2010年中考数学试题汇编之23-相似

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 2010年中考试题专题之23-相似试题及答案一、选择题

1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①?B??ACD；②?ADC??ACB；③

ACCD?ABBC；④AC2?AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4

【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C

2.（2009年上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（） A．

ADDF?BCCE B．

BCCE?DFAD C．

CDBCEF?BE D．

CDADEF?AF

【关键词】平行线分线段成比例【答案】A

3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】【答案】B

4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有： A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D 5.（2009重庆綦江）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468

）

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1

D．１∶2 【关键词】【答案】B

6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B

7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形

B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

A M B

O C

N D

【关键词】位似【答案】C

8.（2009年江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）

A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格

【关键词】平移【答案】D

9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比【答案】A

10. （2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2

米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （）

A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 【关键词】相似三角形【答案】B

，?B?60°，D是AC上一点，DE?AB于E，且11.（2009恩施市）如图，在△ABC中，?C?90°CD?2，DE?1，则BC的长为（）

A．2 B．43 C．23 D．43 3【关键词】解直角三角形、相似【答案】B

12.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】A

13.（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为 A．(33331331?) B．(?) C．(?) D．(,) 22222222 北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 3

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【关键词】旋转【答案】A

14.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【关键词】黄金比【答案】C

15. （2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

【关键词】相似三角形的判定【答案】A

16.（2009年天津市）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 【关键词】相似三角形的性质【答案】A

17.(2009年牡丹江市)如图， △ABC中，CD?AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（） ①?1??A，②

CDDB，∶4∶5，?，③?B??2?90°④BC∶AC∶AB?3

ADCD⑤AC?BD?AC?CD

A．1 B．2 C．3 D．4

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】三角形相似的判定和性质【答案】C

18. （2009白银市）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】A

19. （2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5

C．11

D．15.5

【关键词】线段的比和比例线段【答案】D

20.（2009年衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

11A．?a B．?(a?1)

221C．?(a?1)

1D．?(a?3)

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】D

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 21.（2009年舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

【关键词】线段的比和比例线段【答案】D

22.（2009年舟山）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

11A．?a B．?(a?1)

221C．?(a?1)

1D．?(a?3)

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】D

23.（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

2222

A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

【关键词】相似多边形【答案】C

24. （2009年福州）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）

A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F

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【关键词】位似变换【答案】B 25.（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【关键词】相似图形的性质【答案】A.

26. ．（2009年广西梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则

AO等于（） DO25 32 C．

3 A．

1 31 D．

B．

【关键词】相似三角形【答案】D

27.(2009年甘肃定西)如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形【答案】A

D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，28. (2009年湖州)如图，在正三角形ABC中，

FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（） A．1∶3

B．2∶3

C．3∶2

D．3∶3

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【关键词】等边三角形的性质，相似的性质【答案】A

29．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张

【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线【答案】C

30.（2009年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是

A．24m B．25m C．28m D．30m

【关键词】相似三角形、灯光与影子【答案】D

31.（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

2222

A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

【关键词】相似多边形【答案】C

32. （09湖南怀化）如图1，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC?（）

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 A． 1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3

【关键词】相似三角形有关的计算【答案】C

33. （2009年山西省）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB?2，OD?3,则BC的长为（）

A．

2 3B．

3 2C．32 D． 22

【关键词】圆周角和圆心角；切线定理；相似三角形有关的计算；相似三角形与圆

【答案】A

AB的垂直平分线DE交BC的，BC?3，AC?4，34．（2009年山西省）如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°延长线于点E，则CE的长为（） A．

3725 B． C． 266 D．2

【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质【答案】B

35. （2009年枣庄市）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（） A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6

【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B

36. （2009呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

E A C B O D

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】

37.(2009年抚顺市)如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG?2，则CF的长为（）

A F E B

【关键词】中位线二、填空题

A．4 B．4.5 C．5 D．6

1.（2009年重庆市江津区）锐角△ABC中，BC＝6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝，公共部分面积y最大，y最大值＝ ,

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】三角形、正方形、二次函数极值相似【答案】x?3,y?6

3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位2.(2009年滨州)在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，似图形△A?B?C?，使△ABC与△A?B?C?的相似比等于

