考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流_朱星阳

第33卷第7期中国电机工程学报V ol.33 No.7 Mar.5, 2013

2013年3月5日Proceedings of the CSEE ?2013 Chin.Soc.for Elec.Eng. 77 文章编号：0258-8013 (2013) 07-0077-09 中图分类号：TM 71 文献标志码：A 学科分类号：470 40

考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流

朱星阳，刘文霞，张建华

(新能源电力系统国家重点实验室(华北电力大学)，北京市昌平区 102206)

Probabilistic Load Flow Method Considering Large-scale Wind Power Integration

ZHU Xingyang, LIU Wenxia, ZHANG Jianhua

(State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System With Renewable Energy Sources (North China Electric Power

University), Changping District, Beijing 102206, China)

ABSTRACT: A probabilistic power load flow (PLF) method considering large-scale wind power integration was proposed in this paper. The method , based on the current PLF method and using semi-invariant and series expansion, can make improvements in two aspects. First, piecewise linearization model was used to reduce the power flow model linearization error and improve calculation accuracy of dependent variable semi-invariant. Second, C-type Gram-Charlier series was introduced into the proposed algorithm to avoid getting the negative value of probalibity density function (PDF) of node voltage or branch power when the A-type Gram-Charlier series expansion was used to estimate distribution of random variables in probabilistic load flow calculation with large-scale wind power. To obtain semi-invariant of state variables, the inter-relationship between semi-invariant of dependent variable and distribution of independent variable in piecewise linearization model was derived on the basis of the definition of semi-invariants and the relationship can describe the correlation conveniently between active and reactive power of wind farm. Finally, the calculation on the IEEE 30-bus test system indicates that the proposed PLF method can obtain the same results as Monte Carlo simulation method with much higher speed and has much higher accuracy than the current PLF method using semi-invariant. The proposed method can solve PLF problem of power system with large-scale wind power integration quickly and accurately, and has some practical value.

KEY WORDS: probabilistic load flow; large-scale wind power; semi-invariant; piecewise linearization; C-type Gram- Charlier series

摘要：提出一种考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流算

基金项目：国家863高技术基金项目(2012AA050201)。

The National High Technology Research and Development of China 863 Program (2012AA050201). 法。该方法针对大规模风电注入功率波动性强的特点，在当前结合半不变量和级数展开的随机潮流计算方法基础上，采用分段线性化手段减小潮流方程线性化误差，提高系统状态量的半不变量求解精度；引入C型Gram-Charlier级数，避免在含大规模风电的系统中采用A型Gram-Charlier级数逼近系统状态量概率密度函数会出现负值的问题。为求分段线性化后系统状态量的半不变量，根据半不变量的定义，推导得出了分段线性函数因变量的半不变量与自变量分布之间的定量关系，此关系可方便地考虑风场有功、无功注入相关性。对IEEE 30节点系统的测试表明：所提算法与蒙特卡罗法计算结果是一致的，而计算速度则要快得多；与当前半不变量法相比，结果计算精度得到了较大提高。该算法可快速、准确地求解含大规模风电并网的电力系统随机潮流，具有较好的实际应用价值。

关键词：随机潮流；大规模风电；半不变量；分段线性化；C型Gram-Charlier级数

0 引言

风电出力受自然天气条件的影响很大，当系统中含有大规模风电场时，确定性的潮流计算无法全面反映系统稳态运行情况。随机潮流是解决上述问题的有效方法[1-2]，它运用概率统计方法处理系统运行中的随机变化因素，得到系统稳态运行情况的宏观统计信息，从而可更深刻、更全面的地揭示系统运行状况，为电力系统的经济运行、可靠性分析及安全稳定分析等提供更有参考价值的信息[3-5]。

随机潮流自从Borkowska在20世纪70年代提出[6]后，发展至今，其求解方法主要有近似法[7-8]、模拟法[9-11]和解析法[12-16]3类，近似法是利用输入随机变量的数字特征近似描述系统状态变量统计特性的方法，如一次二阶距法(FOSMM)、点估计法(PEM)，这类方法求解速度较快，但系统规模较大时，其实用性和误差大小尚需进一步考证[17]。模拟

78 中国电机工程学报第33卷

法虽然可以精确地获得状态电压和支路潮流的概率描述，但其求解速度制约了其发展，故通常只将其作为评价各种算法优劣的标准[18]。而解析法随机潮流可考虑负荷波动、发电机和线路故障等随机因素，通过一次计算求出支路潮流和节点电压的期望、方差和分布函数等信息，快速给出系统状态变量的分布，因而得到了学者们的广泛关注[12-16]。

解析法随机潮流计算一般包括2部分：1）非线性潮流方程的简化处理；2）利用随机变量间的关系进行卷积计算得到状态量的概率分布。在随机潮流计算中，潮流方程简化处理主要有线性直流潮流模型[6]、线性交流潮流模型[14-16]、近似二阶潮流模型和完整二阶潮流模型[19]等几类。其中，直流潮流模型有利于加快计算速度，但仅能分析系统有功；线性交流模型能同时分析系统有功无功；近似二阶或完整二阶模型精度高，但求解速度受影响较大，因此，线性交流模型被最常采用。但线性化交流模型在某些情况下存在计算结果精度不够的问题，例如文献[20]最先对线性化误差进行了专门研究，指出当负荷波动不大时，解析法中的线性化模型引起的误差不大，否则可能存在较大误差。然而，大规模风电并网后，该误差不可忽视，这是因为风电场出力变化范围通常较大(从零出力一直到额定功率)，其所引起的节点电压和支路功率的变化并不一定在其全部变化范围内符合某一点处的线性化潮流方程，即不能直接用单一点处的线性化潮流方程求取风电随机变化引起系统状态的波动。

