哈尔滨工程大学自动控制原理2009知识要点与习题解析

自动控制原理

知识要点与习题解析

第2章 控制系统的数学模型

数学模型有多种表现形式：传递函数、方框图、信号流图等。

G(s)H(s)?(s)?e(s)?n(s)?en(s)； r(t)n(t)；c(t)e(t)?；P32 (自动控制原理p23)

2-17 知控制系统的方框图如题2-17图所示，试用方框图简化方法求取系统的传递函数。

R(s) - G1(s) G2(s) H2(s) G3(s) C(s) - (e) H1(s) G4(s) 题2-1 7图 控制系统方框图 P33

解： 方框图简化要点，将回路中的求和点、分支点等效移出回路，避免求和点与分支点交换位置。

H2(s) (e) - R(s) C(s) G1(s) G3(s) G2(s) - H1(s) 1/G3(s)

H1(s) 1/G3(s) G4(s)

H2(s) -

R(s) G1(s) G2(s)G3(s)/[1+G2 (s)H1(s)] H1(s)/G3(s) G4(s) C(s) 题2-17解图 控制系统简化方框图

?(s)?G1G2G3?G4；

1?G2H1?G1G2H1?G2G3H2

P37 (p73)

2-21 试绘制与题2-21图中系统方框图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数

C(s)/R(s) 和误差传递函数E(s)/R(s)

G4(s) E(s) R(s) G1(s) H1(s) G2(s) G3(s) C(s) (a) - - H2(s) 题2-21图 系统方框图

注：P21(2) 依据系统方框图绘制信号流图

首先确定信号流图中应画出的信号节点，再根据方框图表明的信号流向，用支路及相应的传输连接信号节点。步骤如下，

(a)系统的输入为源点，输出为阱点；

(b)在方框图的主前向通路上选取信号节点，即相加点后的信号和有分支点的信号，两信号是同一个信号时只作为一个节点；

(c)其它通路上，仅反馈结构求和点后的信号选作节点； (d)最后，依据信号关系，用支路连接这些节点。 解：图(a)信号流图如题2-21解图(a)所示。

回路

E(s) G4 R(s) G1 -H1 G2 G3 -H2 C(s) -H1H2 题2-21解图 系统信号流图

计算C(s)/R(s)和E(s)/R(s)过程中，关于回路和特征式的计算是完全相同，可统一计算。

L1??G1H1，L2??G3H2，L3??G1G2G3H1H2；

特征式 ??1?G1H1?G3H2?G1G2G3H1H2?G1G3H1H2。 计算C(s)/R(s)：

前向通路 P1?G1G2G3，P2?G4G3； 特征子式 ?1?1，?2?1?G1H1；

C(s)G1G2G3?G4G3(1?G1H1)； ?R(s)1?G1H1?G3H2?(G2?1)G1G3H1H2计算E(s)/R(s)：

前向通路 P1?1；P2??G4G3H1H2； 特征子式 ?1?1?G3H2，?2?1；

E(s)1?G3H2?G4G3H1H2； ?R(s)1?G1H1?G3H2?(G2?1)G1G3H1H2

P38 (p73)

2-22 试用梅森增益公式求题2-22图中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)。 G8 R(s) C(s) G1 G2 G3 G4 G5 G6 -H1 -H2 -H3 G7 -H4

-H5 (b) 题2-22图 系统信号流图

解：(b) P 1?G1G2G3G4G5G6，P2?G7G3G4G5G6，P3?G1G8G6，P4??G7H1G8G6；

L1??G2H1，L2??G4H2，L3??G6H3，L4??G3G4G5H4，

L5?G8H1H4，L6??G1G2G3G4G5G6H5，L7??G7G3G4G5G6H5， L8??G1G8G6H5，L9?G7H1G8G6H5；

??1??Li?L1L2?L1L3?L2L3?L2L5?L2L8?L2L9?L1L2L3；

i?19?1?1，?2?1，?3??4?1?G4H2；

?P?(P3?P4)(1?G4H2)C(s)P； ?12R(s)?

