2018版高中数学必修二同步讲义（人教A版）第三章直线与方程3.2.1Word版含答案

3.2.1 直线的点斜式方程

学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．

知识点一 直线的点斜式方程

思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？

y－y0

答案 由斜率公式得k＝，

x－x0则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．

思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？

答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. 梳理

已知条件 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 适用条件 y－y0＝k(x－x0) 斜率存在 知识点二 直线的斜截式方程

思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ 答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.

思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？ 答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零． 思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2， ②l1⊥l2?k1k2＝－1. 梳理

已知条件 斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程式 适用条件

y＝kx＋b 斜率存在

类型一 直线的点斜式方程 例1 写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行； (2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．

解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． 反思与感悟 (1)求直线的点斜式方程

(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外． 跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．

(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．

(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝式方程为________．

1

答案 (1)x＝－3 (2)y－3＝－(x－1)

2(3)y＋2＝3(x＋1)

解析 (1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x＝－3.

1

(2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.

21

由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1)．

2(3)∵直线l2的方程为y＝

3x， 3

3

，∴α＝30°， 3

3

x的倾斜角的2倍，则l1的点斜3

设其倾斜角为α，则tan α＝

那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l1的点斜式方程为

y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝3(x＋1)． 类型二 直线的斜截式方程

例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________． (2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． (1)答案 y＝3x＋3或y＝3x－3 解析 ∵直线的倾斜角是60°，

∴其斜率k＝tan 60°＝3，

∵直线与y轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y＝3x＋3或y＝3x－3. (2)解 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2， 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2， 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 引申探究

本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程． 1解 ∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为，

2∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2， 1

∴直线l的方程为y＝x＋2.

2

反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．

(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．

1

跟踪训练2 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方

6程．

1

解 设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；

61

y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，

2即6|b|2＝6，∴b＝±1.

11

故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1.

66类型三 平行与垂直的应用

例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2： y＝(a2－2)x＋2平行？

(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

解 (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，

2??a－2＝－1，

∵l1∥l2，∴?解得a＝－1.

?2a≠2，?

故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2： y＝(a2－2)x＋2平行．

(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2， 3

∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.

8

3

故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：

8y＝4x－3垂直．

反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2?两条直线重合；(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1.

1

跟踪训练3 已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5

2在y轴上的截距相同，求a的值．

1

解 由题意知：(a2－2)×(－)＝－1，解得a＝±2.

2经检验知a＝－2符合题意．

1．方程y＝k(x－2)表示( ) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线

C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 答案 C

解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( ) A．k>0，b>0 C．k<0，b>0 答案 B

解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.

B．k>0，b<0 D．k<0，b<0

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