随机变量的卷积运算是随机潮流计算量较大的一部分，常规的随机变量的卷积和变换非常复杂，计算量很大，而以半不变量法为基础的级数展开法通过将随机变量的卷积运算转化为半不变量的代数运算，并根据待求随机变量的半不变量信息，采用多个正态分布逼近待求变量的概率分布，极大地减少了计算量，因而该方法成为学者们研究随机潮流的首选[14,16]。采用上述方法进行随机潮流分析时，级数展开目前均采用以正态分布逼近随机变量分布的A型Gram-Charlier级数或Edgeworth 级数。然而数学界研究已表明，虽然这两种级数简便易行，但当随机变量的三阶矩或四阶矩超出一定范围时，其逼近所得的概率密度函数就会出现负值，导致结果不满足基本的概率公理[21]。由于风电波出力变化范围通常较大，大规模风电并网后系统状态量对应的三阶、四阶矩也较大，从而使得采用当前半不变量法求解所得的节点电压或支路潮流概率密度可能出现负值，方法失效，文中算例分析

可验证这一点。

基于上述分析，为利用结合半不变量法和Gram-Charlier级数的交流随机潮流这一方法的优点，弥补其用于含大规模风电的电力系统随机潮流计算时的不足，本文将提出采用分段线性化手段减小潮流方程线性化误差，提高随机变量半不变量的求解精度；引入C型Gram-Charlier级数，避免在含大规模风电的系统中采用A型Gram-Charlier级数逼近状态变量概率密度函数会出现负值的问题。为求分段线性化后系统状态量的半不变量，根据半不变量的定义推导分段线性函数因变量的半不变量与自变量分布之间的定量关系,此关系可方便地考虑风场有功、无功注入相关性。对IEEE 30节点系统的测试表明本文所提方法是有效的。

1 模型

1.1 线性化交流潮流方程

交流潮流方程的功率形式如下：

()

()

s f x

z g x

=

?

?

=

?

(1) 式中：s为节点有功无功的注入向量，在随机潮流分析中将其视为随机扰动量；x、z为系统状态向量，分别表示节点电压、支路潮流；f、g分别为系统潮流方程、支路功率方程。

为获得系统状态量在注入扰动下的变化量，将潮流方程在基准运行点处利用泰勒级数展开并忽略高次项，可得

s J x

z G x

?=?

?

?

?=?

?

(2)

将其变形得节点电压、支路潮流与节点注入变化量的线性关系为

1

1

00

x J s

z G J s

-

-

??=?

?

?

?=?

??

(3) 式中：G0为支路功率对节点电压求一阶偏导数所得矩阵，其具体元素可参见文献[14]；J0为潮流计算

最后一次迭代的雅克比矩阵，1

J-为灵敏度矩阵。

1.2 分段线性化处理

以上线性化的处理对于注入量波动较小时，求解出的状态量变化量误差也较小[20]。但风电并网后，由于风电出力波动性强，并网点对应的注入量变化范围大，使得在该注入量的期望值处单点线性化引起的误差较大。下面以节点电压为例分析其

第7期 朱星阳等：考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流 79

原因。

将式(3)中节点电压与注入变化量间的线性关系以节点i 为例展开如下：

1

101102

211

00()() ()()i i i ij j in n x J S J S J S J S ----?=?+?++

?++? (4)

分析式(4)可知：线性化潮流方程的物理意义可理解为将各节点注入功率对状态量的影响分别线 性化，(1

0J -)ij

为节点j 注入变化量?S j 对节点i 状态 量?x i 的影响系数。由于线性化是通过泰勒级数

(Taylor series)展开得到的，其前提条件是各自变量的变化范围小，在期望值附近变动。图1示出了sin x 在(0,0)处泰勒展开近似获得的曲线与sin x 真实曲线对比情况。

-X

s i n x

图1 单点泰勒展开近似 Fig. 1 Taylor series using single-point

由图1可知，与sin x 真实曲线相比，采用sin x 在(0,0)处的泰勒展开获得的曲线在x =0附近，误差几乎可以忽略不计，但随着远离展开点，如|x |>4时，开始出现较大误差，且随着距离展开点远近程度的增加，误差越来越大。同理，若网络中含有大规模风电接入，则直接采用式(4)所示的线性化方程时，同样可能存在较大的误差，其原因为风电出力波动范围较大(从零到满发)。这表明将风电并网点j 的注入功率对系统状态量的影响线性化是不合理的，特别是风电出力偏离期望值较大时，可能引起状态量计算结果较大误差。