第3章 线性系统的时域分析

本章重点：线性系统的时域指标；掌握闭环极点与动态响应的关系。

时域指标?p、tp和ts； ? 特征参数?和?n。

P49

线性定常系统的重要特性 线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。

P57(p134)

3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为

c(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.1?)，

试求系统的超调量?p、峰值时间tp和调节时间ts。 解：方法一，先计算闭环传递函数，再计算?和?n；

{sin(1.6t?53.1?)?cos53.1?sin1.6t?sin53.1?cos1.6t} 100.6?1.6?0.8?(s?1.2)10?41C(s)??12.5???(s)R(s)； 222s(s?1.2)?1.6s?2.4s?4s2即得 2??n?2.4，?n?4；?n?2，??0.6；

?p?exp(???/1??2)?9.5%；tp??/?d?1.9635秒； ts?3/(??n)?2.5秒,??0.05；ts?4/(??n)?3.33秒,??0.02。

方法二，直接根据典型二阶系统单位阶跃响应计算?和?n；

c(t)?10?12.5e?1.2t??1?????nt2sin(1.6t?53.1)?10?1?esin(?n1??t?arccos?)??1??2????，

??cos53.1??0.6，??n?1.2，(?n1??2?1.6)，?n?2；

P62 (p136)

3-16 知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求静态位置误差系数Kp，静态速度误差系数

Kv，静态加 速度误差系数Ka

50；

(0.1s?1)(2s?1)K(2) G(s)?；

s(s2?4s?200)10(2s?1)(4s?1)(3) G(s)?22。

s(s?2s?10)(1) G(s)?

｛ ｛ ｛

Kp?limG(s) ｝

s?0Kv?limsG(s) ｝

s?0Ka?lims2G(s) ｝

s?0

解：(1) Kp?50；Kv?0；Ka?0；

(2) Kp??；Kv?0.005K；Ka?0； (3) Kp??；Kv??；Ka?1；

P62 (p136)

3-17设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?1/(Ts)。试用稳态误差级数法求出，当输入信号分别为r1(t)?t2/2和r2(t)?sin2t时，系统的稳态误差。 解：?e(s)?Ts；c0?0，ci??(?T)i，i?0；( 解题基本步骤参阅P56 3.6.4 ) 1?Tsr1(t)?t2/2：

r1?(t)?t，r1??(t)?1，r1(i)(t)?0，i?2； e1ss(t)?c0r(t)?c1r1?(t)?c2r1??(t)?T(t?T)；

r2(t)?sin2t时，有两种解法；

(2k)(1)稳态误差级数法：r2(t)?(?22)ksin2t，r2(2k?1)(t)?2(?22)kcos2t，k?0；

e2ss(t)??i?0??cir2(i)??c2k(?2)sin2t??2c2k?1(?22)kcos2t

2kk?0????(?1)k?1k?1(2T)sin2t??(?1)(2T)2kkk?0?k?02k?14T22Tcos2t?2sin2t?2cos2t4T?14T?1；

e2ss(t)?Asin(2t??)，式中 A?2T/(4T2?1)1/2，??arccosA。

*(2)据?e(j2)计算（频率响应）： 1/(2T)]；|?e(j2)|?2T(1?4T2)?1/2，??e(j2)?arctan[1/(2T)]?arccosA； e2ss(t)?Asin(2t??)，式中 A?2T/(4T2?1)1/2，??arctan[

P56 3.6.4稳态误差级数和动态误差系数(t足够大)

要了解稳态误差随时间变化的情况，需使用稳态误差级数。 计算稳态误差级数的基本步骤：

(1) 正确计算误差传递函数?e(s)、?en(s)；

(2) 计算输入信号r(t)的各阶导数r(i)(t)，i?0,?,I；r(i)(t)?0，i?I；

计算扰动信号n(t)的各阶导数n(j)(t)，j?0,?,J；n(j)(t)?0，j?J； (3) 依据?e(s)用长除法计算动态误差系数ci，i?0,?,I；

依据?en(s)用长除法计算动态误差系数dj，j?0,?,J； (4) 计算稳态误差ess(t)?

