2018届高考数学二轮复习（文数）数学思想领航 四、转化与化归思

四、 转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 方法一 一般与特殊的转化问题 模型解法

一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．

②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．

③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．

④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．

典例1 已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1] B．[12，＋∞) C．[－1,12]

3

－，12? D.??2?

解析 当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，显然满足条件，故排除选项A，B； 339

当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，

222999

f′(x)＝x2－＝(x2－1)，

222当－1≤x≤1时，f′(x)≤0， 所以f(x)在[－1,1]上单调递减，

39

所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，

22故排除C. 综上，故选D. 答案 D

思维升华 常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特

殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． x－y＋2≥0，??

跟踪演练1 若x，y满足约束条件?y＋2≥0，

??x＋y＋2≤0，y＋1

则的取值范围为( ) x－111－，? A.??35?1

－，1? B.??3?

11

－∞，－?∪?，＋∞? C.?3??5??1

－∞，－?∪[1，＋∞) D.?3??答案 B

y＋1解析 可行域为如图所示的阴影部分，设z＝，因为点(－2，－1)在可行域内，所以z

x－1－1＋1－2＋1＝＝0，排除C，D；又点A(0，－2)在可行域内，所以z＝＝1，排除A. －2－10－1

方法二 数与形的转化问题 模型解法

数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．破解此类题的关键点：

①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．

②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解． ③回归结论，回归原命题，得出正确结论．

典例2 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )

88A. B. 9π27π24?2－1?3C.

π

8?2－1?3D. π

解析 由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝l2－r2＝32－12＝22.

由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD—A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x， 2x2h－x则有＝，

rh即

x22－x22＝，解得x＝，

3222

则原工件的材料利用率为 V正方体x38

＝＝，故选A. V圆锥129π

πrh3答案 A

思维升华 数与形转化问题，特别是空间转化问题，往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理，转化为平面几何问题来处理，降低维度，简化求解过程，降低难度．

跟踪演练2 已知直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆3x2＋y2＝a相交于A，B两个不同的点，记直线l与y轴的交点为C. (1)若k＝1，且|AB|＝

10

，求实数a的值； 2

→→

(2)若AC＝2CB，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时椭圆的方程． 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??y＝x＋1，(1)由?22

?3x＋y＝a，?

得4x2＋2x＋1－a＝0，

1－a1

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

24从而|AB|＝2|x1－x2| ＝2·?x1＋x2?2－4x1x2 310

＝2·a－＝，

42解得a＝2.

??y＝kx＋1，

(2)由?22

?3x＋y＝a，?

得(3＋k2)x2＋2kx＋1－a＝0， 1－a2k则x1＋x2＝－. 2，x1x2＝3＋k3＋k2→→易知C(0,1)，由AC＝2CB， 得(－x1,1－y1)＝2(x2，y2－1)， 解得x1＝－2x2，

2k

所以x1＋x2＝－x2＝－，

3＋k2则x2＝

2k

. 3＋k21

△AOB的面积S△AOB＝|OC|·|x1－x2|

233|k|＝|x2|＝ 23＋k2＝

33

≤＝， 3232＋|k||k|

2k

， 3＋k23

当且仅当k2＝3时取等号，此时x2＝x1x2＝－2x22＝－2×

4k22

22＝－， 3?3＋k?

1－a1－a1－a2

又x1x2＝，则＝－，解得a＝5. 2＝6633＋k所以△AOB面积的最大值为

3

， 2

此时椭圆的方程为3x2＋y2＝5.

方法三 形体位置关系的转化问题 模型解法

形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．破解此类题的关键点：

①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．

②位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．

③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．

典例3 如图，已知三棱锥P—ABC，PA＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241，则三棱锥P—ABC的体积为__________． 解析 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．

把三棱锥P—ABC补成一个长方体AEBG—FPDC， 易知三棱锥P—ABC的各棱分别是长方体的面对角线． 不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z， x＋y＝100，??22

由已知有?x＋z＝136，

??y2＋z2＝164，

2

2

解得x＝6，y＝8，z＝10， 从而知三棱锥P—ABC的体积为

V三棱锥P—ABC＝V长方体AEBG—FPDC－V三棱锥P—AEB－V三棱锥C—ABG－V三棱锥B—PDC－V三棱锥A—FPC ＝V长方体AEBG－FPDC－4V三棱锥P—AEB 1

＝6×8×10－4××6×8×10＝160.

6答案 160

思维升华 形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不规则几何体特殊化，使问题易于解决．同时也要注意方法的选取，否则会跳入自己设的“陷阱”中． 跟踪演练3 如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( ) A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值

C．是变量且有最大值和最小值 D．是常数 答案 D

解析 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．

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