事实上，可以采用多点展开的方法来减小图1中两条曲线间的误差。如将sin x 在x =0,-8,8三点进行泰勒展开后得到曲线如图2所示。图中两条曲线非常接近，由此可知，与单点泰勒展开相比，多点展开可有效减小逼近误差。

借鉴该思想，通过对风电波动范围进行分段，然后在多点进行潮流方程的线性化以减小风电波动所引起状态量变化的计算误差。具体处理方法如下所述。

若j 为风电接入点，则根据风场容量大小将节点j 的注入量S j 分成m 段：S j 0~S j 1、S j 1~S j 2、?、

-1

0 1X

s i n x

图2 多点线性化泰勒展开近似 Fig. 2 Taylor series using multipoint

S jm -1~S j m ，设每段的期望值分别为：E j 1、E j 2、?、E j m ；其余非风电接入点对应注入量期望值分别为：E 1、E 2、?、E j -1、E j +1、?、E n 。

记A k =(E 1、E 2、?、E j -1、E j k 、E j +1、?、E n )，其中，k =1,2,?,m 。将潮流方程分别在A 1、A 2、?、A m 处线性化，得：

1

k x J s -?=? (5)

式中1k J -为A k 处基准潮流对应的灵敏度矩阵。

由式(5)知，将风电对应注入量S j 分成m 段后，

在各段期望值附近波动时，?S j 对?x i 的影响系数分

别为：(11J -)ij 、(12

J -)ij 、…、(1m J -)ij 。 从而，风电在第k 段期望值附近波动时，状态

量变化：

111

0110(1)2k 11

0(1)20()()()()()i i i j ij j i j in n

x J S J S J S J S J S ------+?=?++?+?

?+?++? (6)

值得一提的是，上述风电场注入功率分段数m 选取时，可通过设置每段功率变化最大允许值，从而可使m 随风场容量自适应选取。对于多个风电场，分段线性化点按下述原则选取：只考虑单个风电场出力变化范围，当线性化处理某个风电场时，其余风电场出力按期望值处理。

2 分段线性化后状态量的半不变量求解

为了求出待求状态变量的概率分布，本文利用待求状态变量各阶半不变量的信息，采用级数展开方法逼近待求变量的概率密度。随机变量的半不变量具有如下性质：

1）齐次性。若随机变量Y 与X 之间满足：Y =aX +b ，则Y 与X 对应k 阶半不变量关系为

(),1

()(), 1k k k

k a X b k Y a X k κκκ+=??=?>??

(7) 2）可加性。若随机变量X 、Y 相互独立，且Z =X +Y ，则Z 与X 、Y 对应k 阶半不变量关系为

()()()k k k Z X Y κκκ=+ (8)

在常规的随机潮流计算中，基于潮流方程在基

80 中 国 电 机 工 程 学 报 第33卷

准点的线性化模型，利用半不变量的齐次可加性，可很方便地求得状态量的半不变量。而本文为减小风电接入后潮流方程的线性化误差，将潮流方程进行分段线性化，如式(5)所示，此时不满足齐次性的基本假设条件，即状态量的各阶半不变量与注入量各阶半不变量间的齐次关系被破坏了。但本文从半不变量定义出发，推导得出了分段线性函数因变量的半不变量与自变量分布之间的定量关系，本文以此求取潮流方程分段线性化后状态量的半不变量。具体推导如下：

随机变量X 的k 阶半不变量定义：

01d

[ln ()]d k

k t k k

t i t κξ==

(9) 式中：()e ()d itx x t f x ξ+∞-∞

=?

为随机变量X 的特征函

数；i 为虚数单位；f (x )为随机变量X 的概率密度。

设随机变量Y 为X 的分段线性函数：Y =aX +b ，其中a 、b 取值如下：

1112212(,),(,](,),(,]

(,)(,),(,)

m m m a b x x a b x x x a b a b x x ∈-∞??

∈?=??

?∈+∞?

则由随机变量半不变量定义式(9)得Y 的k 阶半不变量：

1112

221

1()()()

0()011d {ln[e ()d d e ()d e

()d ]}1d {ln[e ()d ]}d m m

m

s s s s

k

x it a x b k x k k x it a x b x x it a x b x t x k

m x it a x b x k k t x s f x i t f x f x f x i t κ++-∞++∞+=+===

+++=

???

∑?

1

1

()1

1()

1

(+)e ()d e

()d s s s s

s s s s

m

x it a x b s s x

s m

x it a x b x

s t a x b f x x

f x x

κ+++=+===

∑?∑?

记1()

1

()()e

()d s s s s

m

x t a x b n n s s x s F t a x b f x x ++==+∑?

，则

1d d n

n F F t

+= (10) 11

(0)()()d (0)1s s m x n

n s s x s F a x b f x x

F +=?=+???=?∑? (11) 于是， 1100/t F F κ== (12)

210112

2200

d(/)d d d t F F F F t t F F κκ=-===+

(13)

同理， 33

2112332

0000

d 23d t F F F F t F F F κκ=-==++ (14)

……

根据式(10)递推关系，依次可得随机变量Y 的各阶半不变量。采用Gram-Charlier 级数求系统状态概率分布时，取状态变量的前七阶半不变量信息即可达到较高精度[13]。对于F n (0)的求解，可根据风场功率分布状况采用抽样的数值计算方法，以避免解析法过大的计算量。

事实上，以上推导出的状态量半不变量求解算法还可方便地考虑风场有功、无功注入相关性。设风场无功注入可通过有功注入经变换g 得到，此时可通过形如Y =a 1X +a 2g (X )+b 的分段函数作以上类似推导。经推导，式(12)—(14)中κ与F n 间的关系同样成立，只需将F n (0)的计算式改为

1121

(0)(())()d s s

m

x n n s s s x s F a x a g x b f x x +==++∑?