P52 3.4.2 闭环主导极点

高阶系统能够用不具有零点的二阶系统近似的条件：

有一对距离(记为d)虚轴最近的共轭复数极点，且附近无闭环零点，其余的零点和极点远离(?5d)虚轴或零极点几乎相消。高阶系统可以近似为：

?crii?0I(i)(t)??djn(j)(t)。

j?0Jk?lim?(s)，2??n??(p1?s?02p2)，?n2?n。 ?p1p2；?(s)??(s)?k22s?2??ns??n

易知，系统的时域性能指标可以用典型二阶系统的计算公式近似计算。

第4章 根轨迹法

研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。要点：绘制180°根轨迹图

P76 (p167)

4-8 设负反馈系统的开环传递函数

G(s)?ks(s?4)(s?4s?20)2p1 ，

Im s2 s1 p4 0 p3 试概略绘制该系统的根轨迹图。

解：*p1,2??2?j4，p3?0，p4??4；n?m?4；

*渐近线，?a??2，?a??45,?135； *实轴上的根轨迹，(?4,0)；

*与实轴的交点和重根点，(s?2)(s2?4s?10)?0

??Re s2 p2 题4-8解图 根轨迹图 s1??2，k1?64；s2,2??2?j2.4495，k2?100；

?*起始角，?p1?90???(?2?j4)??(2?j4)??90?；?p2?90

42*与虚轴的交点，Re：??36??k?0，Im：?(?2?10)?0；???3.1623，kc?260。

系统的根轨迹图如题4-8解图所示。

P70 规则5：根轨迹与实轴的交点(闭环系统的重极点、分离点)，满足方程

?dA(s)dB(s)kB(s)?B(s)?A(s)?0； ?G(s)??； dsdsA(s)??

P86

9. 已知负反馈系统的开环传递函数G(s)，试选择k值，使闭环系统的超调量σp≤25%，调节时间ts≤10 秒。

G(s)?解：(P89)根轨迹方程

k(s?3)(s?2s?2)2；

k??1；

(s?3)(s2?2s?2)o

o

* p1,2 = -1±j，p3 = -3； n–m = 3；* 渐进线，σa = -5/3，φa=±60，180； * 实轴上的根轨迹，(-∞，-3)；

23

* 与虚轴的交点，Re：-5ω + 6 + k = 0； Im：-ω + 8ω= 0；ωc=±2.83，kc = 34；

oooo

* 起始角，θp1 = 180 - 90 -∠(-1 + j + 3) = 63.4，θp2 =-63.4； 根轨迹如题9解图所示

题9解图 根轨迹图

该三阶系统近似满足具有闭环主导极点条件。性能指标可按二阶系统近似计算， σ

o

p=25%时， ζ= 0.4，系统阻尼角为β= 66.4；作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为

113.6o。 OA与根轨迹交点为(闭环主导极点)?1??0.4?n?j?n1?0.162，特征多项式

满足

2(s2?0.8?ns??n)(s??3)?s3?5s2?8s?6?k；

解得ωn =1.73，λ3 = -3.616，k = 4.82；闭环主导极点?1,2??0.692?j1.586； 此时，ts = 4/(0.4×1.73) = 5.78 < 10秒，满足要求。

第5章 线性系统的频域分析法

5.1 频率特性

频率特性概念 当正弦信号x(t)?Xsin?t作用于稳定的线性定常系统G(s)的输入时，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率?的函数，即为

c(t)?X|G(j?)|sin[?t??G(j?)]。

幅频特性 |G(j?)|；相频特性 ?G(j?)；频率特性 G(j?)。

传递函数G(s) ? 频率特性G(j?){ 幅频特性|G(j?)|、相频特性?G(j?) }

传递函数G(s) ? 对数幅频渐近特性曲线； 相角裕度

?5.5 稳定裕度(相对稳定性)

?180???G(j?c) (幅值穿越频率?c)。

幅值裕度 kg?1/|G(j?g)|，或 20logkg (相角穿越频率?g)。 计算相角裕度、幅值裕度要点：先计算?c和?g的值。

P104 (p216)

5-12 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性如下，试确定系统的开环传递函数。

解：(a) G(s)? G(s)?(b) G(s)? G(s)?

P108 (p218)

5-23 对于典型二阶系统，已知?p?15%，ts?3s，试计算剪切频率?c和相角裕度?。

40 0 -20 db -20 100 -20 ω

db -40 20 -20 0 10 -20 100 -40 ω

(a) 题5-12图对数幅频渐近特性曲线

(b) K(T2s?1)???K?100T?0.1；(2?1000； ,2?33)；T?0.01，2T1?1003(T1s?1)(T3s?1)?1?1?2100(0.1s?1)。

