2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

2006高等学校全国统一数学文试题（江西卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合P xx(x 1)≥0

，Q

x1 0

，则P Q等于（ ）

x 1

Ａ．

Ｂ． xx≥1

Ｃ． xx 1

Ｄ． xx≥1或x

2．函数y 4sin

2x

1的最小正周期为（ ） Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2

Ｄ．4

3．在各项均不为零的等差数列 a2

n 中，若an 1 an an 1 0(n≥2)，

则S2n 1 4n （Ａ． 2 Ｂ．0 Ｃ．1

Ｄ．2

4．下列四个条件中，p是q的必要不充分．．．．．条件的是（ ） Ａ．p:a b，q:a2 b2

Ｂ．p:a b，q:2a 2b

Ｃ．p:ax2

by2

c为双曲线，q:ab 0

Ｄ．p:ax2

bx c 0，q:

cx2 b

x

a 0 5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x 1)f (x)≥0，则必有（ ） Ａ．f(0) f(2) 2f(1) Ｂ．f(0) f(2)≤2f(1) Ｃ．f(0) f(2)≥2f(1)

Ｄ．f(0) f(2) 2f(1)

6．若不等式x2

ax 1≥0对一切x 01 2

成立，则a的最小值为（ ） Ａ．0

Ｂ． 2

Ｃ．

52

Ｄ． 3

n

7

．在2 x 的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（ ）

）

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）

1234C4C8C12C16

Ａ． 10

C402314C4C8C12C16

Ｃ． 10

C40

2134C4C8C12C16

Ｂ． 10

C401342C4C8C12C16

Ｄ． 10

C40

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ） ．．．Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

，B，C三点共线10．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若O，且A（该B aOAOC1a 02

直线不过点O），则S200等于（ ） Ａ．100

Ｂ．101

Ｃ．200

Ｄ．201

x2y2

1的右支上一点，M，N分别是圆(x 5)2 y2 4和11．P为双曲线

916

(x 5)2 y2 1上的点，则PM PN的最大值为（ ）

Ａ．6

Ｂ．7

Ｃ．8

Ｄ．9

12．某地一天内的气温Q(t

)时）之间的关系如图（1）所示，令C(t)内的温差（即时间段[0，t]内最差）．C(t)与t图象大致是（ ）

C

(

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13．已知向量a (1，cos )，则a b的最大值为 ，sin )，b (1

14．设f(x) lo3gx(

．

的6)反函数为f 1(x)，若[f 1(m) 6] [f 1(n) 6] 27，则

f(m n) C

A15．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路．．线的长为

．

C1

A11

x2y2

16．已知F1，F2为双曲线2 2 1(a 0，b 0且a b)的两个焦点，P为双曲线右支上

ab

异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；

0 ． Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点 a，

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x

2

与x 1时都取得极值． 3

（1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

（2）若对x [ 1，2]，不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19．（本小题满分12分）

，B，C所对的边分别为a，b，

c，已知sinA 在锐角△ABC中，角A

（1）求tan

2

， 3

B CA

sin2的值； 22

Ａ

（2）若a

2，S△ABCb的值．

20．（本小题满分12分）

，OB，OC两如图，已知三棱锥O ABC的侧棱OA两垂直，且OA 1，OB OC 2，E是OC的中

点．

（1）求O点到面ABC的距离；

（2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E AB C的大小． 21．（本小题满分12分）

Ｏ

Ｂ

x2y2

0)，如图，椭圆Q2 2 1(a b 0)的右焦点为F(c，过点F

ab并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程；

（2）若在Q的方程中，令a 1 cos sin ，

2

b sin 0 ≤ ．

2

设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当 为何值时，△MNF为一个正三角形？

22．（本小题满分14分） 已知各项均为正数的数列 an ，满足：a1 3，且（1）求数列 an 的通项公式；

2an 1 an

anan 1，n N*．

2an an 1

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

22

（2）设Sn a1 a22 an，Tn

111

，求Sn Tn，并确定最小正整数n， a22

a12a2an

使Sn Tn为整数．

2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学（编辑：ahuazi）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：

如果时间A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B) 如果时间A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn k CnP 1 P

n k

2

球的表面积公式S 4 R，其中R表示球的半径 球的体积公式V

4

R3，其中R表示球的半径 3

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合P xx(x 1)≥0，Q xＡ．

1

0 ，则P Q等于（C ）

x 1

Ｂ．xx≥1

Ｃ．xx 1

Ｄ．xx≥1或x

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

解：P＝｛x|x 1或x 0｝，Q＝｛x|x 1｝故选C 2．函数y 4sin 2x Ａ．

1的最小正周期为（B ）

Ｃ．2

Ｄ．4

Ｂ． 2

＝ ，故选B 解：T＝2

2

3．在各项均不为零的等差数列 an 中，若an 1 an则S2n 1 4n （ A ） an 1 0(n≥2)，

Ａ． 2

Ｂ．0

Ｃ．1

Ｄ．2

22解：设公差为d，则an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由an 1 an＝ an 1 0(n≥2)可得2an－an