(15)

3 随机变量概率分布逼近

在概率潮流计算的研究中，如何有效而精确地获得系统状态量(包括节点电压、支路潮流)的概率密度函数或分布函数是一个重要的问题。对于电力系统状态量概率密度函数逼近问题，A 型Gram-

Charlier 级数(或Edgeworth)由于其简便可行而通常被采用，其定义[21]如下：

011

()()[1]!

X i i i f x f x H i λ+∞

==+∑ (16)

式中：λi 为级数展开系数，可根据随机变量X 的标准差和中心矩求解；H i 为第i 阶埃米特正交多项式；

f 0(x )为标准正态分布概率密度函数。

虽然A 型Gram-Charlier 级数简便可行，但只有当随机变量的三阶和四阶中心矩满足一定范围，所求概率分布才有效，否则可能引起其逼近的概率密度函数出现负值，导致不满足基本的概率公 理[21]。Winterstein 通过偏度(skewness)、峰度(kurtosis)指标给出了A 型Gram-Charlier 级数逼近随机变量

概率密度的应用范围要求：0≤2

kewness s ≤0.667，3≤

k urtosis ≤5.2。而风电大规模并网运行后，系统注入量随机性更强，对应的三阶和四阶中心矩可能较大，故鉴于采用A 型Gram-Charlier 级数的不足，本文引入C 型Gram-Charlier 级数逼近随机变量概率密

第7期 朱星阳等：考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流 81

度的方法：

11

1

exp[()]

()1

exp[()]d i i i X i i i H x i f x H x x i γγ+∞

=+∞==∑∑? (17) 式中：γj 为级数展开系数；H i 为第i 阶埃米特正交多项式。

由式(17)可知，同A 型Gram-Charlier 级数相比，

C 型Gram-Charlier 级数采用指数形式，这可以保证所逼近的概率密度值恒大于零；此外，通过归一化处理，亦保证了概率密度函数在定义域内的积分恒为1。事实上，C 型Gram-Charlier 级数的优势还在于其不但对于拟正态分布能够获得高精度的数值结果，而且对于偏离正态分布的分布类型亦也能获得满意结果，这表明C 型Gram-Charlier 级数更适用于逼近含大规模风电的电力系统状态量的概率密度，因为风电出力并不满足正态分布。

当C 型Gram-Charlier 级数的展开次数为k 阶时，其逼近系数向量γ=[γ1, γ2,…,γk ]T 可通过下面线性方程组求解：

=A B γ (18)

式中B 为k 维列向量，b 1=0，b m =-(m -1)ψm -2 (m =2,

3,?,k )，ψm 为埃米特矩，可用下式求解：

()()d m m X H x f x x ψ=? (19)

经推导，ψm 可由待求随机变量不高于m 阶的中心矩表示，即

()(1)(,,,)m m m f ψμμμ-= (20)

式(18)中，A 为k ?k 维对称矩阵，其元素：

2

1,1,0

1

i j ij i j m m m a m

?ψ+---==

∑

(21) 式中?i -1,j -1,m 定义为

,,1,1, (1),(1) ,,20, p i j m i j m i j m p i j m

q p q i j m Γ?Γ=--++?

+??++=-+=≥??

??∏偶 且其它

采用C 型Gram-Charlier 级数逼近节点电压、支路潮流等系统状态量的概率密度时，只需取展开式前五项就可利用系统状态量前七阶半不变量信息。埃米特矩ψm 为待求随机变量的中心矩的函数，求解时可根据随机变量中心矩与半不变量间的变换关系[18]，由分段线性化后节点电压、支路潮流半不变量的求解结果计算得出。

4 待求状态量的概率分布

4.1 待求状态量的半不变量

考虑到风电波动范围较大，本文根据潮流方程线性化后状态量变化对应半不变量的可加性，将待求状态量的各阶半不变量按风电和非风电波动两类影响因素分别进行求解：

wind other +κκκ= (22)

对于非风电波动因素，假设各节点非风电波动因素间相互独立，由半不变量的可加性，各节点注入功率变化对应的半不变量可按不同随机因素叠加；将潮流方程在各节点注入期望值处线性化，由半不变量的齐次可加性，可将非风电节点注入功率半不变量变换为κother 。

对于风电波动因素，先根据风电场风速威布尔分布参数及装机情况，确定风场出力可能范围，并对各节点风电注入功率进行适当分段，然后将潮流方程按式(5)所示在各分段内进行线性化，得到各分段内风电接入点注入功率变化?S j 对系统状态量变化?x i 的影响系数(J k -1)ij ，代入式(11)得出F n (0)，根据式(12)、(13)等求出κwind 。对于多个风电场，求解系统待求状态量半不变量时，利用半不变量的可加性即可。

