山东省济南市高新区2018届九年级中考数学一模试卷解析

2018年山东省济南市高新区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1. ﹣3的相反数是（ ） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B

【解析】分析：依据相反数的定义求解即可．

详解：﹣3的相反数是3． 故选B．

点睛：本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2. 随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（ ） 104 B. 2.15×103 C. 2.15×104 D. 21.5×102 A. 0.215×【答案】B

【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

3

详解：2150=2.15×10．

n

故选B．

点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列图形中，中心对称图形的是（ ）

n

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：根据中心对称图形的概念即可求解．

详解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意；

C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选D．

点睛：本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 4. 下列计算正确的是（ ）

6

a3=a3 B. （a2）3=a8 C. （a﹣b）2=a2﹣b2 D. a2+a2=a4 A. a÷

【答案】A

3

【解析】选项A，原式= a ；选项B，原式=；选项C，原式=

；选项D， 原式=.故选A.

5. 如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（ ）

A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】B

【解析】试题分析：先根据对顶角相等得到∠AED的度数，再根据平行线的性质即可求得结果. ∵∠CEF=140° ∴∠AED=140° ∵AB∥CD

∴∠A=180°-∠AED=40° 故选B.

考点：平行线的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补. 6. 化简A.

÷

的结果是（ ）

D. 2（x+1）

B. C.

【答案】A

【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

详解：原式= 故选A．

?（x﹣1）=

．

点睛：本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

7. 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（ ） A. C. 【答案】B

学|

科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网... 详解：设每个排球x元，每个实心球y元， 则根据题意列二元一次方程组得：故选：B．

点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.

8. 如图，直径为10的⊙A上经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）

，

B. D.

A. B. C. 【答案】C

D.

【解析】分析：首先根据圆周角定理，判断出∠OBC=∠ODC；然后根据CD是⊙A的直径，判断出∠COD=90°．在Rt△COD中，用OD的长度除以CD的长度，求出∠ODC的余弦值为多少，进而判断出∠OBC的余弦值为多少即可．

详解：如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD． ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠OBC=∠ODC．

∵CD是⊙A的直径，∴∠COD=90°， ∴cos∠ODC=

=

=，

∴cos∠OBC=，即∠OBC的余弦值为． 故选C．

点睛：（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （2）此题还考查了特殊角的三角函数值的求法，要熟练掌握．

9. 如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）

A. （0， ） B. （0，） C. （0，2） D. （0，） 【答案】B

【解析】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小．∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB．∵A的坐标为（﹣4，5），∴A′（4，5），B（﹣4，0）． ∵D是OB的中点，∴D（﹣2，0）．

设直线DA′的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线DA′的解析式为．当x=0时，

y=，∴E（0，）．故选B．

10. 一次函数y=ax+b与反比例函数y=（ ）

，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】A.由一次函数得，a>0，b<0，a-b>0；由反比例函数得，a-b<0，不一致，错误； B. 由一次函数得，a<0，b>0，a-b<0；由反比例函数得，a-b>0，不一致，错误； C. 由一次函数得，a>0，b<0，a-b>0；由反比例函数得，a-b>0，一致，正确； D. 由一次函数得，a<0，b<0，与故选C.

AC，BD相交于点O，11. 如图，在?ABCD中，点E是OA的中点，连接BE并延长AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论中不正确的是（ ）

不一致，错误；

A. B. S△BCE=36 C. S△ABE=12 D. △AFE∽△ACD

【答案】D

详解：∵在?ABCD中，AO=AC． ∵点E是OA的中点，∴AE=CE． ∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴ ∵AD=BC，∴AF=AD，∴ 故选项A正确，不合题意． ∵S△AEF=4，

=（

2

）=，∴S△BCE=36．

==．

=．

故选项B正确，不合题意． ∵

=

=

=，∴S△ABE=12．

故选项C正确，不合题意．

∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似． 故选项D错误，符合题意． 故选D．

点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

2

12. 如图，已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）

和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线

x=1，（1）abc＞0；（2）4a+2b+c＞0；（3）4ac﹣b2＜16a；（4）＜a＜；（5）b＜c，其中正确的结论有（ ）

A. （2）（3）（4）（5） B. （1）（3）（4）（5） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（5） 【答案】C

【解析】分析：根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．

详解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号．

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；

2

③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，

即a=b﹣c，c=b﹣a． ∵对称轴为直线x=1，

∴﹣=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0． ∵16a＞0， ∴4ac﹣b2＜16a， 故③正确；

