布里渊区的定义及二维倒易点阵布里渊区的图象

金属物理的基本概念

南京师大学报

自然科学版

一九八四年

第三期

布里渊区的定义及立维倒易点阵布里渊区的图象物理系

李树德

一在讨论晶体中电子的运动状态时,

倒易点阵具有特别重要的意义,

。

倒易点阵可以通过与。

晶体直接联系的点阵的傅里叶变换得出

故倒易点阵占据的空间称为晶体的傅里叶空间

若取倒易点阵中的一个阵点为原点当于一个在晶体中运动的电子的波矢盘、。。

,

那么在此空间中的任意一点相对于原点的矢量就相

。

任意一个倒易阵点相对于原点矢量称为倒易点阵矢

有、、。

二

一

一

。

式中的

,

,

为此倒易点阵的基本平移矢量,

,

,

,

为整数

。

因此

,

晶体的傅里

叶空间可视为波矢空间

在这种波矢空间中存在着周期性规则排列的倒易阵点,

。

如果不计入电子的自旋色散关系。

波矢

表示电子的运动状态,

。

电子的本征能量与波矢的关系由

给出,

。

。

表示能带的编号

这样。

,

波矢空间中的一个点就代表晶体中电子的

一个状态

。

于是

波矢空间又被称为状态空间,

对于在晶体中运动的电子的本征能量。

有

。

一。

它表示本征能量对波矢空间的原点是反演对称的

又有。。

一、

。

它表示由

表示的状态和,

。,、。

表示的状态是等效的,

。

对于实际的晶体可值,卜

它的大小和电子总数是有限的。

描写电子状态的波矢只能取分立的许

相应的本征能量也是分立的户

若取波矢创自、

、

洲、、

,

那么

,

一组分立的值,。

,

’

,

就表示电子的一个许可态

。

这一组分立的值在波矢空间其分布密度就是电子许可态

中用一个代表点表示

这些代表点在波矢空间中是均匀分布的,

。

的密度

由于实际晶体中的电子总数很大

这些状态代表点对应的分立的本征能量一般说来是准

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连续变化的

。

但是

,

当这些代表点所对应的波矢

满足衍射方程

。

些又任生竺‘‘龟二苍护硬、长

全竺竺”

时

,

也就是代表点落在倒

点易阵矢量,

””