4.2 求状态量的概率分布

求出待求状态量的半不变量后，采用本文引入的C 型Gram-Charlier 级数逼近节点电压、支路潮流的概率分布。首先利用半不变量与中心距之间的关系由状态量的半不变量求出对应的各阶中心矩

μ，代入式(20)求得埃米特矩ψm ，通过求解形如式(18)的方程式得到逼近系数向量γ，代入式(17)取前5项

截断即得待求状态的概率分布。 4.3 计算流程

基于上述分析，采用本文所提方法求解含大规模风电场的电力系统随机潮流的流程如图3所示。

5 算例分析

5.1 测试系统

采用IEEE 30节点测试系统对本文所提方法进行验证。在节点15、25处分别接入150 MW 的风电场。假设各节点负荷服从正态分布，期望值为原始数据峰荷值，标准差取期望值的10%；各随机变量相互独立，但计及风电场的有功无功相关性，假设风电场为恒功率因素控制方式，cos ?=-0.98；不考虑元件停运和经济调度；假设风电场风速服从

82 中 国 电 机 工 程 学 报

第33卷

图3 考虑大规模风电并网的随机潮流计算流程 Fig. 3 Flowchart of the probabilistic load flow method

considering large-scale wind power integration

Weibull 分布，尺度参数c =10 m/s ，形状参数k =2，风机额定风速为15 m/s ；切入风速为3 m/s ，切出风速为25 m/s 。

5.2 结果分析与方法验证

采用本文所提方法对上述系统进行随机潮流计算，设置每段功率变化最大允许值为50 MW ，即

2个风电场各平均分为3个线性区间。并与蒙特卡罗法(Monte Carlo)、常规半不变量法(不分段、采用

A 型Gram-Charlier 级数)的计算结果进行对比。经大量测试，本文采用所提方法计算精度较高，与

Monte Carlo 方法结果几乎一致，而常规半不变量法的结果偏差较大。以节点22、支路10-22、支路12-14为例，各方法得出的节点电压幅值、支路功率分布曲线(CDF)如图4所示。

分析图4可知，与当前常规半不变量方法相比，本文所提方法计算精度较高，这是因为本文采用了分段线性化手段以提高系统状态量半不变量的计

算精度。以支路功率为例，表1示出了3种方法得出的对应状态量的各阶半不变量值，并以Monte

Carlo 方法结果为基准分析相对误差。

分析表1可知：采用本文所提方法后，计算精度大大提高，表中所列支路有功或无功功率各阶半不变量相对误差均在20%以内，而采用常规半不变量法时各阶结果相对误差均较大，故采用本文所提方法求解得出的状态量概率分布曲线非常接近于

Monte Carlo 方法的结果，与图4所示情形吻合。由此可知，当前半不变量法对大规模风电并网后的系统随机潮流计算适应性差，而本文采用分段线性化手段提高了计算精度，方法切实可行。

对比分析图4中系统3个状态量的分布曲线知：从相对于Monte Carlo 结果的偏离程度来看，常规半不变量法的计算结果中节点电压(或支路无功)比支路有功偏离更严重，而本文所提方法的计算结果无此特征。这是因为常规半不变量法难以计及风电场有功、无功功率的相关性，而本文所提方法很方便地考虑了这一点。

图5分别示出了图4中各分布曲线对应的概率密度曲线(PDF)。

由图5可知：采用常规半不变量法时，3个状态量的概率密度在曲线尾部均出现了一定程度的负值，其中U 22尤为突出。由前述分析可知，这是因为大规模风电接入后，系统状态变量的三阶、四阶等高阶矩增大，从而使得常规半不变量法采用的