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＜a＜； 故④正确；

⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤错误； 故选C．

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．

2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13. 因式分解：xy2﹣4x=_____． 【答案】x（y+2）（y﹣2）．

【解析】试题分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

2

试题解析：xy-4x，

=x（y2-4）， =x（y+2）（y-2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

14. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是_____． 【答案】0

【解析】分析：由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．

222

详解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+k﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得：k﹣

k=0，解得：k1=1，k2=0．

x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程， 当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）故k≠1． 所以k的值是0． 故答案为：0．

点睛：本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．

15. 在一个不透明的袋子中，装有大小，形状，质地都相同，但颜色不同的红球3个，黄球2个，白球若干个，从袋子中随机摸出一个小球是黄球的概率是，则袋子中白色小球有_____个； 【答案】3．

【解析】分析：直接利用概率求法得出等式求出答案．

详解：设白球x个，由题意可得：

=，解得：x=3．

故答案为：3．

点睛：本题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题的关键．

16. 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD=2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】

【解析】∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC=90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBF， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AE=AB=1，

由勾股定理得，BE=， ∵点E是AD的中点， ∴AD=2，

∴阴影部分的面积=2×1﹣故答案为：

．

，

【点睛】考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式是解题关键.

17. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=﹣的图象经过点C，与AB交与点D，则△COD的面积的值等于_____；

【答案】10．

【解析】分析：易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值，可以假设OF=3x，推出OC=5x，可得OA=OC=5x，

2S菱形ABCO=AO?CF=20x2，由C（﹣3x，4x），可得×3x×4x=6，推出x=1，由此即可解决问题．

详解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，

∵四边形OABC为菱形，∴AB∥CO，AO∥BC． ∵DE∥AO，∴S△ADO=S△DEO，同理S△BCD=S△CDE．

∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO． ∵tan∠AOC=，∴OF=3x，∴OC=5x，∴OA=OC=5x． ∵S菱形ABCO=AO?CF=20x2．

2

∵C（﹣3x，4x），∴×3x×4x=6，∴x=1，∴S菱形ABCO=20，∴△COD的面积=10．

故答案为：10．

点睛：本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=

x-与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，

过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2018的横坐标是_____．

【答案】

【解析】试题分析：先根据直线l：y=x﹣

与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，

再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为

A2的横坐标为，

A3的横坐标为，

，

进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标

，

故答案为：．

考点：1、一次函数图象上点的坐标特征，2、等边三角形的性质

三、解答题（本题共78分，第19～21题，每小题5分，第22～23题，每小题5分，第24～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．）

19. 计算：﹣|﹣2|+（）﹣1﹣2cos45°【答案】+1

【解析】分析：直接利用二次根式的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．

详解：原式=2﹣2+3﹣2× =2+1﹣ =+1．

点睛：本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．

20. 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】x≥

【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可. 详解：

由①得，x＞﹣2； 由②得，x≥，

故此不等式组的解集为：x≥．

，

在数轴上表示为：．

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21. 如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】分析：根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

详解：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，∵∴四边形BEDF是平行四边形．

点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握

，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，

矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．

22. 济南在创建全国文明城市的进程中，高新区为美化城市环境，计划种植树木30000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%．结果提前10天完成任务，求原计划每天植树多少棵． 【答案】500棵

【解析】分析：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意可得：实际比计划少用10天，据此列方程求解．

详解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），由题意得：

﹣解得：x=500，

经检验，x=500是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树500棵．

点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

23. 济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

=10

请根据以上信息，回答下列问题：

（l）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；

（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 ． （3）请估计全校共征集作品的什数．

（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

(3) 180件 (4) 【答案】(1) 抽样调查 (2) 150°

【解析】分析：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． （2）6÷由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：继而可补全条形统计图；

