导数定义公式的一个推广及其应用研究

导数相关论文

第２０豢第ｌ期河南教育学院学报（自然科学版）Ｖ０１．２０Ｎｏ．１２０１１年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｒ．２０１ｌｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１１．０１．００６

导数定义公式的一个推广及其应用研究

程万里１，刘讲军１，刘志红２，周永涛１，程银行３

（１．郑州交通学院基础部，河南部！｝１１４５００６２；２．郑州经贸学院计算机科学系，河南郑州４５００５８；

３．中国地质调查局天津地质矿产研究所，天津３００１７０）

（ａ（膏）－．ｏ，卢（善）枷），从而简化了有关导数定义一类问题的求解．摘要：将导数在某一点的定义厂（‰）＝：嘧丛苎二掣推广为厂（‰）＝ｌｉｍ匹兰立竺吾篆｝｝掣

，关键词：导数；定叉；无穷小；郐域’

中圈分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—０８３４（２０１１）０１—００１４—０２

１相关的足义与引理

定义１（导数定义）设函数Ｙ－－ｆ（算）在茗。的某邻域内有定义。若极限

＋ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丝立掣丛生Ａｌ—．ｏ△茗ｍｏ）－．１ｉ。ｍ盟掣．Ａｚ－－，Ｏ△鼻

存在，则称八算）在‰处可导，并称这个极限值为以互）在石。处的导数，记作厂（‰）．等价性定义为

（１）

（１）式中的ｈ可推广至ａ（苴）（注：此时ｄ（筇）－．０），即有如下引理成立．

引理１设函数Ｙ－－ｆ（童）在‰的某邻域内有定义，厂（‰）表示以髫）在量。处的导数，则

肌）＝。撬堕瓮苷型（２）

成立．

证明令出）－＾＇显加㈤卅骨＾枷’因此．。飘丛鼍掣＝ｌ。ｉ卅ｒａ丛掣训¨．故弓Ｉ理得证．

口（１）—．ｏａＩ石Ｊ＾—．０厅

２式（２）推广及其证明

定理ｌ设函数，，＝，（置）在茹。的某邻域内有定义，厂（‰）表示八算）在‰处的导数，ｎ（＃）、卢（ｘ）均为无穷小，ｆ１．ｔｈｎ鲁浩＝ｃ（ｃ≠１）。剐

（３）

ｌｉｍ『４譬竺堂ｊ挚上一坐哮掣掣１．ｉｉＥｌ骧ｌ ｉｍ盟篙景茅型＝－ｉｍ盟坐坠糍瓮铲坠型他川ｉｍ堕篙豢掣

ｎｍ【—ｉ两了而丁一一—ｉ两ｉ瓦丁一Ｊ‘（４）”７

若ａ（算）、口（ｘ）其中一个为Ｏ，则为引理１的情形，结论是成立的；若ａ（石）４Ｋｘ）均不为０。则分子分母可除以口（善），卢（善）得（４）式＝ｌｉｍＩ『九茸。＋ａ（鼻）】一，（‰）九‰＋卢（茗）］一八‰）！！苎２一旦！兰２

ｍ舢ｍ【揣一揣】＝ｍＡ【１一口（ｘ）／ａ（ｘ）口（毒）／口（并）一１训¨．ｉｍ［≤南一涮丽］＝

综上，定理１得证．

３定理的应用

倒ｌ【１１设函数八鼻）在善＝ｌ处可导，且厂（１）“．求ｌ，ｉ卅ｍ丛上二生乞』坐二生．

收稿日期：２０１０—１１—２３作者简介：程万里（１９７９一），男，河南商丘人．郑州交通学院基础部教师．

导数相关论文

第１期程万里等：导数定义公式的一个推广及其应用研究１５

解法１（按式（２））ｌｉ。丛上二塾上二丛上兰堕：ｌｉｒａ．丛！＿＝塾幽上世！幽三三生：

一上ｘ１ｉｍ［丛！＝塾！＝丛１２３二［丛！±兰！＝丛１２３：ｌｉｍ【丛！＝塾２＝丛１２３一ｌｉ。ｆ丛！±苎２二丛１２３：一２ｌｉｍ．【』ｌ！二二呈兰；掣一ｌｉｌ罂』』ｌ！—±！＿Ｌ二』她：一２ｆ（１）一ｆ（１）：一３．