0，解得an＝2（零解舍去），故S2n 1 4n 2×（2n－1）－4n＝－2，故选A 4．下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是（ D ） ．．．．．Ａ．p:a b，q:a2 b2 Ｂ．p:a b，q:2a 2b

Ｃ．p:ax2 by2 c为双曲线，q:ab 0 Ｄ．p:ax bx c 0，q:

2

cb

a 0 2xx

解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充要条件；C. p是q的充分条件，

不是必要条件；D.正确

5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x 1)f (x)≥0，则必有（C ） Ａ．f(0) f(2) 2f(1) Ｃ．f(0) f(2)≥2f(1)

Ｂ．f(0) f(2)≤2f(1) Ｄ．f(0) f(2) 2f(1)

解：依题意，当x 1时，f （x） 0，函数f（x）在（1，＋ ）上是增函数；当x 1时，f （x） 0，f（x）在（－ ，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有 f（0） f（1），f（2） f（1），故选C 6．若不等式x ax 1≥0对一切x 0 成立，则a的最小值为（ C ） Ａ．0

Ｂ． 2

Ｃ．

2

1 2

5 2

Ｄ． 3

解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－

a 2

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

若－－

a111

，即a －1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（） 0 2222

5

x －1 2a1

若－ 0，即a 0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1 0恒成立，故

22

a 0

a1aa2a2a2

1－ 0恒成立，故－若0 － ，即－1 a 0，则应有f（－）＝－＋1＝

222424

1 a 0 综上，有－

5

a故选C 2

n

2 7

．在 的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（ B ）

x Ａ．3

rn

n－r

Ｂ．6

Ｃ．9

Ｄ．12

3r

2rrrn－

2

Tr＋1＝C （）＝2Cnx

n－3r＝0x

解：，由 rr解得n＝6故选B

n－3r＝0 2Cn＝60 rr

2Cn＝60

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A ）

1234C4C8C12C16

Ａ． 10

C402314C4C8C12C16

Ｃ． 10

C40

2134C4C8C12C16

Ｂ． 10

C401342C4C8C12C16

Ｄ． 10

C40

解：依题意，各层次数量之比为4 3 2 1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ B ） ．．．Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B

，B，C三点共线10．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若O，且A（该B aOAOC1a 02

直线不过点O），则S200等于（A ）

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

Ａ．100 Ｂ．101

解：依题意，a1＋a200＝1，故选A

Ｃ．200 Ｄ．201

x2y2

1的右支上一点，M，N分别是圆(x 5)2 y2 4和11．P为双曲线

916

(x 5)2 y2 1上的点，则PM PN的最大值为（ D ）

Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．9

解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B

12．某地一天内的气温Q(t

)时）之间的关系如图（1）所示，令C(t)内的温差（即时间段[0，t]内最差）．C(t)与t图象大致是（D ）

C(

解：结合图象及函数的意义可得。

第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13．已知向量a (1，cos )，则a b，sin )，b (1

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

解：a b＝|sin －cos |

（ －）|

4

14．设f(x) lo3gx(

的6)反函数为f 1(x)，若[f 1(m) 6] [f 1(n) 6] 27，则

－

－

f(m n) －

C

A

解：f1（x）＝3x－6故〔f1（m）＋6〕 〔f1（x）＋6〕＝3m 3n

＋

＝3m n＝27

m＋n＝3 f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2

15．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路．．线的长为

10 ．

解：将正三棱柱ABC A1B1C1沿侧棱CC1展开， 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。

C1

A11

x2y2

16．已知F1，F2为双曲线2 2 1(a 0，b 0且a b)的两个焦点，P为双曲线右支上

ab

异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；

0 ． Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点 a，

其中真命题的代号是 （A）、（D）

（写出所有真命题的代号）．

解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|

＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x

2

与x 1时都取得极值． 3

（1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

（2）若对x [ 1，2]，不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围．

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f （x）＝3x2＋2ax＋b 由f （－a＝－

2124

）＝－a＋b＝0，f （1）＝3＋2a＋b＝0得 393

1

，b＝－2 2

f

2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（－ ，－递减区间是（－

）与（1，＋ ） 3

2

，1） 31222

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x 〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

2327

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x） c2（x 〔－1，2〕）恒成立，只需c2 f（2）＝2＋c 解得c －1或c 2