（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．

详解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查．

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷C班有24﹣（4+6+4）=10件， 补全条形图如图所示，

=24件，

=24C班作品的件数为：24-4-6-4=10（件），（件）；

×=150°； 扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°； 故答案为：150°

（3）∵平均每个班=6件， 30=180件． ∴估计全校共征集作品6×（4）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况， ∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为

．

点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时古典概型求法：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=，求出P（A）。．

24. 某款篮球架的示意图如图所示，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2米，篮板顶端F点到篮框点D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.1米）．（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73，≈1.73，≈1.41）

【答案】2.6m

【解析】试题分析：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论． 试题解析：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=

，

，

∴AB=BC?tan75°=0.60×3.732=2.2392，∴GM=AB=2.2392，∵∠FAG=∠FHD=60°，sin∠FAG=在Rt△AGF中，

∴sin60°=，∴FG=2.165，∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．

答：篮框D到地面的距离是3.05米．

考点：解直角三角形的应用．

25. 如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F． （1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．

【答案】(1) （4，1） (2) k=3

【解析】试题分析：（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；

（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值． 试题解析：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4， ∴点E的坐标为（2，2）， 将点E的坐标代入y=，可得k=4， 即反比例函数解析式为：y=， ∵点F的横坐标为4，

∴点F的纵坐标==1， 故点F的坐标为（4，1）；

（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°， ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°， ∴∠CDF=∠GED， 又∵∠EGD=∠DCF=90°， ∴△EGD∽△DCF，

结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，）， 则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣， 在Rt△CDF中，CD=

，

∵，即，

∴=1，

解得：k=3．

考点：反比例函数综合题．

26. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．

（1） ，位置关系： ． 若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系：（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；

②当G为CF中点，连接GE，若AB=，求线段GE的长．

【答案】(1) BC=CG，BC⊥CG (2) ①仍然成立 ②

【解析】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；

（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；②与①同理，BC=CG，BC⊥CG，可得BD=CF，根据已知条件得到BC=CG=FG=CD=2，如图（2），过点A作AM⊥BD于M，根据勾股定理得到AD=

，过点E作EN⊥FG于N，根据全等三角形的性质得到FG=AM=1，

推出NE为FG的垂直平分线，即可得到结论． 详解：（1）BC=CG，BC⊥CG．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°． ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，

，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG．

故答案为：BC=CG，BC⊥CG； （2）①仍然成立

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，

，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG；

②与①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG．

∵AB=，G为CF中点，∴BC=CG=FG=CD=2，如图（2），过点A作AM⊥BD于M，∴AM=1，MD=3，∴AD=

，过点E作EN⊥FG于N．在△AMD与△FNE中，

，

∴△AMD≌△FNE，∴FN=AM=1，∴FG=2FN，∴NE为FG的垂直平分线，即GE=FE=AD=．

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键．

27. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．

（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由； ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

始终保持不变，若存在，

【答案】(1) y=x+ (2) m=﹣4 (3) i：存在 ii：3

【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到B，A的坐标，解方程组得到抛物线的函数关系式，令y=0，于

是得到C的坐标；

0）E两点，（2）由点M（m，，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、得到D（m，

），

当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；

（3）①根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到

，于是得到结论；

，得到NP=NB，于是得到

②根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，

（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论． 试题解析：（1）在

中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，

∴B（0，），A（﹣6，0），

把B（0，），A（﹣6，0）代入得：，

∴，

∴抛物线的函数关系式为：令y=0，则∴x1=﹣6，x2=1， ∴C（1，0）；

=0，

，

（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点， ∴D（m，

），

当DE为底时，作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=， ∴

=，解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），

∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形； （3）①存在，

∵ON=OM′=4，OB=， ∵∠NOP=∠BON， ∴当△NOP∽△BON时，

，

∴不变，即OP==3，

∴P（0，3）；

②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，∴NP=NB，

∴（NA+NB）的最小值=NA+NP， ∴此时N，A，P三点共线， ∴（NA+NB）的最小值=

=

．

，

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