2015广东高考数学（文）试题及答案解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合M?{?1,1}，N?{?2,1,0},则M?N?

A.{0,?1}

【答案】B

【解析】M?N?{1}

B.{1} C.{0} D.{?1,1}

2.已知i是虚数单位，则复数(1?i)2?

A.2i

【答案】A

B.?2i C.2 D.?2

【解析】?1?i?2?1?2i??i?2?2i

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A.y?x?sin2x

【答案】D

B.y?x2?cosx C.y?2x?1 2xD.y?x2?sinx

【解析】A为奇函数，B和C为偶函数，D为非奇非偶函数

?x?2y?2?4. 若变量x,y满足约束条件?x?y?0，则z?2x?3y的最大值为

?x?4?A.2

【答案】B

【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数

B.5 C.8 D.10

z?2x?3y过点（4，-1）时z取得最大值为

zmax?2?4?3?(?1)?5

1

5. 设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=23,cosA?3且b?c，则b? 2A.3

【答案】C

B.22 C.2 D.3 b2?c2?a2b2?12?43【解析】由余弦定理得，cosA?，化简得b2?6b?8?0，解得??2bc243bb?2或4，因为b?c，所以，b?2

6. 若直线l1与l2是异面直线，l1在平面?内，l2在平面?内，l是平面?与平面?的交线，则下列命题正确的是

A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

【答案】D

7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

A.0.4

【答案】B

B.0.6 C.0.8 D.1

【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A，B，剩余的3件合格品分别设为a，b，c. 则从5件产品中

任取2件，共有10种情况，分别为（A，a）、(A，b)、（A，c）、（B，a）、（B，b）、（B，c）、（a，b）、（a，c）、（b，c）、（A，B）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A，a）、(A，b)、（A，c）、（B，a）、（B，b）、（B，c），则其概率为

6?0.6 10x2y2??（1m?0）（8. 已知椭圆的左焦点为F，则m= 1-4,0）25m2A.2

【答案】B

B.3 C.4 D.9

【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有c?4，且椭圆的焦点在x轴上，所以有

m2?25?c2?25?16?9，因为m?0,所以m?3

9. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,-2),AD=(2,1)则ADAC=

A.5

【答案】A

B.4 C.3 D.2

2

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC?AB?AD?(1,?2)?(2,1)?(3,?1)，

则AD?AC?2?3?1?(?1)?5

10. 若集合E??(p,q,r,s)|0?p?s?4,0?q?s?4,0?r?s?4且p,q,r,s?N?，

F??(t,u,v,w)|0?t?u?4,0?v?w?4,且t,u,v,w?N?，用card(X)表示集合X中的元素个数，则

card(E)?card(F)?

A.200

【答案】A

B.150 C.100 D.50

【解析】当s?4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4?4?4?64种；

当s?3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3?3?3?27种； 当s?2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2?2?2?8种；

当s?1时，p，q，r都取0，有1种，所以card????64?27?8?1?100. 当t?0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种； 当t?1时，u取2，3，4中的一个，有3种； 当t?2时，u取3，4中的一个，有2种；

当t?3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1?2?3?4?10种 同理，v、w的取值也有10种，所以card?F??10?10?100 所以card????card?F??100?100?200

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）

11. 不等式?x2?3x?4?0的解集为 .（用区间表示） 【答案】（-4,1）

【解析】解不等式?x2?3x?4?0 得?4?x?1，所以不等式的解集为（-4，1） 12. 已知样本数据x1,x2,【答案】10

【解析】由题意知，当样本数据x1，x2，???，xn的均值x?5时，样本数据2x1?1，2x2?1，???，2xn?1的均值为2x?1?2?5?1?11

3

,xn的均值x?5，则样本2x1?1,2x2?1,,2xn?1的均值为 .

13. 若三个正数a,b,c成等比例，其中a?5?26,c?5?26，则b? . 【答案】1

【解析】由等比中项性质可得，b2?ac?(5?26)(5?26)?52?(26)2?1，由于b为正数，

所以b=1

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

2??x?t坐标系，曲线C1的极坐标方程?(cos??sin?)??2，曲线C2的参数方程为?（t为参数）. 则C1??y?22t与C2交点的直角坐标为 ． 【答案】（2，-4）

【解析】曲线C1的直角坐标系方程为x?y??2，曲线C2的直角坐标方程为y2?8x.