1，则点A?的坐标为． 2【关键词】三角形位似.. 【答案】（4，6）

3.（2009威海）如图，△ABC与△A′B′C ′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2A A′,S△ABC=8，则S△A′B′C ′=________．

【关键词】位似图形【答案】18

4.（2009年吉林省）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果

CB?1,那么OE的长为．

【关键词】平移，平面直角坐标系内的平移【答案】7

5.（2009山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为 cm．（结果精确到0.1cm）

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解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知AC2?BC?AB， ∴AC2??10?AC??10，解得x≈6.2，故填6.2.．

【关键词】黄金分割【答案】6.2.

6.（2009烟台市）如图，△ABC与△AEF中，AB?AE，BC?EF，?B??E，AB交EF于D．给出下列结论：

①?AFC??C； ②DF?CF；

③△ADE∽△FDB； ④?BFD??CAF．

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．

【关键词】全等、相似【答案】①，③，④

7.（2009年甘肃庆阳）如图11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】（?2，0） 8.（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现测得OA?20cm，OA??50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】投影；相似三角形【答案】

2 59.（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．

【关键词】相似三角形【答案】144;

?ACB?90°，10.(2009年牡丹江市)如图，Rt△ABC中，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG?1CFS四边形EBCG，? ．则3AD

【关键词】相似三角形的性质【答案】

1 211. （2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．

【关键词】相似三角形的性质【答案】

12或2; 712.（2009年重庆）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为．【关键词】相似三角形的性质

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【答案】2:5．

13.（2009年莆田）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=__________m．

【关键词】相似三角形答案：40

，14. （2009年牡丹江）如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG?1CFS四边形EBCG，? ．则3AD【关键词】相似三角形的面积比【答案】

1 215.（2009年凉山州）已知△ABC∽△A?B?C?且S△ABC:S△A?B?C??1:2，则AB:A?B?= ．【关键词】相似三角形的性质【答案】1:2 16. (2009年宁德市)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ____．

【关键词】位似【答案】6 17.（2009年湖北荆州）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x?_____mm．

【关键词】相似三角形

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【答案】

DE∥BC，D?1，DE?2BD，?3，18.（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，在△ABC中，若A则BC? ．

【关键词】相似三角形判定和性质【答案】8

19. （2009年山西省）如图，△ABC与△A?B?C?是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．

【关键词】相似，中心投影【答案】（9，0）

20. （2009年黄石市）在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC?1:2，则BF:BE? ．【关键词】平行四边形的性质；相似三角形判定和性质

【答案】3:5 21.（2009东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．【关键词】相似三角形

12【答案】或2;

7三、解答题

1.（2009年台湾）某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。【关键词】比例【答案】A

2.（2009年长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的长．

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】

解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF， ∴

AE2?AB2?92?62?117

ABBE6117?，即? DEEF2EF∴EF=

117 33．（2009年长春）如图，在ABCD中，?BAD?32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE?BC，DF?DC，?EBC??CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．

（1）求证：△ABE≌△FDA．

（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．

【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明【答案】

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理EB=AD.

在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE≌△FDA.（4分）（2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF.

∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∵∠BAD=32°，

∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°.

4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】

（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22分

又∵AMF∽△BGM，∴

AFBMAM?BG ∴BG?AM?BMAF?22?223?83 又AC?BC?42cos45??4，∴CG?4?83?43，CF?4?3?1 ∴FG?CF2?CG2?12?(453)2?3

5.（2009年郴州市）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求

ADAB的值，（2）求BC的长

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似

【答案】解：（1）因为AD=4，DB=8 所以AB=AD+DB=4+8=12

AD41== AB123（2）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC

DEAD= 所以 BCAB 因为DE=3

31= 所以

BC3所以BC=9

所以

6.（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

【关键词】相似【答案】

△ABE 与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中

∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．

又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．

7.(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，B

D F A

图1

E C

O 图2

B F D E C

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似三角形的判定和性质

【答案】解：（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°． ??BAC?90°，??BAF??C． ?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，

??BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；

G B D F E A

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． ?AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA．由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．

??BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD，又?BAC??AOG?90°，AB?OA．

?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．

?OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，

?OFBF?OGOFOFOGAB，

OE?BF?AB?2． B D F E A

解法二：??BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D， ?Rt△BAD∽Rt△BCA．?ADACBD?AB?2．设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，

?AD?21155，BD?2AD?55． ??BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE， ?BDDF?BOOE．北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 19

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 152由（1）知BF?OE，设OE?BF?x，?5，?x?10DF． ?DFx在△DFB中x?21122?x，?x?． 51034224OF3?OF?OB?BF?2?2?2．???2．

33OE223OF?n．（3）OE

8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD?（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

S△APQ3（2）在图中，联结AP．当AD?，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，?y，其

2S△PBC中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小． A

P P Q B

图1

（Q） B

图2

Q B

图3

D A

P C

【关键词】等腰直角三角形相似三角形共高三角形的面积直角三角形相似的判定

【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴

PQAD?=1，∠D=45° PCAB13BC?。 22∴PQ=PC即PB=PC，过点P作PE⊥BC，则BE=而∠PBC=∠D=45°

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∴PC=PB=

32 2（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴

EBAD33???2? EPAB2411?BC?PE??3?4k?6k， 22?2?x??3k AQ2?x12?x12?x??S?APB???AB?PF???2?3k??3k=

2AB22222设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ∴S?BPC?S?APQ∴y?S?BPC12k4 ??S?APQ?2?x??3k2?xD

P 函数定义域为0?x?2 A F

P D

P F

Q B

E 图1

（Q） B

图2

（3）答：90°

证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB

D A

E 图3

EBAD? EPABPQADEBPF??∴= PCABPEPE∴

∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC

∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90° 8. (2009年陕西省)20．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．

已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．

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【关键词】利用相似知识测物高

【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB， ∴FHDHBG?DG．由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． ∴0.50.8BG?30，解之，得BG＝18.75． ∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米．

9. (2009年安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质【答案】（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为y?ax2?bx?3(a?0)

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 根据题意，得??a?b?3?0?a??1，解得?

?9a?3b?3?0?b?2∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE

111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4=9 222=（3）似

如图，BD=BG2?DG2?12?12?2；∴BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 ∴BD?BE?20, DE?20

222即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222∴?AOB??DBE?90?,且

AOBO2, ??BDBE2∴?AOB∽?DBE

10. （2009山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米．

甲

小华乙

解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为x米，由相似得 1.55，解得x?9，所以路灯甲的高为9米，故填9. ?x30【关键词】相似三角形的应用【答案】9.

A．设F2的对11. （2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点

称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

C的坐标为(2，0)，则①b的值等于（1）如图1，若F1：y?x，经过变换后，得到F2：y?x?bx，点

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22 北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ______________；

②四边形ABCD为（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

2（2）如图2，若F：y?ax?c，经过变换后，点B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积； 1（3）如图3，若F1：y?1227x?x?，经过变换后，AC?23，点P是直线AC上的动点，求点P到点D333的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

【关键词】平移变换【答案】

12.（2009年吉林省）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，DF?AD，连接BC、BF．

A O D E F

C B

（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当

BE5FB?8时，求CBAD的值【关键词】相似三角形判定和性质

【答案】（1）证明：?AE?EB,AD?DF,

北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 使24

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ?ED是△ABF的中位线， ?ED∥BF,

??CEB??ABF,

又?C??A,

?△CBE∽△AFB,

（2）解：由（1）知， △CBE∽△AFB,

?CBBE5??. AFFB8又AF?2AD,

?CB5?． AD40)，6)，13.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，直线BC经过点B(?8，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别

与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是，当??90°时，

BP的值是； BQBP的值； BQy （2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求

②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．

y B? B A? P C Q B C P x y A? ? Q） B（B C C? O x A O A （图2）（图3）

C? x A O （备用图）

（第26题）

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP?请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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1BQ？若存在，225

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）矩形（长方形）；

BPBQ?47．（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．

?CPOCCP6A?B??OA?，即6?8， ?CP?92，BP?BC?CP?72．

同理△B?CQ∽△B?C?O，

?CQC?Q?B?CB?C?，即CQ6?10?68， ?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．

