大学物理答案 罗益民 北京邮电大学

第5章 静电场

9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T，重力mg以及库仑力F

?,由于θ很小，故 的作用，则有Tcos??mg和Tsin??F,∴F?mgtgq2x F??mgtg??mgsin??mg4??0x22l1 ∴

?q2l???2??mg??0??1/3

习题9-1图

??9-2 设q1,q2在C点的场强分别为E1和E2，则有

E1?q1 24??0rAC191.8?10?9?9?10? 0.032

?1.8?104V?m?1 方向沿AC方向 E2?q2 24??0rBC1习题9-2图

91.8?10?94?1?2.7?10V?m ?9?10? 20.04方向沿CB方向

?∴ C点的合场强E的大小为：

E?2E12?E2?(1.8?104)2?(2.7?104)2 ?3.24?104V?m?1

设E的方向与CB的夹角为α，则有

??tg?1E11.8?tg?1?33.7? E22.79-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元dq??dl，它在圆心O处的场强为

dE1?1?dl24??0R，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两

带电圆弧中对应电荷元在圆心O处产生的dE1和dE2在x方向分量相

互抵消。

习题9-3图

77

?Ex?0，圆心O处场强E的y分量为

?Ey?2?601?dl?4??0R2sin??2?6014??0?Rd?R2sin????3??1?? ?2??0R?2?? 方向沿y轴正向。

9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d1的P点为坐标原点,x轴向右为正。设带电细棒电荷元dq??dx至P点的距离x，它在P点的场强大小为 dEP?1?dx4??0x2 方向沿x轴正向

习题9-4图（a）

各电荷元在P点产生的场强方向相同，于是 EP?dEP??dx 2??(d?L)14??0x?d11??4??0?11?????d?d?L1?1?9?8 ?9?10?3?10?1?1?? ?2?2?8?1028?10???2.41?103V?m?1方向沿x轴方向。

（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元dq??dx与Q点距离为r，电荷元在Q点所产生的场强dE?以Ex=0,场强dE的y分量为

dEy?dEsin??1?dx24??0r，由于对称性，场dE的x方向分量相互抵消，所

1?dx4??0r2sin?

因r?d2csc?,x?d2tg???????2???d2ctg?,dx?d2csc?d? 2?∴ dEy?14??0?dx?sin??sin?d?

4??0d2r2?21习题9-4图（b）

Ey?dEy??????sin?d??(co?ss2) 1?co?4??0d24??0d2,co?s2??L/2d?(L/2)222其中 co?s1?L/2d?(L/2)222

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代入上式得

Ey??4??0d2Ld?(L/2)222

?9?109?3?10?8?0.28?10(8?10)?(0.2/2)?2??22?12?5.27?103V?m?1

方向沿y轴正向。

9-5 带电圆弧长l?2?R?d?2?3.4?0.50?0.02?3.12m,电荷线密度

q3.12?10?9????1.0?10?9C?m?1。带电圆弧在圆心O处的场强等价于一个闭合带电

l3.12圆环（线密度为?）和一长为d、电荷线密度为-?的小段圆弧在O处场强的矢量和。带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d<

q???d?1.0?10?90.02?2?10?11C，故圆心处的场强，

q?2?10119?1,方向由圆心指向空隙中心。 E??9?10??0.72V?m24??0R20.519-6 （1）点电荷q位于一立方体中心，则通过立方体每一面的电通量相等，∴ 通过每一面的电通量?1为总通量?的

1,即 6??1??1qq ?1??E?dS??E?dS??S166?06?0（2）如果这点电荷移到立方体的一个角上，则电荷q所在顶角的三个面上，因为各点E平行于该面，所以这三个面的电通量均为零，另三个面的电通量相等。如果要把q全部包围需要有8个立方体，相当于有24个面，每一面上通过的电通量为总通量的

?1，即 24??1??1qq ?1??E?dS?E?dS????S12424?024?09-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A为球心，AB?x2?R2?r为半径，

以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积S?2?rH，通过整个球面

S0?4?r2的电通量?0?q?0，所以通过该球冠面的电通量为

???0Sq2?rHqH?? 2S0?04?r2?0r习题9-7图（a）

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?qr?rcos?

2?0r??

22?x?R?xqq??1?(1?cos?)? ?2?02?0?? 解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r，宽为dr,此面元的面积

ds?2?rdr。设此面元对A点的半张角为?，见图所示，由通量公式可得

???S??E?dS???1???q4??0x?R01qxcos?2?rdr?2?0x2?r2?R0rdr

(x2?r2)3/2q ?2?0??