?x?y??2?x?2 联立方程?2，解得?，所以C1与C2交点的直角坐标为（2，-4）

y?8xy??4??15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过点E作圆O的切线，切点为C过点A作直线EC的垂线，垂足为D，若AB?4,CE?23，则AD= . 【答案】3

【解析】由切割线定理得：CE2=BEAE，所以，BE（BE+4）=12

解得：BE=2或BE=-6(舍去)

?OC//AD 连结OC，则OC⊥DE，AD⊥DE，?OCOEOCAE2?6=,?AD???3 ADAEOE4

图1

4

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知tana=2.

（1）求tan(a+p4)的值； （2）求sin2asin2a+sinacosa-cos2a-1的值.

【解析】 （1）

tan??tan?tan(???4)?41?tan?tan?4

?tan??11?tan?∵ tan??2 ∴tan(???4)?2?11?21??3 （2）

sin2??sin?cos??cos2??1?sin2??1?sin?cos??(cos2??sin2?)??cos2??sin?cos??cos2??sin2?

?sin?cos??2cos2??sin2?∵sin2??2sin?cos?

原式?2sin?cos?sin?cos?-2cos2??sin2?∴

=2tan?tan??2?tan2? ?2?22?2?22?1

5

17.（本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，

[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图2，

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

【解析】（1）（0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125）?20=1

∴x?0.0075 （2）众数：230

中位数：取频率直方图的面积平分线

0.002?0.0095?0.011?0.022511??0.025202

?0.025?0.0225?0.00250.0025?20?220?2240.0125?.00?75?20（3）[220,240):0.0125?20?100?25 [240,260):0

[260,280):0.005?20?100?10 [280,300):0.0025?20?100?5

共计：55户

6

∴[220,240)抽取：18.（本小题满分14分）

25?11?5户 55 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC＝4，AB＝6，BC＝3. （1）证明：BC∥平面PDA； （2）证明：BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离. 【解析】

（1）∵ 四边形ABCD为长方形

∴BCAD

∵BC?平面PDA，AD?平面PDA ∴BC平面PDA （2）取DC中点E，连接PE

∵PC=PD ∴ PE⊥CD

∵ 面PCD⊥面ABCD，面PCD?面ABCD=CD PE?面PCD，PE⊥CD ∴ PE⊥面ABCD 而BC?面ABCD ∴ BC⊥PE

∵ BC⊥CD，CD?PE=E ∴ BC⊥面PCD PD?面PCD ∴ BC⊥PD

（3）由（2）得：PE为面ABCD的垂线 ∴VP-ADC??PE?SΔACD

在等腰三角形PCD中，PE=7，S?ACD??AD?DC??3?6?9 ∴VP-ADC??7?9?37 设点C到平面PDA距离为h

131212137

1311而S?PDA??AD?PD??3?4?6

221∴37??6?h

33737∴h?，即：点C到平面PDA的距离为

22∴VC-PDA??S?PDA?h 19.（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn,n??，已知a1=1,a2=,a3=,且当n?2时，

?32544Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.

（1）求a4的值； （2）证明：?an?1???1?an?为等比数列； 2?（3）求数列{an}的通项公式. 【解析】 （1）令n=2,则：

4S4?8S3?S1?5S2S3?a1?a2?a3?1?S1?a1?1S2?a1?a2?1??4S4?8?4S4?35?22

3515??244155?1?5?4237237S4?83737157?a4??S3???8848（2）

8

?4Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1??4Sn?1?5Sn?1?8Sn?Sn?2?4an?2?5an?8an?1?an?1?4an?2?4an?1?an?4an?1?4an?an?1?{4an?2?4an?1?an}为常数列534a3?4a2?a1=4?-4?+1=042?4an?2?4an?1?an=0?4an?2?2an?1=2an?1-an?

