2016北京朝阳区高一(上)期末数学

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2016北京朝阳区高一(上)期末数学

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是()

A.M={π},N={3.14159}B.M={2,3},N={(2,3)}

C.M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1}D.,

2.(5分)若a>b,则下列命题成立的是()

A.ac>bc B.C.D.ac2≥bc2

3.(5分)若函数f(x)=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:

那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根(精确到0.1)为()

A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

(5分)某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为()

4.

5.(5分)给定函数①y=x②y=log(x+1)③y=|x2﹣2x|④y=()x,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()

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第 2 页 共 12 A .①④ B .②④ C .②③ D .①③

6.(5分)已知a=,b=20.3,c=0.30.2,则a ,b ,c 三者的大小关系是( )

A .b >c >a

B .b >a >c

C .a >b >c

D .c >b >a

7.(5分)函数的图象的大致形状是( )

A .

B .

C .

D .

8.(5分)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗,用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数甲,乙

和方差进行比较,下面结论正确的是( )

A .

甲>乙,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 B .

甲<乙,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 C .

甲<乙,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 D .甲>乙

,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 9.(5分)如图是王老师锻炼时所走的离家距离(S )与行走时间(t )之间的函数关系图,若用黑点表示王老师家的位置,则王老师行走的路线可能是( )

A .

B .

C .

D .

10.(5分)已知函数f (x )=a (x ﹣a )(x +a +3),g (x )=2x ﹣2,若对任意x ∈R ,总有f (x )<0或g (x )<0成立,则实数a 的取值范围是( )

A .(﹣∞,﹣4)

B .[﹣4,0)

C .(﹣4,0)

D .(﹣4,+∞)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

11.(5分)已知函数则的值是

12.(5分)从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=.若要从身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.

13.(5分)已知0<x<1.5,则函数y=4x(3﹣2x)的最大值为.

14.(5分)如图,一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米.(用分数作答)

15.(5分)若函数的图象关于y轴对称,则a=.

16.(5分)关于函数有以下四个命题:

①对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;

②函数f(x)是偶函数;

③若T为一个非零有理数,则f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立;

④在f(x)图象上存在三个点A,B,C,使得△ABC为等边三角形.

其中正确命题的序号是.

三、解答题:本大题共4小题,共40分.

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第 4 页 共 12 17.(9分)已知函数

的定义域为集合A ,函数g (x )=lg (﹣x 2+2x +m )的定义域为

集合B .

(Ⅰ)当m=3时,求A ∩?R B ; (Ⅱ)若A ∩B={x |﹣1<x <4},求实数m 的值.

18.(9分)空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,解代表空气污染越严重:

某市2012年3月8日﹣4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如图条形图:

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;

(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.

19.(10分)已知定义域为

R 的单调减函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=﹣2x . (Ⅰ)求f (0)的值;

(Ⅱ)求f (x )的解析式;

(Ⅲ)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2﹣2t )+f (2t 2﹣k )<0恒成立,求实数k 的取值范围.

20.(12分)定义在(0,+∞)上的函数f (x ),如果对任意x ∈(0,+∞),都有f (kx )=kf (x )(k ≥2,k ∈N *)成立,则称f (x )为k 阶伸缩函数.

(Ⅰ)若函数f (x )为二阶伸缩函数,且当x ∈(1,2]时,

,求的值; (Ⅱ)若函数f (x )为三阶伸缩函数,且当x ∈(1,3]时,

,求证:函数

在(1,+∞)上无零点;

(Ⅲ)若函数f(x)为k阶伸缩函数,且当x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1),求f(x)在(0,k n+1](n∈N*)上的取值范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.【解答】

A:M={π},N={3.14159},因为π≠3.14159,故元素不同,集合也不同,故排除

B:M={2,3},N={(2,3)},因为M的元素为2和3,而N的元素为一个点(2,3),故元素不同,集合不同,故排除

C:M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1},由M={x|﹣1<x≤1,x∈N}得,M={0,1},故两个集合不同,故排除

D:∵∴=,根据集合元素的无序性可以判断M=N,故选择D

故答案为D

2.【解答】∵a>b,故当c=0时,ac=bc=0,故A不成立.

当b=0 时,显然B、C不成立.

对于a>b,由于c2≥0,故有ac2≥bc2,故D成立.

故选D.

3.【解答】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065,1.438)中,观察四个选项,与其最接近的是C,

故应选C

4.【解答】程序在运行过程中各变量值变化如下表:

K S 是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈 2 4 是

第二圈 3 11 是

第三圈 4 26 是

第四圈 5 57 否

故退出循环的条件应为k>4

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故答案选A.

5.【解答】①y=,x增大时,增大,即y增大;

∴该函数在(0,1)上单调递增;

②,x增大时,x+1增大,减小;

∴该函数在(0,1)上单调递减;

③;

∴x∈(0,1)时,y=﹣x2+2x,对称轴为x=1;

∴该函数在(0,1)上单调递增;

④,∴指数函数在(0,1)上单调递减;

∴在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②④.

故选:B.

6.【解答】∵,

∴b>c>a.

故选A.

7.【解答】∵y==

当x>0时,其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分,因为a>1,所以是增函数的形状,当x<0时,其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分,因为a>1,所以是减函数的形状,比较各选项中的图象知,C符合题意

故选C.

