2016北京朝阳区高一(上)期末数学

2016北京朝阳区高一（上）期末数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）

A．M={π}，N={3.14159}B．M={2，3}，N={（2，3）}

C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}D．，

2．（5分）若a＞b，则下列命题成立的是（）

A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2

3．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）

4．

5．（5分）给定函数①y=x②y=log（x+1）③y=|x2﹣2x|④y=（）x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）

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第 2 页 共 12 A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①③

6．（5分）已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）

A ．b ＞c ＞a

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞b ＞c

D ．c ＞b ＞a

7．（5分）函数的图象的大致形状是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．（5分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙

和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）

A ．

甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 B ．

甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 C ．

甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 D ．甲＞乙

，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 9．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．（5分）已知函数f （x ）=a （x ﹣a ）（x +a +3），g （x ）=2x ﹣2，若对任意x ∈R ，总有f （x ）＜0或g （x ）＜0成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．（﹣∞，﹣4）

B ．[﹣4，0）

C ．（﹣4，0）

D ．（﹣4，+∞）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11．（5分）已知函数则的值是

．

12．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．

13．（5分）已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．

14．（5分）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）

15．（5分）若函数的图象关于y轴对称，则a=．

16．（5分）关于函数有以下四个命题：

①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；

②函数f（x）是偶函数；

③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；

④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．

其中正确命题的序号是．

三、解答题：本大题共4小题，共40分.

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第 4 页 共 12 17．（9分）已知函数

的定义域为集合A ，函数g （x ）=lg （﹣x 2+2x +m ）的定义域为

集合B ．

（Ⅰ）当m=3时，求A ∩?R B ； （Ⅱ）若A ∩B={x |﹣1＜x ＜4}，求实数m 的值．

18．（9分）空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：

某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：

（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．

19．（10分）已知定义域为

R 的单调减函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=﹣2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；

（Ⅱ）求f （x ）的解析式；

（Ⅲ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．

20．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f （x ），如果对任意x ∈（0，+∞），都有f （kx ）=kf （x ）（k ≥2，k ∈N *）成立，则称f （x ）为k 阶伸缩函数．

（Ⅰ）若函数f （x ）为二阶伸缩函数，且当x ∈（1，2]时，

，求的值； （Ⅱ）若函数f （x ）为三阶伸缩函数，且当x ∈（1，3]时，

，求证：函数

在（1，+∞）上无零点；

（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．

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参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】

A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除

B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除

C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除

D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D

故答案为D

2．【解答】∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．

当b=0 时，显然B、C不成立．

对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．

故选D．

3．【解答】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，

故应选C

4．【解答】程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K S 是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈 2 4 是

第二圈 3 11 是

第三圈 4 26 是

第四圈 5 57 否

故退出循环的条件应为k＞4

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故答案选A．

5．【解答】①y=，x增大时，增大，即y增大；

∴该函数在（0，1）上单调递增；

②，x增大时，x+1增大，减小；

∴该函数在（0，1）上单调递减；

③；

∴x∈（0，1）时，y=﹣x2+2x，对称轴为x=1；

∴该函数在（0，1）上单调递增；

④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；

∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．

故选：B．

6．【解答】∵，

∴b＞c＞a．

故选A．

7．【解答】∵y==

当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意

故选C．

8．【解答】根据茎叶图有：

①甲地树苗高度的平均数为=28cm，

乙地树苗高度的平均数为=35cm，

∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；

②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，

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乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；

∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；

故选：B．

9．【解答】根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，

可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，

故选：C．

10．【解答】由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，

从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，

由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，

则必满足，

解得﹣4＜a＜0．

则实数a的取值范围是（﹣4，0）．

故选：C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11．【解答】f（）==﹣2，

故答案为：﹣2．

12．【解答】∵直方图中各个矩形的面积之和为1，

∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，

解得a=0.03．

由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．

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其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，

所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．

故答案为：0.03，3．

13．【解答】∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，

∴当x=时，函数取得最大值，

故答案为：．

14．【解答】∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，

记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，

∴P（A）==，

=平方米，

∴S

不规则图形

故答案为：．

15．【解答】由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，

故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，

故答案为：﹣．

16．【解答】对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f （0）=1，

即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，

对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；

对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；

对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，

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∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．

三、解答题：本大题共4小题，共40分.

17．【解答】（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．

当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，

则?R B={x|x≤﹣1或x≥3}．

所以A∩?R B={x|3≤x≤5}．

（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，

所以有﹣42+2×4+m=0．

解得m=8．

此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．

所以m=8．

18．【解答】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（4分）

（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．

样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），

（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），

（d，e），（d，f），（e，f），共15个．

其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，

∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．

19．【解答】（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，

所以f（0）=0．（2分）

（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，

所以．

又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．

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所以．

综上，（6分）

（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．

因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．

方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．

方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R

则∴

故实数k的取值范围为．（10分）

20．【解答】（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，

∴．

∵函数f（x）为二阶伸缩函数，

∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．

∴．（4分）

（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．

由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．

∵x∈（1，3]时，．

∴．

令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．（7分）

∴函数在（1，+∞）上无零点．（8分）

（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），

且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．

∴当x∈（k n，k n+1]时，．

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∵，所以．

∴当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n）．

当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，

则?k（k≥2，k∈N*）使，

∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．

又，∴，即．∵k≥2，

∴f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．（12分）word下载地址

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