江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(07)

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（07）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合A={x|2x≥x}，B={﹣2，0，2}，则A∩B=__________．

2．命题“?x＞1，x﹣2ax﹣1＜0”的否定是__________．

3．已知复数Z的实部为1，虚部为﹣2，则

的虚部为__________．

2

2

4．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是__________．

5．若α的终边所在直线经过点P（cos

6．已知向量

满足|

，与的夹角为135°，向量

．则向量

，sin

），则sinα=__________．

的模为__________．

7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为__________．

8．等差数列{an}中，a4+a6﹣a11=3，a12﹣a5=2，记Sn=a1+a2+…+an，则S11=__________．

9．已知△ABC是边长为的正三角形，且满足，则

△APD的面积为__________．

10．过点P（1，2）作一直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为__________．

11．若函数f（x）=sin（πx）与函数g（x）=x+bx+c的定义域为[0，2]，它们在同一点有相同的最小值，则b+c=__________． 12．曲线

13．已知m，n为正数，实数x，y满足

=0，若x+y的最大值

与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为__________．

3

为27，则m+n=__________．

14．对于函数y=f（x）（x∈D），若存在区间[a，b]?D，f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]

x

（k＞0），则函数f（x）为“倍值函数”，已知f（x）=e+x为“倍值函数”，则实数k的取值范围是__________．

二、解答题：本大题共6小题，计90分（15，16，17各14分，18，19，20各16分）. 15．已知

，B={x|x﹣4x+4﹣m≤0，m＞0}，

2

2

（1）若m=3，求A∩B；

（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．

16．在△ABC中，三边BC、AC、AB的 长分别为a、b、c，若a=4，E为边BC的中点． （1）若

=1，求BC边上的中线AE的长；

，求

的最小值．

（2）若△ABC面积为

17．在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF：FC=DE：EA=2：3．证明：

（1）EF∥平面ABC； （2）直线BD⊥直线EF．

18．（16分）如图，已知O（0，0），E（﹣，0），F（，0），圆F：（x﹣）+y=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q． （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．

2

2

19．（16分）设数列{an}的前n项和Sn＞0，a1=1，a2=3，且当n≥2时，anan+1=（an+1﹣an）Sn．

（1）求证：数列{Sn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）令bn=

存在正整数n，使等式Tn+

，记数列{bn}的前n项和为Tn．设λ是整数，问是否成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，说明

理由． 20．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x+x[f′（x）+]（f′（x）是f（x）的导数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围； （3）求证：

三、附加题

3

2

×××…×＜（n≥2，n∈N）．

*

21．已知M=求F的方程．

，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，

22．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

为参数）．以o为极

．求

23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1． （1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；

（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．

24．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下： ①连续竞猜3次，每次相互独立； ②每次竟猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a﹣b|≤1，则本次竞猜成功；

③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． （Ⅰ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率； （Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（07）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

2

1．已知集合A={x|2x≥x}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={0，2}．

考点：交集及其运算． 专题：集合．

分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 解答： 解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≤0， 解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}， ∵B={﹣2，0，2}， ∴A∩B={0，2}． 故答案为：{0，2}

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．命题“?x＞1，x﹣2ax﹣1＜0”的否定是?x＞1，x﹣2ax﹣1≥0．

考点：命题的否定． 专题：简易逻辑．

分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，

22

所以命题“?x＞1，x﹣2ax﹣1＜0”的否定是：?x＞1，x﹣2ax﹣1≥0；

2

故答案为：?x＞1，x﹣2ax﹣1≥0．

点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．

22

3．已知复数Z的实部为1，虚部为﹣2，则的虚部为1．

考点：复数的基本概念． 专题：计算题．

分析：写出复数z，代入复数的表达式复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi的形式，即可得到结果．

解答： 解：====﹣1+i．

所以复数的虚部为：1． 故答案为：1．

点评：本题是基础题，考查基本概念与基本运算，送分题．

4．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是4．

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当i=5时由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11，故应该n的值为4． 解答： 解：执行程序框图，有 输入n i=0，s=1

满足条件i≤n，有s=1，i=1 满足条件i≤n，有s=2，i=2 满足条件i≤n，有s=4，i=3 满足条件i≤n，有s=7，i=4 满足条件i≤n，有s=11，i=5

