2012北京高考模拟数学试题汇总-导数(文)

峰炜佳奇·状元教育

2012高考模拟试题汇总——导数（文）

【2012西城一模文】19.如图，抛物线y x2 9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD| 2x，梯形ABCD面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式； （Ⅱ）若

19.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点CyC x 9． ………1分

0，解得xB 3，舍去xB 3．………2分 2

2

|CD|

k，其中k为常数，且0 k 1，求S的最大值． |AB|

x 2 3)( x2 9) (x 3)( x2 9)． 4分

3)( x 9)，0 x 3． ……5分

2

0 x 3k．

……6分

3k，

2

则f (x) 3x 6x 9 3(x 1)(x 3)． ………8分

令f (x) 0，得x 1． ………9分 ① 若1 3k，即

1

k 1时，f (x)与f(x)的变化情况如下： 3

(0,1)

x

1

(1,3k)

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f (x) f(x)

↗

↘

极大值

所以，当x 1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1) 32． …………11分 ② 若1 3k，即0 k

1

时，f (x) 0恒成立， 3

2

所以，f(x)的最大值为f(3k) 27(1 k)(1 k)． ………13分 k 1时，0 S的最大值为32

；

1

3 )． 【2012东城一模文】（18）已知x 1是函数f() （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）当x1，x2 0,2 时，证明：f(x1) f(

（18）（Ⅰ）解：f'(x) (ax a 2)e， 由已知得f'(1) 0，解得a 1． 当a 1时，f(x) ，在x 1处取得极小值．

所以a 1. 分

2)e，f'(x) (x 1)e. 当x 0,1 (x)e 0，f(x)在区间 0,1 单调递减；

x

x

x

x

x

当x'(x) (x 1)e 0，f(x)在区间 1,2 单调递增. …………8分

x

所以在区间 0,2 上，f(x)的最小值为f(1) e， 又f(0) 2，f(2) 0，

所以在区间 0,2 上，f(x)的最大值为f(2) 0. …………12分 对于x1,x2 0,2 ，有f(x1) f(x2) fmax(x) fmin(x)． 所以f(x1) f(x2) 0 ( e) e. …………13分

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【2012朝阳一模文】18. 已知函数f(x) ax2 1 ex,a R. （Ⅰ）若函数f(x)在x 1时取得极值，求a的值； （Ⅱ）当a 0时，求函数f(x)的单调区间.

（18）解：（Ⅰ）f (x) ax2 2ax 1 ex.x R ……………………2分 依题意得f (1) (3a 1) e=0，解得a

1

. 经检验符合题意. ………4分 3

2

（Ⅱ）f (x) ax2 2ax 1 ex，设g(x) ax 2ax 1，

（1）当a 0时，f(x) e，f(x)在 , ……5x

（2）当a 0时，方程g(x) ax 2ax 1=0的判别式为 ， 令 0, 解得a 0（舍去）或a 1.

1°当a 1时，g(x) x 2x 1 (x 1) 0

2x

即f (x) ax 2ax 1 e 0，

222

且f (x)在x 1两侧同号，仅在x1时等于，

……………………7分

2ax 1 0恒成立，

上为单调减函数. ……………9分

0，

2

，

1 作差可知 1 ， aa

上则当x 1 时，g(x) 0，f (x) 0，f(x)在( , 1为单调减函数；

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当 1时，g(x) 0，f (x) 0， x 1 1 上为单调增函数；

f(x

)在( 1

aa

当x 1 时，g(x) 0，f (x) 0，f(x

)在( 1 , )上为

aa

单调减函数. ……………………………………………………………………13分

综上所述，当 1 a 0时，函数

函数f(x)的单调减区间为( , 的单调增区间为( 1 1 【2012丰台一模文】18．已知函数以f(x （I）若曲线y=f（x）在(1,f(1)) （Ⅱ）若a 0，函数y=f（x）在区间 3)上存在极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若a>2，求证：函数0，2）上恰有一个零点．

【2012f(x) alnx

a，使得对任意的x 1, ，都有f(x) 0？若存在，求a的.