4an?2?2an?1=12an?1-an1（4an?2-an?1）2?=11（2an?1-an）21an?2-an?112?=

12an?1-an21?{an?1-an}为等比数列21131（3）由（2）得：{an?1-an}是首相为：a2-a1=，公比为的等边数列

2222an?1a?n?411()n?1()n22aa?{n}为首相1?2,公差为4的等差数列11()n 22a?n=2+4（n+1）=4n-21n()212n?1?an?(4n-2)()n?n22?1?

9

20．（本小题满分14分）

已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B. （1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）

x2?y2?6x?5?0,配方得：2（x?3）?y2?4

?圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，则l:y?kx

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)

x1?x2?x???2???y?y1?y2?2??y?kx?22?x?y?6x?5?0?x2?k2x2?6x?5?0?(1?k2)x2?6x?5?0?66?x1?x2???1?k21?k26k?y1?y2?1?k23?x???1?k2???y?3k?1?k2?3?x?y1?()2x?x2?3x?y2?0(1?k2)x2?6x?5?0有解???0,即,36?4(1?k2)5?09?1?1?k2?535?x??(,3]1?k23?轨迹方程：x2?3x?y2?05x?(,3]3

10

（3）曲线C：x2?3x?y2?05x?(,3]

333(x?)2?y2?()222k的两个极限值：25?0253k1??? 57?4325??0253k2??57?433|k?0?4k|3相切时：=221?k23?k??

4252533?k?[?,]?{?,}774421.（本小题满分14分）

设a为实数，函数f?x???x?a??x?a?a?a?1?．

2?1?若f?0??1，求a的取值范围； ?2?讨论f?x?的单调性； ?3?当a?2时，讨论f?x?? 【解析】 （1）

4在区间?0,???内的零点个数． xf(0)?a2?|a|?a(a?1)?a2?|a|?a2?a ?|a|?a11

若a?0,即：2a?1,a??0?a?1212若a?0,即：-a?a?1,a?R ?a?0综上所述：a?（2）

2??(x?a)?(x?a)?a(a?1)(x?a) f(x)??2??(x?a)?(x?a)?a(a?1)(x?a)122? ?x?(1?2a)x(x?a)f(x)??2??x?(1?2a)x?2a(x?a)对称轴分别为：x?1?2a1?a??a 22∴在区间(??,a)上单调递减，在区间（a,??）上单调递增

（3）由（2）得f(x)在(a,??)上单调递增，在(0,a)上单调递减，所以f(x)min?f(a)?a?a2. ①当a?2时，f(x)min当f(x)??x2?3x，x?2?f(2）?-2，f(x)??2

?x?5x?4，x?244?0时，即f(x)??(x?0). xx因为f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)?f(2)??2 令g(x)??4，则g(x)为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，g(x)?g(2)??2， x所以函数f(x)与g(x)在（0，2）无交点. 当x?2时，令f(x)?x?3x??242，化简得x3?3x2?4?0，即?x?2??x?1??0，则解得x?2 x?综上所述，当a?2时，f(x）4在区间?0,???有一个零点x=2. x②当a?2时，f(x)min?f(a)?a?a2，

当x?(0,a)时，f(0)?2a?4 ，f(a)?a?a2?0， 而g(x)??44为单调递增函数，且当x?(0,a)时，g(x)???0 xx12

故判断函数f(x)与g(x)是否有交点，需判断f(a)?a?a2与g(a)??4的大小. a4?(a3?a2?4)?(a?2)(a2?a?2)因为a?a?(?)???0

aaa2所以f(a)?a?a??24,即f(a)?g(a） a所以，当x?(0,a)时，f(x)与g(x)有一个交点；

当x?(a,??)时，f(x)与g(x)均为单调递增函数，而g(x)??4?0恒成立 x而令x?2a时，f(2a)?a2?a?a(a?1)?2a?0，则此时，有f(2a)?g(2a)， 所以当x?(a,??)时，f(x)与g(x)有一个交点； 故当a?2时，y?f(x)与g(x)??综上，当a?2时，f(x)?当a?2，f(x)?

4有两个交点. x4有一个零点x?2； x4有两个零点. x13

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