由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11． 故答案为：4．

点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．

5．若α的终边所在直线经过点P（cos，sin），则sinα=±．

考点：任意角的三角函数的定义． 专题：三角函数的求值．

分析：分α的终边在第二象限、α的终边在第四象限两种情况，分别利用任意角的三角函数的定义求出sinα的值．

解答： 解：由题意可得P（﹣，），r=|OP|=1，由于直线OP经过第二、第四象限， ，

）在α的终边上，x=﹣

，y=

，sinα==

．

当α的终边在第二象限时，点P（﹣

当α的终边在第四象限时，点P′（． 故答案为：±

．

，﹣）在α的终边上x=，y=﹣，sinα==﹣

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．属于基础题．

6．已知向量

满足|

，与的夹角为135°，向量

．则向量

的模为．

考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：平面向量及应用．

分析：本题是一个求模长的问题，根据，把求的模长变化为求两个向量之和的模

．两边平方后的式子，

长，条件中所给的两个向量的模长和两个向量的夹角，代入得到结果． 解答： 解：∵∴

=9

+6，

+

，|=9×

，与的夹角为135°，

×cos135°+2=18﹣12+4=10，

2

∴||=

故答案为：．

点评：本题是向量模长的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的模长同向量加减结合在一起．

7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为

．

考点：等可能事件的概率． 专题：计算题；概率与统计．

分析：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出P（），再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．

解答： 解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”， 则P（）=

=

，

因此P（A）=1﹣P（）=1﹣故答案为：

．

=．

点评：本题考查等可能事件的概率，熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．

8．等差数列{an}中，a4+a6﹣a11=3，a12﹣a5=2，记Sn=a1+a2+…+an，则S11=55．

考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．

分析：由等差数列的性质已知两式相加可得a6=5，再由求和公式可得S11=11a6，代值计算可得．

解答： 解：∵等差数列{an}中，a4+a6﹣a11=3，a12﹣a5=2， ∴两式相加可得（a4+a12）﹣（a11+a5）+a6=5， 由等差数列的性质可得a4+a12=a11+a5，∴a6=5 ∴S11=

=

=11a6=55

故答案为：55

点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．

9．已知△ABC是边长为

的正三角形，且满足

，则

△APD的面积为．

考点：向量在几何中的应用． 专题：平面向量及应用．

分析：考虑所给向量的几何意义，经分析可知，三角形APD是以D为直角顶点的直角三角形，两直角边易求，所以面积可求．

解答： 解：如图所示：向量法的平行四边形法则易知|显然向量

与

垂直，且

．

|=

，根据△ABC为等边三角形，结合向量加

． ．

故三角形APD的面积为

故答案为：．

点评：本题考查的是向量加法的几何意义，借助于几何意义做出图形．结合已知条件进行判断、计算即可．

10．过点P（1，2）作一直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为4x+y﹣6=0或3x+2y﹣7=0．

考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程． 专题：计算题．

分析：首先根据直线过P（1，2）设出直线的点斜式，然后根据直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）的距离相等，利用点到直线的距离，求出k的值． 解答： 解：∵直线过点P（1，2） ∴设l的方程为：y﹣2=k（x﹣1） 即kx﹣y﹣k+2=0

又直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）的距离相等

∴化简得： k=﹣4或k=﹣

=

∴l的方程为4x+y﹣6=0或3x+2y﹣7=0

点评：本题考查点到直线的距离公式，以及直线的一般式和点斜式方程，通过已知条件，巧妙构造等式求解，属于基础题．

11．若函数f（x）=sin（πx）与函数g（x）=x+bx+c的定义域为[0，2]，它们在同一点有相同的最小值，则b+c=﹣．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用．

3

分析：先画出函数f（x）的图象，得到x=时，f（x）的最小值是﹣，求出函数g（x）的导数，分别将（，0）代入导函数，（，﹣）代入函数的表达式，求出b，c的值，得到答案．

解答： 解：画出函数f（x）的图象，如图示：

，

当x=时，f（x）取到最小值此时：g′（）=3×g（）=∴b+c=﹣， 故答案为：﹣．

点评：本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的图象及性质，考查导数的应用，是一道中档题． 12．曲线

．

考点：直线与圆相交的性质． 专题：数形结合；转化思想．

分析：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．

，

，

，

+b=0，解得：b=﹣

+（﹣）×+c=﹣，解得：c=

与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为

解答： 解：可化为x+（y﹣1）=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，

22

2为半径的圆y≥1的部分．

直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．

点评：本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

19．（16分）设数列{an}的前n项和Sn＞0，a1=1，a2=3，且当n≥2时，anan+1=（an+1﹣an）Sn．

（1）求证：数列{Sn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）令bn=

存在正整数n，使等式Tn+

，记数列{bn}的前n项和为Tn．设λ是整数，问是否成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，说明

理由．

考点：数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）通过当n≥3时，an=Sn﹣Sn﹣1，an+1=Sn+1﹣Sn，代入anan+1=（an+1﹣an）Sn，

