张书涵_符号三角形问题

关于符号三角形数与n的关系的研究与实现

云南师范大学 计算机应用技术 张书涵

1 问题描述

在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

例如图1：由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-” - + - + + + 。 +

+ - - - - +

- + + + -

- + + - - + - - - +

图1 符号三角形

本文就是计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同，并且探讨两种符号数相同的不同符号三角形的个数与n的关系。

2 问题分析

用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行。X[i]=1表示第一行第i个符号为“+”， X[i]=0表示第一行第i个符号为“-”。可行性约束函数为，当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4 。

容易看出，第1行n个符号的数值不同，将直接导致符号三角形的数值F(n)不同。显然，符号三角形的个数F(n)是随着n的变化而变化。那么，得知F(n)与n必然存在一种关系。其次，一个符号三角形有n(n+1)/2个符号，显然这个公式的分子n，n+1中必有一个为偶数。

记G(n)为一个符号三角形所包含的符号数，假定n为偶数。

n

则上述的公式可改写成：G n n 1 。而且n/2必须再次为偶数，不然

2

就不满足条件：符号三角形的符号数G(n)所含的“+”和“—”的个数相同。所以，n必然是4的倍数，即n=4k，其中k=1，2，3，······。

根据上面的论述，易知当公式的分子n，n+1中有且只有一个为4的倍数，此探讨才有意义，并且研究的条件再次收缩。

3 问题解决

用穷举法列出n和符号数以及符号三角形数F（n）的映射表，如表1所示。

表1 n和符号数以及符号三角形数F（n）的映射表

根据穷举的结果我们也可以看出，当n=4i或n=4i-1（i=1,2,3,4…）时存在符号三角形，当n=4i-2或4i-3时不存在符号三角数。

4 运行结果

5 总结

通过上述的分析，基本上理解了回溯算法。当n=4i或n=4i-1（i=1,2,3,4…）时存在符号三角形，当n=4i-2或4i-3时不存在符号三角数。但是运用现有的技术很难得到F(n)关于n的精确表达式。所以，这个问题还有待进一步研究。

附录：

程序代码：

#include"iostream" using namespace std;

typedef unsigned char uchar;

char cc[2]={'+','-'}; //便于输出

int n, //第一行符号总数 half, //全部符号总数一半 counter; //1计数，即“-”号计数

uchar **p; //符号存储空间

long sum; //符合条件的三角形计数 //t，第一行第t个符号 void Backtrace(int t) {

int i, j; if( t > n )

{//符号填充完毕 sum++; //打印符号

cout << "第" << sum << "个:\n"; for(i=1; i<=n; ++i) {

for(j=1; j<i; ++j) {

cout << " "; }

for(j=1; j<=n-i+1; ++j) {

cout << cc[ p[i][j] ] << " "; }

cout << "\n"; } } else

{ for(i=0; i<2; ++i) {

p[1][t] = i; //第一行第t个符号 counter += i; //“-”号统计

for(j=2; j<=t; ++j) //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号 {

p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//通过异或运算下行符号 counter += p[j][t-j+1]; }

if( (counter <= half) && ( t*(t+1)/2 - counter <= half) )

{//若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数 Backtrace(t+1); //在第一行增加下一个符号

} //回溯，判断另一种符号情况 for(j=2; j<=t; ++j) {

counter -= p[j][t-j+1]; }

counter -= i; } } }

int main() {

cout << "请输入第一行符号个数n："; cin >> n; counter = 0; sum = 0;

half = n*(n+1)/2; int i=0;

if( half%2 == 0 )

{//总数须为偶数，若为奇数则无解 half /= 2;

p = new uchar *[n+1];

for(i=0; i<=n; ++i)

{

p[i] = new uchar[n+1];

memset(p[i], 0, sizeof(uchar)*(n+1)); }

Backtrace(1); for(i=0; i<=n; ++i) {

delete[] p[i]; }

delete[] p; }

cout << "\n总共 " << sum << " 个"<< endl; return 0; }

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b2oj.html