(18)解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0, ).

2

121

x (a R且a 0). 22

a x2 a

f'(x) x . ………………………………………2分

xx

当a 0时，在区间(0, )上，f'(x) 0.

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所以 f(x)的单调递减区间是(0, ). ………………………………………3分当a 0时，令f'(x)

0得x

x .

函数f(x),f'(x)随x的变化如下：

所以f(x)在[1, )上的最大值为f(1) 0x [1, )，都有f(x) 0.7分

x)在[1, )上单调递减.

，即对任意的x [1, )，都有f(x) 0. 所以 f 0，与对于任意的x [1, )，都有f(x) 0矛盾. ……12分

综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是( ,0)

(0,1].…13分

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1

【2012房山一模文】18.设函数f(x) 3

x3 2ax2 3a2x a(a R). （Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间和极值；

（Ⅲ）若对于任意的x (3aa,，都有)f(x) a 1，求a的取值范围. 18．（本小题共13分）

解：（I）∵当a 1时，f(x)

13

x3

2x2 3x 1，………………………f (x) x2 4x 3 2分

当x 3时，f(3) 1，f (3) 0 3 ∴曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程为y 1 04分

（II）f (x) x2

4ax-3a2

(x a)(x 3a)5分 a 0时，f (x) 0，( , )6分

(x) 0； 在区间(a,3a)上，f (x) 0， (a,3a)是函数的单调增区间， f(a) a

43

a3

；………………8分 ax)

0； 在区间(3a,a)上，f (x) 0，

(3a,a)是函数的单调增区间

f(3a) a ………………10分 (III) 根据（II）问的结论，x (3a,a)时，f(x) f(a) a 4

3

a3………………11分

因此，不等式f(x) a 1在区间(3a,a)上恒成立必须且只需：

a 4a3 a 1 3，解之，得 a ……………………13

a 0 分

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【2012石景山一模文】18．已知函数f(x) x2

2alnx.

（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数g(x)

2

x

f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.

18．解：（Ⅰ）

f'(x) 2x 由已知f'(2) 1，解得（II）函数f(x)（1）当a 0时, f'(x（2）当a 0时f'(x)

8分 9分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，

则g'(x) 0在[1,2]上恒成立，

即

2x2 2x 2a

x 0在[1,2]上恒成立. 即a 1x

x2

在[1,2]上恒成立. …………11分

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111

x2，在[1,2]上h'(x) 2 2x (2 2x) 0， xxx

7

所以h(x)在[1,2]为减函数. h(x)min h(2) ,

2

7

所以a . …………14分

2

令h(x)

2ax a2

1

【2012西城二模文】18．已知函数f(x) ，其中a R．

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)（Ⅱ）求f(x)的单调区间． 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a 1时，f(x)

2x

，分 f(x)x2 1由 f (0) 2， 得曲线y f(x)分 （Ⅱ）解：f (x) 2

(x a)(ax 1)

． ………………6分

2

x 1

7分

故f(x)的单调减区间是( , a)，(, )；单调增区间是( a,)．………10分 ③ 当a 0时，f(x)与f (x)的情况如下：

1

a1a

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所以f(x)的单调增区间是( ,)；单调减区间是(

1a1

, a)，( a, )． a

………………13分 综上，a 0时，f(x)在( , a)，

a 0时，f(x)在(0, )单调递增，在(，

( a, )单调递增；在(1, a)单调递减．

a

【2012朝阳二模文】18.设函数f(x) alnx（Ⅰ）已知曲线y f(x)在点(1,f(1)) （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；

x，都有f(x) 3 x． （ . ………1分

………2分

0，

.………4分

a2a2a(x 2a)

（Ⅱ）f (x) 2 . 2

xxx

（1）当a 0时，因为x 0，所以x 2a 0，a(x 2a) 0，

所以f (x) 0，函数f(x)在(0, )上单调递减. ………6分 （2）当a 0时，

若0 x 2a，则a(x 2a) 0，f (x) 0，函数f(x)在(0,2a)上单调递减；

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若x 2a，则a(x 2a) 0，f (x) 0，函数f(x)在(2a, )上单调递增. …8分 综上所述，当a 0时，函数f(x)在(0, )上单调递减；当a 0时，函数f(x)在

(0,2a)上单调递减，在(2a, )上单调递增. ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x) lnx

2. x

2

x

3. 设g(x) f(x) (3 x)，即g(x) lnx

gx.