的中垂面上时

,

它所对应的本征状态可以有两。

种

,

一种是低能量状态由上得出,

,

一种是高能

量状态

,

它们是门种不毛火态的随扮波矢的改变,

在低能量状态和高能。

量状态之间存在着禁戒区域量是准连续改变的量一般要发生跃变。

晶体中的电子不能处于禁成的区域中所对应的状态,

当状态代表点逐点偏离原点时。

,

它们所对应的电子本征能

但是当代表点通过倒易傲阵矢量的中垂面这是品体的傅里叶空间所具有的特性。、

又称布拉格面

时

,

本征能

也就是为什么要将整个空间划分,

为不同区域的基本原因域。

这些布拉格面将晶体的博里叶空间分割成人小由上所述。

形状不一的小块。

它们分属于不同的区。

,

准连续变化的能级组成能带布拉格面两侧的状态分属于两个不同的能带于,

是

,

在晶体的傅里叶空间中存在与一个个能带相对应的区域

这种区域就称为布里渊区的能带。

简,

称为布区

这种表示法称为扩展布里渊能区表示法,

。

其中最重要的布区称为第一布区

它是包含了晶体的傅里叶空间原点的能区

所对应的能带为编号

二第一布区定义为倒易点阵的维格纳一一赛兹原胞,

它是由邻近原点的诸倒易点阵矢量的。

中垂面所完全封闭的最小体积单元胞数,

。

根据这个定义,

,

可以作出不同类型的倒易点阵的第一布区

这样定义的第一布区显然满足以下几点在原胞中只包含原点这一个倒易阵点。

①它是倒易点阵的一种最小的重复周期它所占据的体积为倒易点阵中一个阵点所占据个代表点。

的平均体积,

②根据代表点分布密度

,

可算出第一布区包含二

,

为晶体包含的原

因此第一布区可以包含考虑自旋的

个不同的电子状态,

⑧第一布区的原点是对称

中心

,

即若在第一布区中的一个代表点所对应的波矢为一。

则在区内必能找到另一个代表,

点

,

它所对应的波矢为。。

根据。

式因此,,

,

它们所对应的本征能量相同

并属于同一个,

能带

④第一布区由布拉格面所封闭

凡在第一布区边界之外的代表慧必属于其它,

的能带

相邻的能带之间一般由禁带所隔开,

但也可能出现能带重迭的情况,。

。

因此

,

第一布

区内所有的代表点所对应的状态都属于第一能

带

凡不在第一布区的代表氛必不属于第一能,

带

。

显然

这样定义的布区是用于电子能带理论的唯一的构图形式、

为了进行本文所要着重讨论的第二

第三等高阶布里渊区的划分规则

我们引入另外两

种对第一布区的定义

。

第一布区定义为倒易点阵中包含原点在内的由布拉格面封闭起来的区域域内部没有任何的布拉格面通过。

,

在这个区

这个定义和前述的定义是一致的

。

因为若区内没有任何布拉格面通过,

,

它必是由布拉格。

面所封闭的最小体积

。

反之

,

若区内有布拉格面通过

那么所取的区域必不是最小的

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第一布区定义为倒易点阵空间中的一个点集点的矢量都不穿过任何的布拉格面同样,,

