2015年北京市朝阳区高三二模数学理试题及答案word版

北京市朝阳区理科数学2015学年度第二学期高三综合练习

2015．5 第一部分（选择题 共40 分）

一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合

，集合 B．

C．

，则

＝（ ）． D．

2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（ ）．

A．7 B．10 C．66 D．166 3．设为虚数单位，

，“复数

是纯虚数”是“

”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．B，C，已知平面上三点A，满足

（ ）．

A．48 B．-48 C．100 D．-100 5．已知函数

的最小值是（ ）．

A．2 B．4 C． D．2

，若对任意的实数x，总有

，则

，则

=

6．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个

交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．

7．已知函数，若对任意，都有成

立，则实数m的取值范围是（ ）．

8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（ ）．

第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）

二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．

展开式中含

项的系数是__________．

10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆

C的标准方程是__________．

11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，

，则AD=__________．

12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．

13．已知点

的通项公式为__________；设O为坐标原点，点

中，面积的最大值是__________．

14．设集合

__________；集合A 中满足条件“

，集合A中所有元素的个数为”的元素个数为__________． 在函数

的图像上，则数列，则

，

三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题共13分）

在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长； （Ⅱ）求梯形ABCD的高．

16．（本小题共13分）

某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：

（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干

份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？ （Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，

B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率； （Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中

被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．

17．（本小题共14分）

如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF

可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；

M，N分别为线段FD，AD上的点（Ⅲ）设H为BD的中点，（都不与点D重合）．若直线

平面MNH，求MH的长．

18．（本小题共13分）

已知点M为椭圆

B是椭圆C上不同的两点的右顶点，点A，（均异于点M），

且满足直线MA与直线MB斜率之积为

1． 4（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标； （Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

19．（本小题共14分）

已知函数（Ⅰ）当

时，求函数

． 的单调区间；

成立，求的取值范围；

，

，求证：

．

（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数（Ⅲ）若函数

有两个不同的极值点

20．（本小题共13分）

已知数列，每个

（Ⅰ）写出满足（Ⅱ）写出一个满足（Ⅲ）在H数列

证：

参考答案及评分标准

或

中，记． 都有的所有H数列

是正整数1，2，3，或3，则称；

的

数列

的通项公式；

是公差为d的等差数列，求

为H数列．

，n的一个全排列．若对

．若数列

高三数学（理科）

一、选择题： （1） 题号 A 二、填空题： 题号 （9） 答案 答案 （2） B （10） （3） B （4） C （5） A （6） C （13） （7） D （8） B （14） （11） （12） 三、解答题：

15．（本小题共13 分） 解：（Ⅰ）在

中，因为

，所以

．由正弦定理得：

，即．

（Ⅱ）在

整理得

过点因为在直角即梯形

作

中，由余弦定理得：

，解得

于，中，的高为

． ，则

为梯形，所以

，

（舍负）．

的高． ． ．

16．（本小题共13 分） 解：（Ⅰ）由题意可得： 题 答卷数 抽出的答卷数 A 180 B 300 C 230 3 5 2 应分别从题的答卷中抽出份，份． （Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，

可知只能

题答案为优，依题意

．

题的答案中得优的份数

的可能

（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的

取值为

，且

．

；；

；；

；

随机变量 的分布列为： ．

所以

17．（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）由已知得．

因为平面且平面

， 平面平面

， ，

．

．

所以平面， 由于平面，所以

（Ⅱ）由（1）知平面

所以，． 由已知， 所以两两垂直．

以

为原点建立空间直角坐标系（如图）．

因为则所以设平面

，

，

， ，

，， ．

，

的一个法向量

所以，即．

令设直线因为

，则与平面

．

所成角为， ，

所以．

所以直线（Ⅲ）在

和平面所成角的正弦值为

中， ，

．

为原点的空间直角坐标系

，

，， ． ，则

，

，．

设即

， ． ．

若即

平面

．

，则

．解得

则

18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）椭圆

的方程可化为

，

．

．

，则，

，．

，．

故离心率为（Ⅱ）由题意，直线

则

，焦点坐标为

的斜率存在，可设直线，

．

的方程为，，，

由得．

判别式

．

所以因为直线所以所以化简得所以化简得当

时，直线

与直线

，

的斜率之积为，

， ，

．

， ，

，即方程为

或

． ，过定点

． ，过定点

，不符合题意． ．

代入判别式大于零中，解得

当故直线

时，直线过定点

的方程为．

19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）当

由当当当所以

时，

，解得时，时，时，的单调增区间为

．

在

，设

在

上为增函数．

上不为单调函数的，则

，

的取值范．

，

，，，，

． 单调递增； 单调递减； 单调递增．

， ．

单调减区间为

（Ⅱ）依题意即求使函数

围．因为

当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，

当当当

时，

时，时，

，上

，即，即

，，

，所以在成立，即

为减函数； 为增函数，满足在上在

成立（因

上不为单调函数．在

上为增函

数），所以在同理综上

（Ⅲ）

因为函数判别式由此时随着变化，

+ 上为增函数，不合题意．

时，可判断．

．

在为减函数，不合题意．

有两个不同的零点，即

，解得，解得，和 ．

．

，

有两个不同的零点，即方程的

．

的变化情况如下： 极大值 极小值 + 所以值所以

是的极大值点，是的极小值点，所以

是极大值，是极小

因为所以

，所以

．

，

20．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：（Ⅱ）由（1）知数列

满足

．

，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因

为，所得数列显然满足．其中，或，，即得数列

．如此下去即可得到一个满足

的

数列

为：

（其中）

（写出此通项也可以（其中））

Ⅲ）由题意知，，且．

有解：

①，，，则， 是矛盾的．

②时，与①类似可得不成立． ③时，，则

不可能成立．

④时， 若或，则或

．

若或，则

，类似于③可知不成立．

④时，

若同号，则

，由上面的讨论可知不可能；

若或，则

或；

⑤

时，

这与

（

若若

异号，则同号，则

，不行；

，同样由前面的讨论可知与

矛盾．

综上，只能为或，且（2）中的数列是过来就是，所以为或．

的情形，将（2）中的数列倒

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