(100s?1)(0.01s?1)K(T1s?1)K?100T1?0.316；,，； ??10010T2?0.00316s2(T2s?1)?1?102100(0.316s?1)。

s2(0.00316s?1)?p?exp[???/(1??2)1/2]?0.15，??0.517；ts?3/(??n)?3，?n?1.934；

2?n典型二阶系统的开环传递函数G(s)?；

s(s?2??n)??据 |G(j?c)|?1，(c)4?4?2(c)2?1?0；

?n?n解：

?c??n(4?4?1?2?2)1/2；??arctan{2?(4?4?1?2?2)1/2}；

答案：?c?1.497，??53.18?。

第6章 线性系统的校正方法

6.2 串联校正

串联校正设计方法包括频率响应法和根轨迹法。 串联超前校正 校正环节传递函数及频率特性为

Ts?1?T??1??1?Gcc(j?m)?arctan?arcsin?0，|Gcc(j?m)|???1。

??12?串联滞后校正 校正环节传递函数及频率特性为

Gcc(s)??Ts?1，??1；?m?1，

Gcz(s)?Ts?1，??1；T?c?10：

?Ts?1?Gcz(j?c)??5?，|Gcz(j?c)|?101100??12??1?。

串联滞后-超前校正 单独使用超前校正或滞后校正，设计烦琐；在设计指标要求严格

时，许多情况下不能完成任务。若无限制，一般应采用滞后-超前校正。

6.2.3 根轨迹法校正设计

基本概念： (1) 动态性能校正 将闭环主导极点放置在性能指标要求的位置上；

(2) 增益校正 使开环增益满足设计要求。

P122 (p266)

6-2 设单位负反馈系统的开环传递函数

G0(s)?k。

s(s?3)(s?9)(1) 如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量满足?p?20%，试确定k值； (2) 根据所求得的k值，求系统在单位阶跃输入作用下的调节时间ts，及静态速度误差系数Kv；

(3) 设计一串联校正装置，使系统的Kv?20s?1，?p?15%，ts减小一半以上。 解：分析闭环主导极点距虚轴约为1.5，而第三个极点距虚轴距离大于9；

exp[???(1??2)?1/2]?0.2，??0.456；?d?0.89?n，s1,2?(?0.456?j0.89)?n；

k(1) 和满足：s3323222s?12s?27s?k?s?(0.9?n?s3)s1?(?n?0.92?ns3)s?1?ns3， 2得到?n?2.38rad/s，s1,2??1.085?j2.118，s3??9.83；k?55.68；

(2) Kv?2.0622；ts?4/(??n)?3.69s；

(3) 设计指标是时域指标：Kv?20s?1，?p?15%，ts?1.84s；适于采用根轨迹法设计；

* 计算闭环主导极点

exp[???(1??2)?1/2]?0.15；??0.55?0.517(留有余地)；?n?4/(0.55?1.8)?4.04。

s1,2??2.222?j3.374；对应多项式为s2?4.44s?16.32；

* 校正动态特性

特征多项式满足 s(s?a)(s?9)?k?(s?4.444s?16.32)(s?b)； 解得

2a?8.026；b?12.582；k?205.338；即 Gc1(s)?s?0s?3；

s?8.026* 校正开环增益 Kv?limsGc1(s)G0(s)?2.843；

??20/2.843?6.51；取 z?0.2；p?0.0284；

s?0.2(s?0.2)(s?3)；Gc(s)?Gc2(s)Gc1(s)?； Gc2(s)?s?0.0284(s?0.0284)(s?8.026)205.338(s?0.2)校正后开环传递函数为： G(s)?。

s(s?0.0284)(s?8.026)(s?9)-1

* 检验：动态校正保证闭环主导极点条件和位置，滞后校正保证Kv=20s，检查滞后校正环节引起的相角变化，?Gc2(s1)??(?2.022?j3.374)??(?2.194?j3.374)??2.1?；

影响很小，满足设计要求。

P126 (p266)

6-6设单位负反馈系统的开环传递函数G0(s)

G0(s)?8，

s(2s?1)

若采用的滞后-超前校正环节Gc(s)