通过S1=1，S2=4，S3=16，满足

明数列{Sn}是等比数列；

（2）利用（1）求出Sn，然后求数列{an}的通项公式； （3）化简bn=

，利用裂项法求出数列{bn}的前n项和为Tn．通过

是整数，从而λ=4是整数符合题意．然

，而Sn恒为正值，即可证

n=1，推出λ不是整数，不符合题意，n≥2，后得到结论

解答： 解：（1）当n≥3时，an=Sn﹣Sn﹣1，an+1=Sn+1﹣Sn， 代入anan+1=（an+1﹣an）Sn并化简得

（n≥3），…anan+1=（an+1﹣an）Sn，又由

a1=1，a2=3得S2=4，

代入a2a3=（a3﹣a2）S2可解得a3=12，∴S1=1，S2=4，S3=16， 也满足（2）由（1）知

，而Sn恒为正值，∴数列{Sn}是等比数列．…

．当n≥2时，

，

又a1=S1=1，∴（3）当n≥2时，

，此时

…

=

，又

∴．…

故当n≥2时，

，

=

若n=1， 则等式若n≥2，则等式

为

为，

不是整数，不符合题意；…

，

，…

∵λ是整数，∴4

n﹣1

+1必是5的因数，∵n≥2时4

n﹣1

+1≥5

∴当且仅当n=2时，是整数，从而λ=4是整数符合题意．

成立，

成立．…（16分）

综上可知，当λ=4时，存在正整数n=2，使等式当λ≠4，λ∈Z时，不存在正整数n使等式

点评：本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，函数的思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x+x[f′（x）+]（f′（x）是f（x）的导数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围； （3）求证：

×

×

×…×

＜（n≥2，n∈N）．

*

3

2

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：导数的综合应用．

分析：（1）a=﹣1时，（2）由

，由此能求出f（x）的单调增区间和单调减区间．

，（2，f（2））点切线倾斜角为45°，求出f'（x）=﹣+2，由此能

求出m的取值范

（3）构造函数f（x）=x﹣ln（x+1），x＞1，由导数性质求出当n≥2，n＞ln（n+1），由此能证明

×

×

×…×

＜（n≥2，n∈N）．

*

解答： （1）解：a=﹣1时，f（x）=﹣lnx+x﹣3， ∴x＞0，由

， ，得x=1．

x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0． ∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）． （2）解：∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴∵（2，f（2））点切线倾斜角为45°，

∴f'（2）=1，即﹣2=1，则a=﹣2，f'（x）=﹣+2， 则g（x）=x+x（﹣+2+）=x+（2+）x﹣2x，

g'（x）=3x+（4+m）x﹣2，

∵函数不单调，也就是说在（t，3）范围内，g'（x）=0有解，

∵g'（0）=﹣2＜0，∴当且仅当g'（t）＜0且g'（3）＞0时方程有解， ∴3t+（4+m）t﹣2＜0且3×3﹣3（4+m）﹣2＞0， 解得﹣∴﹣

＜m＜﹣3t﹣4，又∵t∈[1，2]， ＜m＜﹣9，

，﹣9）．

2

2

23

2

3

2

，

∴m的取值范围（﹣

（3）证明：先证明当n≥2，n∈Z时，n＞lnn

构造函数f（x）=x﹣ln（x+1），x＞1

则f′（x）=1﹣=，

∵x＞1，∴f′（x）＞0，

∴f（x）＞f（1）=1﹣ln（1+1）＞0

*

∴当n≥2，n∈N时，n＞ln（n+1）， ∴∴＜=

． ，

，…，

，

，

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．

三、附加题 21．已知M=

，N=

，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，

求F的方程．

考点：矩阵与矩阵的乘法的意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：选作题；矩阵和变换．

分析：先用矩阵的基本乘法算出MN对应的变换，然后根据变换的性质求出曲线方程即可．

解答： 解：由题设得．…4分

设所求曲线F上任意一点的坐标为（x，y），y=sinx上任意一点的坐标为（x'，y'），则 MN

=

，解得

．…7分

把代入y'=sinx'，化简得y=2sin2x．

所以，曲线F的方程为y=2sin2x．…10分

点评：本题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的求法．试题难易程度一般，考查知识点的综合运用．

22．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

为参数）．以o为极

．求

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用． 专题：计算题；压轴题．

分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为

．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直

线距离的最大值和最小值． 解答： 解：将点

到直线的距离

所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必考的热点问题．

23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1． （1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小； （2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．

化为普通方程为

考点：二面角的平面角及求法．

专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1F所成角．

（2）求出平面AEF和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面AEF与平面ABC所成角的余弦值． 解答： 解：（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），

从而记

=（2，0，2），与

=（0，2，﹣2）．…2分

的夹角为θ，则有：

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