8.【解答】根据茎叶图有:

①甲地树苗高度的平均数为=28cm,

乙地树苗高度的平均数为=35cm,

∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数;

②甲地树苗高度分布在19~41之间,且成单峰分布,且比较集中在平均数左右,

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乙地树苗高度分布在10~47之间,不是明显的单峰分布,相对分散些;

∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较,方差相对小些,更稳定些;

故选:B.

9.【解答】根据王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图,

可得在中间一段时间里,他到家的距离为定值,故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧,结合所给的选项,

故选:C.

10.【解答】由g(x)=2x﹣2<0,得x<1,故对x≥1时,g(x)<0不成立,

从而对任意x≥1,f(x)<0恒成立,

由于a(x﹣a)(x+a+3)<0对任意x≥1恒成立,如图所示,

则必满足,

解得﹣4<a<0.

则实数a的取值范围是(﹣4,0).

故选:C.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

11.【解答】f()==﹣2,

故答案为:﹣2.

12.【解答】∵直方图中各个矩形的面积之和为1,

∴10×(0.005+0.035+a+0.02+0.01)=1,

解得a=0.03.

由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.03+0.02+0.01)=60人.

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其中身高在[140,150]内的学生人数为10人,

所以身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为×10=3人.

故答案为:0.03,3.

13.【解答】∵y=4x(3﹣2x)=﹣8x2+12x=﹣8(x﹣)2+,

∴当x=时,函数取得最大值,

故答案为:.

14.【解答】∵向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,

记“黄豆落在正方形区域内”为事件A,

∴P(A)==,

=平方米,

∴S

不规则图形

故答案为:.

15.【解答】由于函数的图象关于y轴对称,故该函数为偶函数,

故函数f(x)的定义域关于原点对称,故a=﹣,

故答案为:﹣.

16.【解答】对于①,若x是有理数,则f(x)=1,则f(1)=1,若x是无理数,则f(x)=0,则f (0)=1,

即对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;故①正确,

对于②,∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,

∴对任意x∈R,都有f(﹣x)=﹣f(x),则函数f(x)是偶函数,故②正确;

对于③,若x是有理数,则x+T也是有理数;若x是无理数,则x+T也是无理数,

∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;

对于④,取x1=﹣,x2=0,x3=,可得f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0,

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∴A(,0),B(0,1),C(﹣,0),恰好△ABC为等边三角形,故④正确.故答案为:①②③④.

三、解答题:本大题共4小题,共40分.

17.【解答】(Ⅰ)由的定义域得A={x|﹣1<x≤5}.

当m=3时,B={x|﹣1<x<3},

则?R B={x|x≤﹣1或x≥3}.

所以A∩?R B={x|3≤x≤5}.

(Ⅱ)因为A={x|﹣1<x≤5},A∩B={x|﹣1<x<4},

所以有﹣42+2×4+m=0.

解得m=8.

此时B={x|﹣2<x<4},符合题意.

所以m=8.

18.【解答】(1)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天,

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为.…(4分)

(2)样本中空气质量级别为三级的有4天,设其编号为a,b,c,d.

样本中空气质量级别为四级的有2天,设其编号为e,f.则基本事件有:

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),

(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),

(d,e),(d,f),(e,f),共15个.

其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个,

∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为.

19.【解答】(Ⅰ)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数,

所以f(0)=0.(2分)

(Ⅱ)因为当x<0时,﹣x>0,

所以.

又因为函数f(x)是奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x).

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所以.

综上,(6分)

(Ⅲ)由f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0得f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k).

因为f(x)是奇函数,所以f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2).又f(x)在R上是减函数,所以t2﹣2t>k﹣2t2.即3t2﹣2t﹣k>0对任意t∈R恒成立.

方法一令3t2﹣2t﹣k=0,则△=4+12k<0.由△<0,解得.

方法二即k<3t2﹣2t对任意t∈R恒成立.令g(t)=3t2﹣2t,t∈R

则∴

故实数k的取值范围为.(10分)

20.【解答】(Ⅰ)由题设,当x∈(1,2]时,,

∴.

∵函数f(x)为二阶伸缩函数,

∴对任意x∈(0,+∞),都有f(2x)=2f(x).

∴.(4分)

(Ⅱ)当x∈(3m,3m+1](m∈N*)时,.

由f(x)为三阶伸缩函数,有f(3x)=3f(x).

∵x∈(1,3]时,.

∴.

令,解得x=0或x=3m,它们均不在(3m,3m+1]内.(7分)

∴函数在(1,+∞)上无零点.(8分)

(Ⅲ)由题设,若函数f(x)为k阶伸缩函数,有f(kx)=kf(x),

且当x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1).

∴当x∈(k n,k n+1]时,.

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∵,所以.

∴当x∈(k n,k n+1]时,f(x)∈[0,k n).

当x∈(0,1]时,即0<x≤1,

则?k(k≥2,k∈N*)使,

∴1<kx≤k,即kx∈(1,k],∴f(kx)∈[0,1).

又,∴,即.∵k≥2,

∴f(x)在(0,k n+1](n∈N*)上的取值范围是[0,k n).(12分)word下载地址

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