?BPBQ?722． ②在△OCP和△B?A?P中，

???OPC??B?PA?，??OCP??A??90°， ??OC?B?A?，?△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P．设B?P?x，

在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?254． ?S12575△OPB??2?4?6?4．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP?12BQ．点P的坐标是P?31???9?26，6???7??，P2???4，6??．对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ?S△POQ?12PQ?OC，S1△POQ?2OP?QH， ?PQ?OP．

设BP?x，

y B? P B Q C C? A? A H O x ?BP?12BQ， ?BQ?2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时，

OP?PQ?BQ?BP?3x，

在Rt△PCO中，(8?x)2?62?(3x)2，

y B? B A? P C Q H C? A O x 解得x1?1?326，x32?1?26（不符实际，舍去）． ?PC?BC?BP?9?326， ?P?31???9?26，6???． ②如图2，当点P在点B右侧时，

?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．

在Rt△PCO中，(8?x)2?62?x2，解得x?254． ?PC?BC?BP?8?2574?4， ?P?7?2???4，6??．

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 综上可知，存在点P1??9???13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．

22?4??14.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D

与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x=0时，折痕EF的长为 # .；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令EF?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断?EAP与?PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【关键词】相似三角形【答案】解：（1）3，（2）1≤x≤3． D

F C

2 A

P 图1

当x?2时，如图1，连接DE、PF，

?EF为折痕，?DE?PE，令PE为m，则AE?2?m，

在Rt△ADE中，AD?AE?DE，

222?1?(2?m)2?m2，

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 D E O A P

图2

C F H B 解得m?55，此时菱形边长为．

44（3）如图2，过E作EH⊥BC，

易证△EFH∽△DPA，

?D E A

FHAP?，?FH?3x EHAD(F) C

O P

图3

H B

?y?EF2?EH2?FH2?9?9x2

当F与点C重合时，如图3，连接PF，

?PF?DF?3，?PB?32?12?22，

?0≤x≤3?22．

显然，函数y?9?9x的值在y轴的右侧随x的增大而增大，当x?3?22时，y有最大值．此时?EPF?90°，△EAP∽△PBF．

综上所述，当y取最大值时，△EAP∽△PBF，x?3?22（?EPF?90°不写不扣分）．

2，BC?10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一15.（2009恩施市）如图，在△ABC中，?A?90°点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE?x，以DE为折线将△ADE翻折

（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A?DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；

（2）求出0?x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5?x?10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 A D E B

A B

【关键词】相似、二次函数

【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴

S?ADES?(DE)2

?ABCBC即S1?ADE?4x2 (2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤x?5 时 y?S?12?ADE4x （3）5?x﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S1△A'DE=S△ADE=4x2

∴DE边上的高AH=AH'=12x 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知

S?A'MNS?(A'F)2

?A'DEA'HS?A'MN?(x?5)2

∴y?14x2?(x?5)2??34x2?10x?25 （4）在函数y?124x中

∵0﹤x≤5

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∴当x=5时y最大为：254 在函数

y??34x2?10x?25中

当x??b2a?20253时y最大为：3 ∵25254﹤3

∴当x?20253时，y最大为：3

16.（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．

【关键词】相似三角形【答案】证明：（1）

∵ ACDC?32,BC CE?64?32, ∴ ACDC?BCCE.

又 ∠ACB=∠DCE=90°， ∴ △ACB∽△DCE．（2）

∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°． ∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．

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17．（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。（1）求证：DB∥CF。

（2）当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。【关键词】相似、切线

【答案】证明：

（1）连接OF，如图 ∵AB且半圆O于F， ∴OF⊥AB。

∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。 ∵BC=OD，OD=OF， ∴BC=OF。

∴四边形OBCF是平行四边形， ∴DB∥CF。

（2）

∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°， ∴∠A∠OBF∠BOF

∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A， ∴∠OBF＞∠A

∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∴∠A与∠BOF是对应角。 ∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=

43 318.（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1）求证：FD2=FB●FC。（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。

【关键词】相似、垂直

【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A…

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F是公共角 ∴△FBD∽△FDC ∴

FBFD?FDFC ∴FD2?FB?FC （2）GD⊥EF

理由如下：

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电话北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4

由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1

∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF

19、（2009江西）问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm. 任务要求

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3，设太阳光线NH与?O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式156?208?260）.

