连续介质力学作业(第一章)习题

连续介质力学

连续介质力学作业（第一章）习题

1. 向量a xi yj zk。i，j，k表示三维空间中标准正交基。给定一组协变基

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g1 2i，g2 i j，g3 j k。

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（1）求逆变基g1，g2，g3。 （2）求gij

（3）向量a参考逆变基g1，g2，g3表示时，a aigi，求ai。

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2. 已知笛卡尔坐标系e1,e3,e3，一个新的坐标系定义为

e 1 e 2 e3

131313

261616

e1 e

2 e3

2

2

01212

向量x x1e1 x2e2 x3e3，给定函数f(x) x1 x3。 （1） 求函数f的梯度grad（f）

（2） 求向量x参考新坐标系的表示形式x xi ei （3） 求函数f在新的坐标系下的表达形式f (x1 ,x2 ,x3 ) （4） 判断grad（f）的客观性。

3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值 1 1.6， 2 2.3。主方向N1

12

32

σ

σ

32

e1

12

e2，

N2 e1 e2。应变张量ε主值 1 1， 2 2，主方向与应力张量相同。e1,

e2为

平面直角坐标系的单位基矢量。

a) 以N1，N2为基，计算该质点处应变能密度W b) 求σij，使得σ σijei ej c) 求 ij，使得ε εijei ej

连续介质力学

d) 以e1,

e2为基，计算该质点处应变能密度W

e) 计算σ的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和主方向。

4. A,B是二阶张量，证明：A:B tr(AT B) tr(A BT) tr(B AT) tr(BT A)

5. (1)如果二阶张量S是反对称张量，对于任意一阶张量x，证明x S x 0 (2) S是二阶反对称张量，Α是二阶对称张量，证明A:S 0

R

6. 万有引力计算公式F G*M*m*

~

r

~3

，其中G为万有引力常数，M、m为两物体质

量，R为连接两物体的矢量，以M为坐标原点建笛卡尔坐标系，r R。m坐标为 x,y,z ，

~

~

则R xi yj zk。证明：在r 0处，引力场的散度为0。

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~

~

~

7. 对于任一向量场Fv F v,v,v

1

1

2

~

~

3

g

1

~

F

2

v

1

,v,v

23

g

2~

F

3

v

1

,v,v

23

g

3~

，证明它

的散度等于它的梯度的迹。divF tr F

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8. 设u，v为任意两个向量，I1、 I2、 I3为张量的三个不变量。证明：

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I1u v tru v u v

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~

I2u v 0

~

~

I3u v 0 提示：I3

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~

13

tr Itr Itr

3

2

1

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b3j4.html