（按式（３））在极限ｌｉｍ丛上二垒上＿ｉ业中‰：１．ａ（ｘ）：一２ｘ．ｆｌ（髫）：髫，因此ｌｉｍ．！羔三二＝＿兰兰；＿＝二必：一３ｙ（１）：一３．１－．ｏＩｍＸ

解法２

ｌｉｍｚ王三－＝＝．！苎上二二』ｌ！＿＝上苎上：一３

注解法２好处在于直接配系数得到结论，无需再加减八１）凑成公式（１）的形式，然后再配系数．

例２设厂（ｏ）：４，求ｌｉｍ丛三堡Ｌ型的值．

ｌｉｒａ丛壁旦出：一４厂（ｏ）：一１６．

解法２

例３解法ｌ（按式（２））ｌｉｍ题二堕Ｌ型：ｌｉ。巨型Ｌ立生二丛盟上二比堕±生＿＝丛蛆：一３ｌｉ。丛生蔓兽掣一ｉｉｍ世卫凼；一４ｌｉｍ盟尝掣：一矿（ｏ）：．一１６．已知函数，（，）可导。ＩＥＩ！ｉｒａ丛三Ｌ之必：ｌ，求，（２）．

ｚ—．０（按式（３））在极限ｌｉｍ丛二塾上二丛堕中，，。：ｏ，ａ（ｘ）：一３ｘ，ｆｌ（；）：膏．因此解（直接按式（３））在极限１ｊ嘤丛三Ｌ萼｝上盟：１中善。；２．口（茗）：ｏｇ（膏）；一善，因此‘．Ｚ

ｌｉ巴丝Ｌ！盟型：占ｌｉ啤理Ｌ笪坠型：与（２）：１吖（２）：４．４，—’ｏｘ４，．ｏ工４’。

４结论

由导数的等价性定义（式（１））通过变量替换得到引理Ｉ。并由此证明了

的正确性．例１一例３表明该公式对于简化此类题型起到了一定的作用，同时也说明该公式具有普遍的适用性．

参考文献

［１】河南省普通高等学校招生考试命题研究中心．高等数学【Ｍ］．北京：光明日报出版社，２０１０：４８．ｍ小－ｉｍ堕篙祟掣

ｏｎＡＰｒｏｍｏｔｉｏｎａｎｄＲｅｓｅａｒｃｈｔｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＤｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎＦｏｒｍｕｌａ

ＣＨＥＮＧＷａｎ．．．１ｉ，ＬＩＵＪｉａｎｇ．ｊｕｎｌ，ＬＩＵＺｈｉ．ｈｏｎ９２，

ＺＨＯＵＹｏｎｇ—ｔａ０１，ＣＨＥＮＧＹｉｎ—ｈａｎ９３

（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００６２。Ｃｈｉｎａ；

２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄＴｒａｄｅ。Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００５８。Ｃｈｉｎａ；

３．ＴｉａｎｊｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ矿ＧｅｏｌｏｇｙａｎｄＭｉｎｅｒａｌＲｅｓｏｕｒｃｅｓ，ＣｈｉｎａＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｕｒｖｅｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００１７０。Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｐｏｉｎｔｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ。ｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｓｐｒｏｍｏｔｅｄｆｒｏｍ厂（Ｘｏ）－ｌ㈨ｉｒａ盟掣ｔｏ厂㈠）＝

，ｉｍ丛鼍等衾学盟（出）枷剧髫）卅）．Ｓ㈣捌她枷…岫珧Ｖａｎ∽№ｍ硝掘Ｖ．ａｔｉｖｅｄｅｆｉｎａｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ；ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ；ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ；ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ

导数相关论文

导数定义公式的一个推广及其应用研究

作者：

作者单位：程万里， 刘讲军， 刘志红， 周永涛， 程银行， CHENG Wan-li， LIU Jiang-jun， LIUZhi-hong， ZHOU Yong-tao， CHENG Yin-hang程万里,刘讲军,周永涛,CHENG Wan-li,LIU Jiang-jun,ZHOU Yong-tao(郑州交通学院,基础

部,河南,郑州,450062)， 刘志红,LIU Zhi-hong(郑州经贸学院,计算机科学系,河南,郑州

,450058)， 程银行,CHENG Yin-hang(中国地质调查局,天津地质矿产研究所,天津,300170)

河南教育学院学报(自然科学版)

JOURNAL OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE)

2011,20(1)刊名：英文刊名：年，卷(期)：

参考文献(1条)

1.河南省普通高等学校招生考试命题研究中心 高等数学 2010

本文链接：/Periodical_hnjyxyxb-zrkxb201101006.aspx

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b2z4.html