E K222NMOB 80cm A 200cm C D 900cm 图2

60cm 图1

G 156cm 图3

【关键词】相似、光影

【答案】解：（1）由题意可知：∠BAC?∠EDF?90?，?BCA??EFD． ∴△ABC∽△DEF． ∴

ABAC8060?，?．即 DEDFDE900∴DE=1200（cm）．

所以，学校旗杆的高度是12m．（2）解法一：与①类似得：∴GN=208．

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ABAC8060?，?．即 GNGHGN156 北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 在Rt△NGH中，根据勾股定理得：

NH2?1562?2082?2602.

∴NH=260．

设?O的半径为rcm，连结OM， ∵NH切?O于M，∴OM?NH．

则∠OMN??HGN?90?，又∠ONM?∠HNG． ∴△OMN∽△HGN．∴

OMONHG?HN．又ON?OK?KN?OK?(GN?GK)?r?8． ∴

r156?r?8260，解得：r=12．所以，景灯灯罩的半径是12cm．

E KNMOB 200cm 80cm A C D F

60cm 900cm G H 156cm 图1 图2

图3

解法二：与①类似得：

ABGN?AC8060GH，即GN?156． ∴GN=208．

设?O的半径为rcm，连结OM， ∵NH切?O于M，∴OM?NH．

则∠OMN??HGN?90?，又∠ONM?∠HNG， ∴△OMN∽△HGN．

∴

OMHG?MNGN，即r156?MN208． ∴MN?43r，又ON?OK?KN?OK?(GN?GK)?r?8．

在Rt△OMN中，根据勾股定理得：

2r2???4?3r?????r?8?2，即r2?9r?36?0．北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 35

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 解得：r，r2??3（不合题意，舍去） 1?12所以，景灯灯罩的半径是12cm．

20. （2009年湘西自治州如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

【关键词】相似三角形的判定和判定

【答案】证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED＝∠C 又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A＝∠FEC ∴△ADE∽△EFC

21. （2009年清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．

（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB?2，OP?7，求BC的长． 2

【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）证明：?BC∥OP ??AOP??B ?AB是直径 ??C?90°

?PA是⊙O的切线，切点为A ??OAP?90° ?C??OAP

?△ABC∽△POA

（2）?△ABC∽△POA

?BCAB? OAPO 北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 36

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ?OB?2，PO?7 2?OA?2，AB?4 BC4??

722716?BC?8， BC? 2722.（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，?B和?C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）请你用含x的代数式表示h．

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

【关键词】分类讨论思想

【答案】解：（1）?MN∥BC ?△AMN∽△ABC

hx?? 683x?h?

4（2）?△AMN≌△A1MN

?△A1MN的边MN上的高为h，

①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时， 1133·h?x·x?x2（0?x≤4） y?S△A1MN=MN2248②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4?x?8)，

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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 EF上的高为h1，设△A1EF的边

则h1?2h?6?3x?6 2?EF∥MN?△A1EF∽△A1MN

?△AMN∽△ABC?△A1EF∽△ABC 1S△A1EFS△ABC?h???1? ?6?21?S△ABC??6?8?24 ?S△A1EF2?3?x?6??32???2?24?x?1x2??62????22 439?3??y?S△A1MN?S△A1EF?x2??x2?12x?24???x2?12x?24

88?2?所以 y??92x?12x?248(4?x?8)

32x，取x?4，y最大?6 8综上所述：当0?x≤4时，y?当4?x?8时，y??取x?92x?12x?24， 816，y最大?8 3?8?6

16?当x?时，y最大，y最大?8

3A M N B

023. （2009年济宁市）如图，?ABC中，?C?90，AC?4，BC?3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s 北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 38

北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）. （1）当t为何值时，⊙P与AB相切；

（2）作PD?AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t?四边形.

16s时，四边形PDBE为平行5

【关键词】相似

【答案】(1)解：当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连PM，则?AMP?90. ∴?APM∽?ABC.∴∵AP?t,AB?∴

0APPM?. ABBCAC2?BC2?5,

t15?.∴t?. 533(2)证明：∵BC?AC，PD?AC，∴BC∥DP.