A 型Gram-Charlier 级数的缺陷被表现出来。为验证这一结论，现改变风电场并网容量，根据Monte

Carlo 结果计算各情形下U 22相应三阶、四阶矩和偏度系数、峰度系数，如表2所示，图6给出了对应的概率密度曲线。

表1 不同方法的半不变量计算结果比较

Tab. 1 Result comparison of semi-invariant of different methods

各阶半不变量κ

状态量

计算方法 结果/ 相对误差 κ1/10-2 κ2/10-3 κ3/10-5 κ4/10-6 κ5/10-7 κ6/10-8 κ7/10-9

Monte Carlo 方法

结果 -2.31 2.38 1.4 -5.4 -1.68

6.12 4.38

结果 -2.96

3.02

-2.87

-8.37

4.51 11.3 -14.9

常规半

不变量法 相对误差/%

28 26 305 55 368 85 440 结果 -2.52

2.41 1.16 -5.62

-1.36

6.6 3.63

P 10-22

本文方法 相对误差/%

9 1 17 4 19 8 17 Monte Carlo 方法

结果 7.72 0.96 1.24 -0.38 -0.34

0.24 0.18

结果 7.15 2.08 -1.47

-3.94

1.67 3.75 -3.83

常规半

不变量法 相对误差/%

7 117 219 937 591 1463 2 228 结果 7.99 0.93 1.06 -0.45

-0.28

0.2 0.19

Q 12-14

本文方法

相对误差/%

4 3 1

5 18 18 17 6

第7期 朱星阳等：考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流 83

U 22/pu

(a) 节点22

R C D F

0.8 1.0 0.2

0.0

0.6 0.4

-0.2

P 10-22/pu (b) 支路10-22

R C D F

0.8 1.0 0.2 0.0

0.6

0.4

Q 12-14/pu (c) 支路12-14

R C D F

0.2

图4 节点电压幅值或支路潮流CDF 曲线比较 Fig. 4 CDF comparison of branch flow or node voltage

分析表2知：随着风电接入容量增加，系统状态量

U 22半不变量的三阶、四阶矩也逐步增大，对应的偏度系数、峰度系数偏离A 型Gram-Charlier 级数拟合概率分布所要求的范围也越远。从而，图6中

U 22/pu

(a) 节点22

R P D F

--

P 10-22/pu (b) 支路10-22

R P D F

Q 12-14/pu

(c) 支路12-14

R P D F

-146210

图5 节点电压幅值或支路功率PDF 曲线比较 Fig. 5 PDF comparison of branch flow or node voltage

表2 风电不同接入容量时U 22高阶矩比较

Tab. 2 Results comparison of high-order moments of U 22

under different penetrations of wind

接入

容量/MW 风电

渗透率/%

三阶矩(10-7)

四阶矩 (10-8)

偏度 系数

峰度 系数

0 0.00 -0.197 0.460 -0.08 3.02 50 5.60 -0.163 0.485 -0.07 2.99 100 11.1 -0.134 0.509 -0.05 2.98 150 16.7 -4.590 2.663 -0.49 2.95

200 22.2 -78.50 49.57 -0.93 2.89

U 22/pu

R P D F

50

70

-10

30

10

图6 风电不同接入容量时节点22电压PDF 曲线 Fig. 6 PDF of node-22 under different penetration of wind

的对应的概率密度曲线拟合效果也随之变差，出现负值的现象随之明显。而采用C 型Gram-Charlier 级数后的拟合效果一直保持较好，不会出现负值，限于篇幅，图6中没有画出相应曲线，但这由第3节的理论直接可知，在图5中也已体现。由此可知C 型Gram-Charlier 级数的引入有效避免了系统状态量分布出现负向拟合曲线的现象，与A 型相比，C 型更适用于大规模风电并网后系统随机潮流计算。 5.3 误差分析

为了进一步对本文所提方法的误差进行定量分析，采用文献[13]定义的方差和根均值(average

root mean square ，ARMS)来度量随机潮流算法误

差。ARMS 定义如下：

84 中 国 电 机 工 程 学 报 第33卷

RMS /A N =

(23)

式中：M C i 、P R i 分别为Monte Carlo 和待分析算法所求累积概率分布曲线上第i 个点的值；N 为所取统计点总数。误差分析所需统计点的取法如下：在

Monte Carlo 仿真所得的概率分布函数非零取值范围内，均匀选取，相邻点间距尽量小。本文设定

Monte Carlo 抽样次数50 000次，节点电压、支路功率误差分析统计点间距分别为0.000 1 pu 、

0.001 MW 。

表3列出了5.1节中所述IEEE 30节点系统部分PQ 节点电压幅值、支路功率的ARMS 值，并分别给出了系统电压ARMS 最大值A UM 、系统功率

ARMS 最大值A PM /A QM 、系统电压ARMS 平均值A UA 、系统功率ARMS 平均值A PA /A QA 及对应最大误差所在处。并与常规半不变量法对比，如表3所示。表中方法A 指常规半不变量法，方法B 为本文所提算法。可以看出，大规模风电并网后，采用常规半不变量法得出的电压幅值或支路功率ARMS 值均较大，而采用本文所提方法所得ARMS 值较小，大多小于0.01，由此可知算法结果与Monte

Carlo 结果基本一致。相对于常规半不变量法，结果精度得到了较大提高。

另外，本文方法计算耗时为0.720 s ，Monte

Carlo 方法为185.236 s ，常规半不变量法为0.712 s ，可见，本文所提方法计算速度明显快于Monte Carlo 方法，稍慢于常规半不变量法。需要说明的是，半不变量的可加性为算法实现采用并行程序设计提供了便利条件，上述本文方法耗时结果是基于并行程序设计所得。若采用单线程程序设计，耗时将随

表3 部分节点电压幅值或支路功率的ARMS Tab. 3 Parts ARMS of voltage magnitude or branch flow

ARMS/10-2 ARMS/10-2

电压 方法A 方法B 精度 提高/% 功率

方法A 方法B 精度

提高/%

U 9 1.56 0.26 83 P 6-8 0.31 0.04 87 U 10 1.44 0.19 87 P 14-15 0.88 0.22 75 U 12 1.40 0.31 78 P 24-25 1.19 0.46 61 U 14 1.50 0.35 77 Q 6-8 4.08 1.05 74 U 15 2.11 0.40 81 Q 14-15

