4x2

+4x+1）=1－9x2

+9x2

， 即－28x=－34， ∴x=

1714． 11．x2+y2

=（x+y）2

－2xy=32

－2×（－5）=9+10=19． （1）一变：设长方形的长为a，宽为b，由题意得 2（a+b）=40，ab=75， 即a+b=20，ab=75．

∴a2

+b2

=（a+b）2

－2ab=202

－2×75=250．

∴以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和为250． （2）二变：设长方形的长为a，宽为b，由题意得 a－b=4，ab=12． ∵（a－b）2

=a2

－2ab+b2

．

∴（a+b）2

=（a－b）2

+4ab=42

+4×12=64． ∴正方形的面积为64．

（3）三变：设这个整数为x，则x可表示为a2

+b2

（a，b分别表示两个整数），

则

2x=2（a2

+b2

）=2a2

+2b2

=a2

+2ab+b2

+a2

－2ab+b2

=（a+b）2

+（a－b）2

， （a+b）2

+（a－b）2

就表示两个整数的平方和． 拓展创新

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 等边三角形．

因为3（a+b+c）=（a+b+c）． 所以（a－b）+（a－c）+（b－c）=0． 所以a=b=c．

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