22?x?R?习题9-7(b)图

9-8 通过此半球面的电通量与通过以O为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点的场强为

?，∴ 通过该球面的电通量为 2?0???R22 ??E?S??R?2?02?09-9 设想地球表面为一均匀带电球面，则它所带总电量为

??q??0?E?dS???0ES???04?R2E

??8.85?10?12?4??(6.4?106)2?130??5.92?10C5

9-10 设均匀带电球壳内、外半径分别为R1和R2，它所产生的电场具有球对称性，以任意半径r作一与均匀带电球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得

???qi2 E?dS?4?r?E???0 ∴ E??qi 24??0r当r?5cm?R1时，?qi?0,∴E1?0

R1?r?8cm?R2

4?qi???dV???4?r2dr???(r3?R13)

R1R13rr4??(r3?R13)?E2?3?3?04??0r2

?R13???r?r2?? ??80

2?10?5 ?3?8.85?10?124?(6?10?2)3??2 ?8?10??22?(8?10)???1 ?3.48?10V?m r?12cm?R243?qi???(R2?R13)

343??(R2?R13)3?(R2?R13)3?∴ E3?

4??0r23?0r22?10?5(0.13?0.063)4?1?4.1?10V?m ? ?1223?8.85?10?0.129-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得

?S???qE?dS?2?rlE?i

?0 ∴ E??qi

2??0rl1 （1）当r

9-12 见题9-12图所示，由于平面无限大，电荷分布均匀，且对中心面S0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P点或板外Q点作轴线与x轴平行，两底面积为S且相对中心面S0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得： （1）平板内

???qi2xS? ?E?dS?2E内S? ??0?0 ∴ E内? 方向垂直板面向外

?x?0??x??d?? 2?习题9-12图

81

（2）平板外

??d ?E?dS?2E外S??s

?0 ∴ E外??d2?0d???x??

2?? 方向垂直板面向外。

9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r，厚度dr，长l，见右图示，根据高斯定理可得

?S??1E?dS??0??dv

v2E2?rl?a4?0 ∴ E??0rr1?0??1?(r/a)?0r?0222?rldr

习题9-13图

?0a2?0rrdr ?22222(a?r)2?0(a?r)9-14 设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为??的两种电荷，则原带电荷等价

于一个半径为R，电荷体密度为??的均匀带电球体和一个半径为r，电荷体密度为??的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O处，E0?E1?E2，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以

???43?r?q13?r3E0?E2??? 2224??0d4??0d3?0d方向由O指向O?。

对于球心O?处，EO??E1?E2?E1

????习题9-14图

4d?R3?qdd?3??∴ EO??E1? 333?04??0R4??0R方向由O指向O?。

对于空腔内的任一点P，位置如图所示。

43?43????R?a?r?b???qaq?b33??? E?E1?E2? 33334??0R4??0r4??0R4??0r?????????a?b?(a?b)?d ?3?03?03?03?0

82

以上计算表明空腔任意点的场强大小均为

为匀强电场。

9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为

?d且方向均由O指向O?，所以，空腔内3?0?M?PEsin? ?为电矩P

??与E两方向间的夹角，当??时，外电场作用于电偶极子上

2的力矩最大

Mmax?qEd?1.0?10?6?1.0?105?2?10?3 ?2.0?10N?m 9-16 外力所作的功为

A?W2?W1?q1(u2?u1)?q1???4习题9-15图

?1q21q2?? ???4??0r24??0r1??q1q24??0?11???r2?r??1???8 ?1.5?101??1?3.0?10?8?9?109???

0.250.42???6.56?10?6Ja0a09-17 （1）氢原子内负电荷的总电量为 q?qe??0?(r)4?rdr?qe??20qe?2r/a02e4?rdr 3?a0 ?qe?4qe3a0?a00e?2r/a0r2dr?5qee?2?0.67qe

（2）由于负电荷呈球状对称分布，故可采用高斯定理计算负电荷产生的电场强度E1的大小为

??S?1?E1?dS??0??dv

r E14?r?2qe?2r/a0e4?r2dr 3??00?a01 E1?qe3??0r2a0?r0e?2r/a0r2dr

83

?2r22r??2r/a0qe?? ?? ??1?e?2?22a04??0r?a04??r??正电荷?qe在球心，其产生的电场强度E2的大小为

qeE2?qe4??0r2

???则在距球心r处的总电场强度为E?E1?E2，其大小为

?E?E2?E1??E的方向沿径向向外。

9-18 电场力的功

?2r22r??2r/a0?2? ?1?e2??a04??0r?a0?qe??1q1q?? A0c?q0(u0?uc)?q0?0???4??3R?4??R???

00???? ?q0q

6??0R9-19 由高斯定理可求得是空间场强分布（略）

?1?4???0E???1??4??0离球心为r(r?R)处的电势

rQR3Qr2r?R

r?Ru??Rr?1rQQdr??R4??0r2dr 4??0R31?