18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

992729 （）＝ 10101000

192112918118131（）＋ （）＋ 2＋ 2＝（2）法一：P2＝ 1010101010101010500119119131

法二：P2＝＋2 － 2 ＝

101010101010500

91199131（ ＋ ）＝法三：P2＝1－ 1010101010500

解：（1）P1＝

19．（本小题满分12分）

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

，B，C所对的边分别为a，b，

c，已知sinA 在锐角△ABC中，角A

（1）求tan

2

B CA

sin2的值； 22

（2）若a

2，S△ABCb的值． 解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝

，sinA

1，所以cosA＝，则

3B＋C

B＋CA＋sin2Atan2＋sin2＝22cos2B＋C2

2

1－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33

sin2

（2

）因为S ABCS ABC＝bcsinA＝bc c＝

1

2121，则bc＝3。将a＝2，cosA＝，

33

322242

代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0解得b

b

20．（本小题满分12分）

，OB，OC两两垂直，且OA 1，OB OC 2，E如图，已知三棱锥O ABC的侧棱OA

是OC的中点．

（1）求O点到面ABC的距离；

（2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E AB C的大小． 解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD BC、AD BC， BC 面OAD. 过O点作OH AD于H，则OH 面ABC，OH的长就 是所求的距离. 又BC＝

OD

OA OB，OA OC OA 面OBC，则OA OD AD

OAD中， 有OH

＝

Ａ

Ｏ

Ｂ

OA OD AD3（另解：由等体积变换法也可求得答案）

（2）取OA的中点M，连EM、BM，则 EM//AC, BEM是异面直线BE与AC

C

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

所成的角，易求得EM

BE

BM

＝

2.由余弦定理可求得cos BEM＝，

52

2

5

BEM＝arccos

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC 面OAB，得OC AB，又OH 面ABC，所以CF AB，EF AB，则 EFC就是所求的二面角的平面角.

作EG CF于G，则EG＝

1OA OBOH

Rt△OAB中，OF

＝

2AB在Rt△OEF中，EF

EG＝

sin EFG

＝ EFG＝

arcsin.（或表示为

arccos）

EF181818注：此题也可用空间向量的方法求解。 21．（本小题满分12分）

x2y2

0)，如图，椭圆Q2 2 1(a b 0)的右焦点为F(c，过点F的一动直线

绕点F转动，

ab并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程；

（2）若在Q的方程中，令a 1 cos sin ，

2

b sin 0 ≤ ．

2

设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当 为何值时，△MNF为一个正三角形？

x2y2

1（a b 0） 解：如图，（1）设椭圆Q：2＋2＝

ab

上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则

222222

1） bx1＋ay1＝ab （

222222

bx2＋ay2＝ab （2）

1 当AB不垂直x轴时，x1 x2，

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

由（1）－（2）得

b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

y1－y2b2xy

＝－2＝

x1－x2ayx－c

b2x2＋a2y2－b2cx＝0 （3）

2 当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3） 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0

c2

（x－）

y2c2（2）因为轨迹H的方程可化为：＋＝（）

a2b22a

cbccbc M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则

22a22abc b2

tan＝＝，即a2＝3b2. 由于a 1 cos sin ，

a6

2

4

b2 sin 0 ≤ ，则1＋cos ＋sin ＝3 sin ，得 ＝arctan

3

22．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列 an ，满足：a1 3，且（1）求数列 an 的通项公式；

22（2）设Sn a1 a22 an，Tn

2an 1 an

anan 1，n N*．

2an an 1

111

，求Sn Tn，并确定最小正整数n， a22

a12a2an

使Sn Tn为整数． 解：（1）条件可化为an＋1－

1an＋1

＝（2an－

11

，因此｛an－｝为一个等比数列，其公比为）anan

8n－12n＋2181

n N ）2，首项为a1－＝，所以an－＝ 2＝ 1 3a13an3

因an 0，由1 式解出an

＝2（2）由1 式有Sn＋Tn＝（a1－

1

3

n＋1

2

121212）＋（a2－）＋ ＋（an－）＋2n a1a2an

2006年江西省高考试题(数学文)含祥解

2322422522n＋22（）＋（）＋（）＋ ＋（）＋2n ＝3333

＝

64n

4－1）＋2n（n N ） 27

64n4n－1

为使Sn＋Tn＝4－1）＋2n（n N）为整数，当且仅当为整数.

2727

当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，

n1233n

（1＋3）－1 ＝Cn当n 3时，4－1＝ 3＋Cn 32＋3（Cn＋ ＋3n－3Cn）

n

12

3Cn＋32Cnn3n－1 只需＝ 为整数，因为3n－1与3互质，所以

9227

为9的整数倍.当n＝9时，

n3n－1 ＝13为整数，故n的最小值为9. 92

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b4c1.html