Gc(s)?(10s?1)(2s?1)。

(100s?1)(0.2s?1)试绘制系统校正前后的对数幅频渐近特性，并计算系统校正前后的相角裕度。 解：校正后开环传递函数为G(s)?次为，

0.01 0.1 0.5 1 dB -20 8(10s?1)；校正前后的对数渐近幅频特性依

s(100s?1)(0.2s?1)dB -20 -40 -20 1 5 ω -40 0.01 0.1 题6-6解图 反馈系统校正前和校正后的幅频渐近特性曲线 ω -40 ~/0.5)?0，?~?2，?~?14.04?； 近似计算：20log(8/0.5)?40log(?c0c00~?74.5?； ?~/0.1)?0，?~?0.8，20log(8/0.01)?40log(0.1/0.01)?20log(?cc精确计算：|G0(j?c0)|?1，

|G(j?c)|?1， ?c0?1.969， ?0?14.25?； ?c?0.796， ??74.5?。

第7章 线性离散系统分析与校正

7.2.2 Z变换计算方法 Z变换有三种基本计算方法

(1) 级数求和法 直接将级数形式的Z变换求和，得到闭合形式的Z变换表达式。 (2) 部分分式法 信号x(t)的拉氏变换为x(s)，且无重极点，将其展开成部分分式之和，因各分式对应的Z变换是已知的，经通分计算得到最终的Z变换闭式。

?nAi?n?z?。 x(z)?Z???(s?s)x(s)i???Ts?z?e?s?si?i?1s?si?i?1?(3) 留数计算法 当 X(s)具有重极点时，应采用留数计算法，

K?dri?1?z???1?rix(z)???(s?s)x(s)?， iri?1?Ts?z?e?s?si?i?1??(ri?1)!ds??式中 K—不同极点个数；ri —极点si的阶数。易知，部分分式法是留数计算法的特例。

P161 (p349)

7-18 设离散系统如题7-18图所示，其中T =0.1s，K =1，r(t)=1(t)，试求静态误差系数Kp、Kv、Ka，并

计算系统稳态误差e(∞)。

解：G(z)?Z[z?1r(t) - e(t) e*(t) 1-e-T s s K c(t) s (s+1) 题7-18图 离散系统方框图 10.1z?10.004837(z?0.9673)?1](1?z)??1??； 2?0.1z?1(z?1)(z?0.9048)s(s?1)z?eKp?limG(z)??； Kv?lim(z?1)G(z)?0.1； Ka?lim(z?1)2G(z)?0。

z?1z?1

e(?)?T/Kv?1。

?1?1?Tzzz?11 Z?2?Z??????22?T??s(s?1)sss?1(z?1)z?1z?e????

第8章 非线性控制系统分析

8.3.1 相平面的基本概念 二阶非线性系统

???f(x,x?)?0，x(0)?x0，x?(0)?x?0； x?的非线性函数或线性函数 ?)是x和x式中 f(x,x?dx?dx??dxx?/?；

?dxdtdtx??)?0dxf(x,xdx相轨迹方程(斜率) 。x轴上某点使得???，其斜率值不确定，称

?dxxdx0相平面法；相变量；相平面；相轨迹；相轨迹斜率 为奇点。

8.3.3非线性系统的相平面分析

开关线 线性分区的边界称为开关线。

极限环 非线性系统的持续振荡在相平面的曲线称为(稳定的)极限环。

P197

?(0)?0，试绘制r(t) = 1(t)的相轨迹图，给出4. 非线性控制系统如题4图所示，设c(0)?c极限环的运动周期及振幅。

r e 0.2 u 2 c -0.2 s( s +1) _ -0.2 0.2 题4图 非线性系统结构图 P200

解：相平面划分成两个线性区，运动方程为

???e??2x??? er??r??0&e??0.2)：e??0&e?0.2)和(e???e??0.4?0； Ⅰ区(e???0.4； ???0.4/(??1)；渐近线 e等倾线方程 e?01?0.4)?(e?01?0.4)e?t?0.4t，e?(t)?(e?01?0.4)e?t?0.4， 运动方程 e(t)?(e01?e?01)表示相轨迹在Ⅰ区的起点； 式中 (e01,e??0&e?0.2)和(e??0&e??0.2)：e???e??0.4?0； Ⅱ区(e??0.4； ??0.4/(??1)；渐近线 e等倾线方程 e?02?0.4)?(e?02?0.4)e?t?0.4t，e?(t)?(e?02?0.4)e?t?0.4， 运动方程 e(t)?(e02?e?02)表示相轨迹在Ⅱ区的起点； 式中 (e02,e可采用等倾线法绘制相轨迹图，受绘图精度的限制很难得到准确的极限环参数。采用解析法能得到较精确的极限环参数。