5.91 0.94 84

U 16 1.68 0.27 84 Q 24-25 3.72 0.76 80 系统 指标 方法A 方法B 系统 指标

方法A

方法B

A UM U 6=2.77

U 23=0.55

A UA 1.74 0.36 A PM P 24-25=1.19 P 12-16=0.53 A PA 0.82 0.23 A QM

Q 12-15=6.37

Q 6-8=1.05

A QA 3.76 0.82

分段数增加而变长，故实际工程应用时，若没有条件实现并行运算，为平衡求解速度与求解精度矛盾，可考虑只将网内规模较大的风场按本文所提方法处理，其余规模稍小的风场采用单点线性化 处理。

为研究本文算法性能对风电并网规模敏感性，对不同风电渗透率时系统误差(A UA 、A PA 、A QA )进行了测试，并与常规半不变量法对比，如图7所示。

0 5.6

11.1 16.7 22.2

风电渗透率/%

系统A R M S 平均值/(10-2)

图7 风电不同渗透率时系统ARMS Fig. 7 ARMS of system under different

penetration of wind

由图7可知：随着风电接入容量的增加，常规半不变量法得出的节点电压或支路功率ARMS 呈现逐步增加的趋势，即误差随之增大。而本文所提方法对应ARMS 随风电渗透率增加而基本保持不变，一直维持在较高的计算精度。以上事实表明本文所提算法适用于含大规模风电并网的电力系统随机潮流分析，而常规半不变量法适应性较差。

6 结论

针对当前结合半不变量和级数展开的随机潮流计算方法用于含大规模风电系统的不足，本文提出了一种新方法。与当前方法相比，该方法主要有以下特点：1）采用分段线性化手段减小潮流方程线性化误差，提高了随机变量半不变量的求解精度；2）推导得出的分段线性化后状态量的半不变量求解方法可方便地考虑风场有功、无功注入相关性，从而使得结果进一步接近电网实际；3）引入C 型Gram-Charlier 级数，避免了在含大规模风电的系统中采用A 型Gram-Charlier 级数逼近状态量概率密度函数会出现负值的问题。4）风电并网规模增大时，算法适应性好，均可保持较高的计算精度。

本文提出的方法在相同精度条件下，相比于

Monte Carlo 方法计算速度大大加快，可用于大规模风电并网后系统潮流随机波动特性分析、电网安全评价等方面，为规划、调度运行人员提供更加全面的信息，具有较好的实际应用价值。

第7期朱星阳等：考虑大规模风电并网的电力系统随机潮流 85

参考文献

[1] Usaola J．Probabilistic load flow with correlated wind

power injections[J]．Electric Power Systems Research，

2010，80(5)：528-536．

[2] 陈雁，文劲宇，程时杰．考虑输入变量相关性的概率潮

流计算方法[J]．中国电机工程学报，2011，31(22)：80-87．Chen Yan，Wen Jinyu，Cheng Shijie．Probabilistic load

flow analysis considering dependencies among input random variables[J]．Proceedings of the CSEE，2011，

31(22)：80-87(in Chinese)．

[3] 潘炜，刘文颖，杨以涵．概率最优潮流的点估计算法

[J]．中国电机工程学报，2008，28(16)：28-33．

Pan Wei，Liu Wenying，Yang Yihan．Point estimate method for probabilistically optimal power flow computation[J]．Proceedings of the CSEE，2008，28(16)：28-33(in Chinese)．

[4] 刘怡芳，张步涵，李俊芳，等．考虑电网静态安全风险

的随机潮流计算[J]．中国电机工程学报，2011，31(1)：59-64．

Liu Yifang，Zhang Buhan，Li Junfang，et al．Probabilistic

load flow algorithm considering static security risk of the

power system [J]．Proceedings of the CSEE，2011，31(1)：59-64(in Chinese)．

[5] Aboreshaid S，Billinton R．Probabilistic evaluation of

voltage stability[J]．IEEE Transactions on Power Systems，1999，14(1)：342-347．

[6] Borkowska B．Probabilistic load flow[J]．IEEE

Transactions on Power App．Syst，1974，93(3)：752-759．[7] Chun-Lien S．Probabilistic load-flow computation using

point estimate method[J]．IEEE Transactions on Power

Systems，2005，20(4)：1843-1851．

[8] Caramia P，Carpinelli G，Varilone P．Point estimate

schemes for probabilistic three-phase load flow [J]．Electric Power Systems Research，2010，80(2)：

168-175．

[9] 于晗，钟志勇，黄杰波，等．采用拉丁超立方采样的电

力系统概率潮流计算方法[J]．电力系统自动化，2009，33(21)：32-36．

Yu Han，Zhong Zhiyong，Huang Jiebo，et al．A

probabilistic load flow calculation method with Latin hypercube sampling [J]．Automation of Electric Power

Systems，2009，33(21)：32-36(in Chinese)．

[10] 李俊芳，张步涵．基于进化算法改进拉丁超立方抽样的

概率潮流计算[J]．中国电机工程学报，2011，31(25)：

90-96．

Li Junfang，Zhang Buhan．Probabilistic load flow based

on improved latin hypercube sampling with evolutionary

algorithm[J]．Proceedings of the CSEE，2011，31(25)：

90-96(in Chinese)．

[11] Yu H，Chung C Y，Wong K P，et al．Probabilistic load

flow evaluation with hybrid Latin hypercube sampling and

cholesky decomposition [J]．IEEE Transactions on Power

Systems，2009，24(2)：661-667．

[12] 余昆，曹一家，陈星莺，等．含分布式电源的地区电网

动态概率潮流计算[J]．中国电机工程学报，2011，31(1)：

20-25．

Yu Kun，Cao Yijia，Chen Xingying，et al．Dynamic

probability power flow of district grid containing distributed generation[J]．Proceedings of the CSEE，2011，