所以g(x) 0，即f(x) (3 x) 0x，都有

f(x) 3 x. ………14分

【2012海淀二模文】f(x)

1x1,x2 [ 3, )，有f(x1) f(x2) m成立，求实数m的最(18)13分） 解：f'(x)

x a

（a 0，a R）. 22

x 3a

(x a)(x 3a)

.

(x2 3a2)2

令f'(x) 0，解得x a或x 3a. ……………………………………2分 （Ⅰ）当a 0时，f'(x)，f(x)随着x的变化如下表

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函数f(x)的单调递增区间是( 3a,a)，函数f(x)的单调递减区间是( , 3a)，

(a, ). ……………………………………4分

( 3a, ). ……………………………………6分

3,1)上的增函数，是(1, )上的减函数.

……………………………………8分 11

f( 3) ，最大值为f(1) .

62

……………………………………10分 ) f(x2) f(1) f( 3)

2

. 3

2. 3

x1) f(x2) m恒成立的实数m的最小值为

……………………………………13分

【2012东城二模文】（18）已知函数f(x)

12

x 2x aex. 2

（Ⅰ）若a 1，求f(x)在x 1处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.

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（18）解：（Ⅰ）由a 1，f(x)

x

123

x 2x ex，f(1) e， ………1分 22

所以f (x) x 2 e. …………3分 又f (1) 1 e，

所以所求切线方程为y ( e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 1 0. …5分

3

2

1

（Ⅱ）由已知f(x) x2 2x ae

x，得f (x) x 2 aex.

分

【（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)<g(x)成立；

（Ⅲ）证明：1

111

． ... ln(n 1)（n N*）

23n

20．解：（Ⅰ）因为f(x)与g(x)的图象在x轴上有公共点(1，0)，

所以g(1) 0，即a b 0． 又因为f (x)

1b

，g (x) a 2， xx

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由题意f (1) g (1) 1，

11

，b ． ……………………4分 22

11

（Ⅱ）设F(x) f(x) g(x) lnx (x )，

22x

11111

则F (x) 2 ( 1)2 0．

x22x2x

所以a

所以F(x)在x 1时单调递减．

由F(1) 0 可得当x 1时，F(x)

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，

令x

11

(x ) lnx (x 1)2x

k 1

，则 k

ln

k 11k 1k1 1 ( ) (1 )k2kk 12 k111

( )，2kk 1

所以ln(k 1) ln

k

将上述n个不等式依次相加得 1)

， ( ... )

223n2(n 1)

n

ln(n 1)． ……………13分 2(n 1)

2

【4lnx ax 6x b（a，b为常数），且x 2为 (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数b的取值范围．

18．（本小题满分14分）

解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分 ∵ f ′ (x) =

4

2ax 6 ……2分 x

∴f (2) 2 4a 6 0，则a = 1．………4分

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(Ⅱ)由(Ⅰ) 知f(x) 4lnx x 6x b

2

42x2 6x 42(x 2)(x 1)

∴ f ′ (x) = 2x 6 ………6分

xxx

由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，

单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．

且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0． ………10分 ∴ f (x) 的极大值为 f(1) 4ln1 1 6 b b 5 ………11分 f (x)的极小值为f(2) 4ln2 4 12 b 4ln2 8 b

f(1) b 5 0

由题意可知

f(2) 4ln2 8 b 0

则 5 b 8 4ln2 分

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