第四章第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

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知识点 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 了解任意角的概念． 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. sin x 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. cos xπ 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、2正切的诱导公式. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 和与差的三角函数公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 简单的三角恒等变换 能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 三角函数的图象与性质 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最ππ－，?大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间??22?内的单调性. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 正弦定理和余弦定理 解三角形应用举例 了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲下载 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语

1．角的有关概念

(1)角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类

?

①方向不?负角：按顺时针方向旋转而成的角 同分类??零角：射线没有旋转?

②位置不? 第几象限角同分类??轴线角：角的终边落在坐标轴上

∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝

180?π rad，1 rad＝?． ?π?°180按终边?象限角：角的终边在第几象限，这个角就是

按旋转?正角：按逆时针方向旋转而成的角

③所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k

11(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．

223．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin x叫做α的余弦，记作α cos α y叫做α的正切，记作tan xα 三角 函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 有向线段AT为正切线 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) π

0，?，则tan α＞sin α.( ) (5)若α∈??2?(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (教材习题改编)角－870°的终边所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 答案：C

(教材习题改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 答案：C

(教材习题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A．10π 9

C．π

10答案：D

(教材习题改编)已知角θ的终边过点P(12，－5)，则cos θ的值为________． 解析：因为x＝12，y＝－5，所以r＝x2＋y2＝13， x12

所以cos θ＝＝.

r1312答案： 13

(教材习题改编)扇形弧长为20 cm，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm2. 2036解析：由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝(cm)，

100ππ1801136360

所以S扇形＝lr＝×20×＝(cm2)．

22ππ360

答案：

π

象限角及终边相同的角

[典例引领]

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 B．第二象限 D．第四象限

B．第二象限 D．第四象限

B．9π 10D．π

9

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 (1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( ) A．第一或第三象限 C．第二或第四象限

B．第一或第二象限 D．第三或第四象限

kk(2)设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么( )

24A．M＝N C．N?M

B．M?N D．M∩N＝?

(3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．

【解析】 (1)当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A．

k

(2)法一：由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

2k

N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，

4显然有M?N.

k

法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，

2kx＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N. 4

π5

(3)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为(，π)，

46π5

所以所求角的集合为(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)．

46π5

【答案】 (1)A (2)B (3)(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)

46

(1)终边相同角的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

(2)象限角的两种判断方法

①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 ②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

θ

(3)求或nθ(n∈N*)所在象限的方法

n①将θ的范围用不等式(含有k)表示． ②两边同除以n或乘以n.

θ

③对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．

n

[注意] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆(顺)时针旋转180°可得角α＋(－)180°的终边，类推可知α＋(－)k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．

[通关练习]

1．终边在直线3x－y＝0上的角的集合为( ) π

A．{α|α＝＋kπ，k∈Z}

6π

B．{α|α＝＋kπ，k∈Z}

3π

C．{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

6π

D．{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

3

解析：选B．由题意知，所求角α的终边在直线y＝3x上，则α的集合为{α|α＝2kπ＋πππ

，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π＋，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋，k∈Z}． 333

2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) α

A．sin ＞0

2α

C．tan ＞0

2

α

B．cos ＞0

2αα

D．sin cos ＜0

22

π

解析：选C．因为＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

2παπ

所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

422α

当k为偶数时，是第一象限角；

2α

当k为奇数时，是第三象限角．故选C．

2

扇形的弧长、面积公式

[典例引领]

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ π【解】 (1)α＝60°＝，

3π10π

l＝10×＝(cm)．

33(2)由已知得，l＋2R＝20，

11

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

22所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad.

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

11

(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧

22长，α是扇形的圆心角)．

(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．

[通关练习]

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) π

A．

3πC．－

3

πB．

6πD．－ 6

解析：选C．将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为1

拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.

6

1π即为－×2π＝－. 63

2．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) πA．

6C．3

πB．

3D．3

解析：选D.如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对2π

的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，

3

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小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ π【解】 (1)α＝60°＝，

3π10π

l＝10×＝(cm)．

33(2)由已知得，l＋2R＝20，

11

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

22所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad.

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

11

(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧

22长，α是扇形的圆心角)．

(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．

[通关练习]

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) π

A．

3πC．－

3

πB．

6πD．－ 6

解析：选C．将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为1

拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.

6

1π即为－×2π＝－. 63

2．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) πA．

6C．3

πB．

3D．3

解析：选D.如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对2π

的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，

3

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