。

凡属于此点集中的任意一点相对于原,

凡具有上述性质的点。、

幻都属于此点集〔

。

这个定义和前述的定义是一致的,

仿照以上的定义

可以定义第二,,

第三以至第

布区

。

根据第一布区的定义

可以作出不同类型的倒易点阵的第一布区

。

尸,

为了讨论和作图的方便

我们讨论二维倒易点阵的情况表示。。

,

在二维倒易点陈中

倒易点阵

矢量用示。

、

、

二

倒易点阵矢量的中垂面在二维倒易点阵上用布拉格线表。

布拉格线相交得到一个点,

图一表示了五种不同类型的二维倒易点阵的第一布区

图中的直线表示各个倒易点阵矢

里的中垂线

即布拉格线

。

图中的小圆点表示阵点

。

八

二比夕仗

盛

了己

图一图一图一

中的中的中的

包围的区域表示王方点阵的第一布区,。

。

它由原点的四个第一近邻倒,

易点阵矢里的中垂线包围而成

显然符合对第一布区的定义包围的区域表示六边形点阵的第一布区。

它由原点的六个第一

近邻倒易点阵矢量的中垂线包围而成近邻倒易点阵矢量的中垂线包围而成

包围的区域表示一种长方点阵的第一布区。

,

它由原点的第一和第二

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图一围成的区域图一,

中的则为菱形,

包围的区域表引一种有心长方点阵的第一布

区。。

,

它由原点第一

和第二近邻倒易点阵矢量的中垂线包围而成中的,

若把第一布区取成由四个第一近邻的布拉格线,

显然这不符合第一布区的定义。

包围的区域表示一种斜方点阵的第一布区

它由原点的第一

、

第

二和第三近邻的布拉格线包围而成域,

若把第一布区取成第一和第二近邻的布拉格线围成的区。

则为平行四边形

显然不符合第一布区的定义

仿照二中的仿照区域,,

和

对第一布区的定义即布拉格面。

,

可以定义第二

、

第三以至第

布区,

。

第二布区定义为倒易点阵中由若干个布拉格面包围起来的一些小块所组成的,

要求这些小块的边界面

下同

要包括第一布区所有的边界面

并且在

其内部没有任何布拉格面通过第

布区定义为倒易点阵中由若干个布拉格面包围起来的一些小块所组成的区域一

,

要求,

这些小块的边界面要包括理五、,

布区中除去它与第。

一

布区的共同边界以外的所有的边界面。

并且在其内部没有任何布拉格面通过根据上述定义仿照,,

我们可以逐个地作出各阶布区,

第二布区定义为倒易点阵空间中的一个点集凡具有上述性质的点,

,

凡属于此点集中的任意一点相都属于此点集。

对于原点的矢量只穿过一个布拉格面第

,

布区定义为倒易点阵空间中的一个点集一

凡属于此点集中的任意一点相对于原点的一

矢量只穿过

个布拉格面。

既不多于

、

也不少于

个布拉格面,

,

凡具有上述性质的

点

,

都属于此点集

〔〕

若上述的矢量穿过布拉格面的交线为两个布拉格面的交线

则认为此矢量穿过了两个布

拉格面”“

如果此交线为三个布拉格面的共同的交线,

,

则认为此矢量穿过了三个布拉格面,。

同理

我们只作出二维倒易点阵的各阶布区的图象。

图二表示了五种不同类型的二维例,

易点阵的前几个布区

图中的小圆点表示倒易点阵的阵点

,

。,。

,

,

……分别表示倒易点阵的原点,,

,

原点的第一近邻

,

第二近邻,。

,

第三近邻,

…直线表示布拉格线。

,

…分别表示

与原点的第一近邻图二中的

第二近邻

第三近邻等对应的布拉

格线、

图下方各个长方形框用以帮助,

区分图中的各阶布区

所取的分别是长方,

有心长方和斜方点阵的一种形式。

如果近邻之

间的距离相对地改变了图二是根据仿照

布区的形状也随之改变

对各阶布区的定义逐个地作出的。。

,

其作图的步骤为

①作出倒易点。

阵图和确定原点出第二布区,

。

②作出原点的近邻所对应的布拉格线在作图时必须画得准确,

③按定义确定第一布区

④逐次作

第三布区……

并确认划定的布区内没有任何布拉格

线通过

。

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苏再立,,‘头堆今,一由嗯呈

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比

产路川孟宾‘办度川店琳‘,产山右

二

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董

口旨圈户

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名

三

卜岁鬓叫叫产贻刀十由氯晰我毫阅脚笋一犷粉簇参犷幽举幽掩尾笋示广一

渝

、

卜

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妥选彝诬

黑携彝乌二乏实尹维姗丛滚煞纂吟升丝盛急李二平述于

—

上

沈茸抹用

,什

彗舟经

,

生斗林十什什咋咋

尹

丫

、

,

一

一二乏诺氮井、抽‘…一么一

队

岌溉薪二份了竹丫卜共二城

,

左

裸

声尸

犷入‘车’

二

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、

刁刀

有产心布‘工汐,峨心浏布若多声,山琳

』去曰一目‘牌声,再价’,尹琳弄今忍

图

二,

虽然在原则上可以作出任何一阶布区的图象

但实际上在讨论费米面的情况时,

,

只须用

到前几阶布区的图形就足够了易作得准确。

。

另外

,

区的阶数愈高。

布区的各个小块面积愈小,

,

就愈不容

因此

,

重要的是前几阶布区的图象,

对于三维倒易点阵的情况

可以用同样方法作出

只是作起图来更不容易

。

四由上定义作出的布区图象。

如图二,

‘

,

可以归纳出布区的一些特性,

。

布区是倒易点阵的一种原胞每个布区只包含一个倒易阵点因此得出各个布区的体相等的结论。。

积

在二维情况下为面积。

从图二中看出

,

一般的倒易点阵中的各阶布区都可以通

过平移倒易点阵矢量将它们这样就把用扩展能区表示法中的各阶布区所对应的各阶。。

的各个小块平移并合成第一布区

能带也平移到了第一布区

用第一布区表示各阶能带的方法称为简约能区表示法

对于对称

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低的倒易点阵维倒易点阵。

,

如图二中的斜方倒易点阵,。

,

有的高阶布区

,

如第三布区就不能通过平移时,

易点阵矢量并合到第一布区,

但它们能并合成一个周期单元。

并遵照布洛赫定理

。

〔〕对

三

上述的结论也是适合的

原点是各阶布区的对称中心一

在同一个布区中。

,

只要有一点所对应的波矢为

,

必有另外一点对应的波矢为,

同样

,

如果波矢。

相应的一个点属于某阶布式,

区

则波矢,。

一

相应的一个点也必属于这个布区

根据,

这两种状态对应的本征。

能量是相同的根据

故是简并的状态式,。

。

不只是第一布区可以表示各阶能带,

其它各区也可以这样表示。

这种

表示法称为周期能区表示法状态的对称性。

各个布区的形状虽然不同。

但它们都反映了倒易点阵对称性的特点。

这反映了电子,

对称性愈高,

,

简并度也愈高

由于各个布区都是以原点为对称中心的因而不会产生宏观电流,,。

,

且有

式

,

所以在平衡态时。

电子占据

的状态也是对称的。

除第一布区是整块的。

其它各阶布区都由若干小块组成,

这些小块由它们的边界面

之间的交线互相串接向都是存在的接,

并把原点封闭起来,。

这表示各个区中备代表点所对应的波矢在各个方

在二维图象中,

同一个区中的诸小块面积由它们边界线之间的交点互相串。

并把原点封闭起来

以上所述的一些特性以上对于布区的讨论

对于确认各阶布区作得是否完整和准确是有帮助的对于声子等元激发也是适用的。

,

参〔,

考

文

献。,,

〔〕,

。

,

。

〔〕

。

。

,

,

,

。

一

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b37j.html