解析法绘制相轨迹图：起点(1,0)，首段相轨迹在Ⅰ区的下半区；相轨迹在各区所耗时间及通过分区边界点依次为

序号 线性区 Ti (秒) 出口 1 Ⅰ区(下) 3.98 -0.200, -0.392 2 Ⅱ区(下) 0.683 -0.319, 0.000 3 Ⅱ区(上) 2.185 0.200 0.355 4 Ⅰ区(上) 0.636 0.301 0.000 5 Ⅰ区(下) 2.133 -0.200, -0.353 6 Ⅱ区(下) 0.632 -0.300, 0.000 7 Ⅱ区(上) 2.133 0.2, 0.353 8 Ⅰ区(上) 0.632 0.300 0.000

?振幅0.353 进入极限环，周期5.53秒，e振幅0.3，e

进入极限环后的相轨迹曲线关于原点对称，在各区运动时长为半个周期Tb，满足：

?02??e?01； e01?0.2；e02??0.2；e由Ⅰ区运动方程得

?01?0.4)?(e?01?0.4)e?Tb?0.4Tb，e?02?(e?01?0.4)e?Tb?0.4， ?0.2?(0.2?e?01?0.4)e?Tb??e?01?0.4， ?0.2?(0.2?e?01?0.4)?e?01?0.4?0.4Tb， 化简 (eTb?ln?01?0.4?e?01?1?ln0.4?e01； ?01?1； 即5e， Tb?5e?01?010.4?e0.4?e?01?0.352；试探法得到 e5Tb?2.765秒，T?5.53秒。

第9章 线性系统理论

线性系统的可控性与可观测性；

系统可控性结构分解；系统可观测性结构分解； 李雅普诺夫第二法(直接法) 求解李雅普诺夫方程。

P224 (p513)

?11???019-17判断下列系统的状态可控性： (2) x??01解：应用可控性判别矩阵。

0??0?0?x??1?u；

?1???0???012? (2) U??111?，rankU?2?n；

?012???

P226 (p514)

状态不完全可控；

?200????020?x，y??111?x； 9-22判断下列系统的可观测性： (2)x??031??

解：应用可观测性判别矩阵。

?111? (2) V??251?，rankV?2?n；

?4131???

P228 (p514)

系统不完全可观测；

?10?029-26 已知系统各矩阵为 A???6?2003000??1???0?，c???4?311?， ，b???3???3?204????2??试求可控子系统、不可控子系统的态方程。

解：作可控性结构分解，A?TAT?1，B?TB，C?CT?1；

?1111??110U???03030303?，rankU?2；选取T?1??001000??11???33?20470191?1???01?0???T?111??211?9??02090010??；

???27090???0?42/90??1?x????15?2/90?x??0?u，y??110?31??00?2203???0?x； ?00???0??可控子系统动态方程：

x?c???0?4??15?x1c??????0??u，yc??110?xc； 不可控子系统动态方程： x??20c?????23??xc，yc???31?xc。 P228 (p514)

9-28 系统各矩阵同习题9-27，试求可观测子系统、不可观测子系统的态方程。 解：作可观测性结构分解，A?TAT?1，B?TB，C?CT?1；

??4?311??4?311????137??10343?V??9164?，初等变换成

V???19?1182764??92?10??????12000000??0??rankV?rankV?3?n，

??4?1选取变换矩阵，T????7?103391641????127??13?34?，T?1?1??2423???15120??；?0001??12???10897?0001924 12????0100x????010?0??1?x??10?u，y??1000?x；?1201??2519/127/8?122?????46?

?2??可观测子系统动态方程：

x??010??1?o???120?19081??xo??10?u，yo??100?xo；

????46??

，

，

不可观测子系统动态方程：

P233 (p515)

?o?2xo?2u。 x9-34试用李亚普诺夫第二法判断下列系统平衡态的稳定性： ?1??x1?x2，x?2?2x1?3x2。 x解：根据平衡态的定义，得知该系统有唯一的平衡态，xe1?0，xe2?0。 求解李亚普诺夫方程AP?PA??I，

T?1其中系统矩阵为 A??1??pp?；取P?1112；

???2?3???p12p22???p11PA???p12p12???11???p11?2p12?2?3????p?2pp22???1222???p11?2p12?0.5?；?4p12?2.5； ?3p?p?0.512?22p11?3p12?； ?p12?3p22??2??p11?2p12???1?得 ?p11?4p12?2p22?0?2?p12?3p22???1?解得P??

?1.750.625??0，系统的平衡态是渐近稳定的； ??0.6250.375?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b2tw.html