31(1)：20-25(in Chinese)．

[13] Pei Z，Lee S T．Probabilistic load flow computation using

the method of combined cumulants and Gram-Charlier

expansion[J]．IEEE Transactions on Power Systems，

2004，19(1)：676-682．

[14] 胡泽春，王锡凡，张显，等．考虑线路故障的随机潮流

[J]．中国电机工程学报，2005，25(24)：26-33．

Hu Zechun，Wang Xifan，Zhang Xian，et al．Probabilistic

load flow method considering branch outages [J]．Proceedings of the CSEE，2005，25(24)：26-33(in

Chinese)．

[15] Usaola J．Probabilistic load flow in systems with wind

generation[J]．Generation，Transmission & Distribution，

IET，2009，3(12)：1031-1041．

[16] Tian W D，Sutanto D，Lee Y B，et al．Cumulant based

probabilistic power system simulation using Laguerre polynomials[J]．IEEE Transactions on Energy conversion，

1989，4(4)：567-574．

[17] Sanabria L A，Dillon T S．Stochastic power flow using

cumulants and V on Mises functions[J]．International

Journal of Electrical Power & Energy Systems，1986，

8(1)：47-60．

[18] Hu Zechun，Wang Xifan．A probabilistic load flow method

considering branch outages[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2006，21(2)：507-514．

[19] Brucoli M，Torelli F，Napoli R．Quadratic probabilistic

load flow with linearly modeled dispatch[J]．Electrical

Power and Energy Systems，1984，17(3)：138-146．[20] Allan R N，Leite de S A M，Burchett R C．Evaluation

methods and accuracy in probabilistic load flow solutions[J]．IEEE Transactions on PAS，1981，100(5)：

2539-2546．

[21] Muscolino G，Ricciardi G．Probability density function of

MDOF structural systems under non-normal delta- correlated inputs[J]．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1999，168(1999)：121-133.

收稿日期：2012-12-31。

作者简介：

朱星阳(1985)，男，博士研究生，研究

方向为新能源接入后电网安全稳定分析、

风险评价、优化运行，zhuxingyang123@

92fca38e03d8ce2f01662304。

朱星阳

(责任编辑张玉荣)

Extended Summary

正文参见pp.77-85

S10

Probabilistic Load Flow Method Considering Large-scale Wind Power

Integration

ZHU Xingyang, LIU Wenxia, ZHANG Jianhua

(North China Electric Power University)

KEY WORDS: probabilistic load flow; large-scale wind power; semi-invariant; piecewise linearization; C-type Gram-Charlier series

When Large-scale Wind Power is integrated to power systems, the deterministic load flow can not fully reflect the system's steady-state operation. Probabilistic power load flow (PLF) analysis is an effective method to solve this problem. The analytical method of PLF has attracted scholars’ extensive attention due to its high efficiency and the typical style that combines the concept of semi-invariant and A-type Gram-Charlier (AGC) expansion theory. However, the study shows that some problems such as big result errors and negative values of probability may crop up when this method is applied to power systems with Large-scale Wind Power Integration.

In order to solve the above-mentioned problem, this paper proposes a PLF method considering large-scale wind power integration. It improves the current PLF method combining semi-invariant and series expansion from two aspects. First, the piecewise linearization model is used to reduce the power flow model linearization error and improve calculation accuracy of dependent variable semi-invariant. If the A-type Gram-Charlier series expansion is used to estimate distribution of random variables in probabilistic load flow calculation with large-scale wind power, the probability density function (PDF) of voltage or power flow may be negative. To solve this problem, C-type Gram-Charlier (CGC) series is introduced into the proposed algorithm in this paper and the inter- relationship between semi-invariant of dependent variable and distribution of independent variable in the piecewise linearization model is derived. And the main steps of the proposed method are shown in Fig.1.

The calculation on the IEEE 30-node test system indicates that the proposed PLF method can obtain similar results as the Monte Carlo simulation method has much higher speed and much higher accuracy than the current PLF method using semi-invariants. Test results of Node 22 are shown in Fig.2.

Average root mean squares (ARMS) of state variables (P , Q , U ) are used to test algorithm performances. Results in Fig.3 show that the error of the current method using semi-invariants (method A) increases along with the increase of wind power integration scale, while the proposed method (method B) can maintain high accuracy for any scales.

Theoretical analyses and test results demonstrate that the proposed method can solve the PLF problem of

Fig.1 Flow chart of the proposed PLF algorithm

U 22/pu

R C D F

0.81.00.20.0

0.60.4

U 22/pu

R P D F

15

25

-3-

5

Fig. 2 CDF and PDF comparison of U 22

0 5.611.1 16.7 22.2

Wind power penetration/%

A R M S /(10-2)

Fig. 3 ARMS under different penetrations of wind power

power systems with large-scale wind power integration quickly and accurately, and has some practical value.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b39e.html