12Q2(R?r)?4??0R4??0R32Q(3R?r)8??0R322Q

?9-20 （1）电荷线密度??q，坐标如题9-20图(a)所示，距原点O为x处取电荷元2ldq??dx，它在P点的电势du?∴ P点的总电势

1?dx4??.0(r?x)

习题9-20图(a)

84

u??du?? ?l1?dx?l4??0r?x

?r?l ln4??0r?lq8??0llnr?l r?l ?（2）坐标如题9-20图(b)所示，电荷元dq??dx在Q点的 电势du?14??0?dxr?x22

习题9-20图（b）

l Q点的总电势

u??du?2?q14??00?1?l2?r2?ln

222??0rr?x?dxl?l2?r2ln ? 4??0r9-21 半圆环中心O的场强（或电势）是两段带电直线和带电半圆环在该处场强（或电势）

的迭加，由于两直线对O对称，所以两带电直线在O处的场强大小相等，方向相反，相互抵消，因而O处的场强就是带电半圆环在O处的场强，取电荷元dq??dl,它在O处场强

dE?1?dl4??0R2，由于对称性，各dE的x分量相互抵消。∴ Ex?0,dE的y分量为

??dEy?dEsin?

??∴ Ey??dEy??sin??sin?d?

4??0R24??0R?01?dl ?O处的电势

?

2??0R1习题9-21图

u?u1?u2?u3?2? ?2R?dxR4??0x???R1?dl04??0R???ln2??R 2??04??0R??ln2? 2??04?0 85

9-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为

?，所以两圆柱面间的电势2??0r

差 ?u??R2R1R??dr?ln2 2??0r2??0R19-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以

内表面均匀分布有-q电荷，外表面均匀分布+q电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r作一与球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得

?E??dS??4?r2E??qi? 0E??qi4??2 0r当r?R?qq1i?q ∴ E1?4??2

0r R1?r?R2?qi??q?q?0 ∴ E2?0 r?R2?qi?q ∴ Eq3?4??

0r2由电势定义式可求得电势分布

r?R1

uR1R2?1??rE1dr??RE2dr??E3dr

1R2??R1qr2dr?

4??0r??qR4dr2??20r11?1q

?q?4?????0??rR1???4??0R2R1?r?R2

uR2?2??rE2dr??RE3dr

2 ???q1R4??2dr??q20r4??0R2r?R2

u??13??rE3dr??r4??2dr

0r

86

Q?11?????4??0?r?RR??4??0R?

Q?1?r?1??????4??0?r?RR??Q9-31 （1） D??E??0?rE?8.85?10?12?3?1.0?106 ?2.66?10?5C?m?2

（2）

?0?D?2.66?10?5C?m?2

（3） E?E?0???0?E??? 0

????0??0E?2.66?10?5?8.85?10?12?1.0?106

?1.78?10?5C?m?2

（4） E?02.66?10?5 0???8.85?10?12?3.0?106V?m?1 0 E??????1.78?10?5 8.85?10?12?2.0?106V?m?1 09-32 设A、B两导体球分别带有电荷Q和-Q，则两球的电势差为

u?1Q1Q??1Q1Q?A?uB???4??a?4??L????????4??L?4??0a??

000? ?Q2???QQ0a2??0L?2??0a

C?Quu?2??0a

A?B9-33 用导线连接二导体，这相当将电容C1和C2并联，此时等效电容和总电量分别为C?C1?C2Q?c1u1?c2u2

根据电容C?Q/u，故联接二导体后它们的电势为

u?Q/C?C1u1?C2u2C

1?C2 这时电容C2上的电量为

92

??C2u?Q2 则由导体1流向导体2的电量为

C2(C1u1?C2u2)

C1?C2C?Q?Q??Q222?C(C1u1?C2u2)?C1u1

1?C2 ?C1C2CC(u1?u2)

1?29-34 （1）以任意半径r作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可得：?D??dS??D?4?r2??qi

D??qi4?r2,E?D?qi??

0?r4??0?rr2当r?R?qi?0D1?0E1?0

R?r?a?qi?QDQ2?4?r2E2?Q4??2

0ra?r?b?qQQi?QD3?4?r2E3?4??

0?rr2r?b?qQQi?QD4?4?r2E4?4??2

0r （2）电势分布：

r?R

uR1??D??dr???a??b?????rRE2?dr??aE3?dr??bE4?dr

??aQdrbR4??r2?0?Qdr?Qdra4???0?rr2?b4??20r ?Q????11?1?4???R?a????10??r?a?1?1?b???b??

?Q?1(?r?1)(a?b4????)??0?Rab?r?R?r?a

u?aE??b?????2?r2?dr??aE3?dr??bE4?dr

93

Q??11?1?11?1???????????4??0??ra??r?ab?b?

Q?1(?r?1)(b?a)?????4??0?rab?r??a?r?b

u3???br?????E3dr??E4?dr

bQ?1?11?1???????4??0??r?rb?b?

Q?1??1?????4??0?r?rb?r?b

?u4??r??E4?dr?Q4??0r

（3）这相当于内外半径分别为R与a的球形空气电容器C1与内外半径分别为a与b的球形介质电容器C2，二者相串联，其等效电容为

C?4??0Ra,a?R4??0?rab

b?aC1?C2

C1?C2其中C1?C2?将C1、C2代入上式C?4??0?rRab

R(b?a)??rb(a?R)9-35 （1）在介质中以任意半径r作圆柱体同轴的闭合圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得

???D?dS?2?rlDl?l?

∴ D??2?rE?D?0?r??

2??0?rr （2）设介质内表面上单位长度的极化电荷为???，则对上述高斯面应用高斯定理

?E?dS??12?rl?(l??l??)

2??0?rr?0?1?(????) ?0?r?0?????1??

?1??? ??r?94

则介质内表面上的极化电荷面密度为

???内介质外表面上的极化电荷密度为

???(?r?1)? ?2?R12??rR2(??1)?? ?r2?R22??rR2?外?9-36 （1）设两电介质中的电位移和场强分别为D1、D2和E1、E2，两板板间的电势差

u?ED1d1D2d2?d?1d?1d1?E2d2??????2?0?r? 1?0?r2??0?r1?0?r2? ∴

??u?r1?r2d?u?01d

1?r??d22?d2?r10?r1?0?r2则两介质中各点的能量体密度为

w121?21?21u2?0?r1?2r21?2?.0?r1E1?2?.0?r1?2?2??012?.0?r22(d1?r2?d2?r1)22002?8.85?10?12?4?22 ?2?(2?10?3?2?3?10?3?4)2

?1.11?10?2J?m?322w121?21?21u?0?r1?r22?2?.0?r2E2?2?.0?r2?2?2??0r22?.0?r22(d1?r2?d22?r1)2002?8.85?10?12?2?42 ?2?(2?10?3?2?3?10?3?4)2

?2.22?10?2J?m?3 （2） W1?w?2?31d1S?1.11?10?2?10?40?10?4

?8.88?10?8J

W?2?3?42?w2d2s?2.22?10?3?10?40?10 ?2.66?10?7J （3） W?W1?W2?8.88?10?8?2.66?10?7?3.55?10?7J

9-37 （1）由高斯定理可求得电场分布 R1?r?R2E?Q4??0r2

95

r?R1,E?0

r?R3 E? R2?r?R3,E?0 整个电场储存的能量

?11?0E2dV???0E2dV

R322Q4??0r2

W?W1?W2??R2R1??R2R1?1Q21Q222?04?rdr??4?rdr0224234?R3216??0r216??0rQ2? 8??0?111??????RR R3?2?1?(3?10?8)211??1?????8?3.14?8.85?10?12?2?10?24?10?25?10?2??1.82?10?4J （2）导体球壳接地，导体球壳外表面不带电，球壳外场强为零，这时电场的能量

W??R2R1R211Q222?0EdV???04?rdr 224R12216??0r?11????RR??2??1(3?10?8)21??1? ? ??12?2?2?8?3.14?8.85?10?2?104?10??1.01?10?4JQ2?8??01Q2 由W? 得

2CQ2(3?10?8)2?12C???4.46?10F ?42W2?1.01?109-38 （1）平行板电容器抽出金属板后的电容为C0??0Sd1，插入金属板时的电容为

C??0Sd1?d2，当充电到u?600V后拆去电源，然后抽出金属板，除金属板秘在位置外的

空间场强不变，均为

E?

u600??3?105V?m?1 ?3d1?d2(3?1)?1096

（2） 抽出金属板需作功

11A?W2?W1?2?0E2Sd1?2?0E2S(d1?d2) ?12?20ESd2 ?1 2?8.85?10?12?(3?105)2?300?10?4?1.0?10?3

?1.2?10?5J9-39 由高斯定理可求得带球体内、外的场强为（略）

E1内?rQ4??R3

0E1Q外?4??r2 0其电场所储存的能量

W?WR11?W2??2?2?1200E内dV??R2?0E外dV

??R1r2Q2216?2?264?rdr???10?Q2?2002244?r2dr 0RR216??0r ?Q2Q23Q240?????? 0R80R20??0R9-40 由于并联前后电量不变，所以有

C1u1?(C1?C2)u2

由此可得

CC1(u1?u2)2?u?100?(100?30)?233PF

230能量减少为

??W?12Cu21211?2(C1?C2)u2 1 ?2?100?10?12?1002?12(100?233)?10?12?302 ?3.5?10?7J

97

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