2013《复变函数论》试题库及答案

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2012《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若 f( z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.

( )

10.若 函数f( z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f( z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

dz?______________.（n为自然数） n1、 ?|z?z0|?1(z?z)022sinz?cosz? ____________. 2.

3.函数sinz的周期为______________.

f(z)?4.设

?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有_____________.

n5.幂级数

?nzn?0的收敛半径为_____________.

6.若 函数f( z)在整个平面上处处解析，则称它是_____________.

z1?z2?...?zn?limzn??n??n??n7.若 ，则__________________.

lim 1

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ezRes(n,0)?z8.__________，其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为__________ .

zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若 0是.

三.计算题（40分）：

f(z)?1. 设

1(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

四. 证明题.( 20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

2

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《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u( x,y)与v( x,y)都在D内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若 函数f( z)在z0解析，则f( z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f( z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z06. 若 函数f( z)在z0可导，则f( z)在z0解析. ( ) 7. 若 f( z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

8. 若 数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若 f( z)在区域D内解析，则|f( z)|也在D内解析. ( )

11110. 存在一个在零点解析的函数f( z)使f()?0且f()?,n?1,2,....

n?12n2n( )

二. 填空题. ( 20分)

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?__________.

3.

dz?|z?z0|?1(z?z0)n?____________.（n为自然数）

?n?04. 幂级数?nzn的收敛半径为_____________ .

5. 若 z0是f( z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的______零点. 6. 函数ez的周期为_____________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为__________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有____________. 1?z29. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为__________.

3

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z?110. Res(,1)?____. 4z三. 计算题. ( 40分)

31. 求函数sin(2z)的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.

3. 计算积分：I??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

?ii的右半圆.

?4. 求

sinzz?2(z?)22?dz.

四. 证明题. ( 20分)

1. 设函数f( z)在区域D内解析，试证：f( z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

4

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《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. ( 20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( )

2. 若 f( z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f( z)在z0解析. ( )

3. 若 函数f( z)在z0处解析，则f( z)在z0连续. ( )

}与{Imzn}都收敛. 4. 若 数列{zn}收敛，则{Rzne( )

5. 若 函数f( z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f( z)在区域D内为常数. ( )

6. 若 函数f( z)在z0解析，则f( z)在z0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f( z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1). （ ）8. 若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

9. 若 z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若

z0是

f(z)的可去奇点，则

Res(f(z),z0)?0.

( )

二. 填空题. ( 20分)

11. 设f(z)?2，则f( z)的定义域为______________.

z?1z2. 函数e的周期为____________.

n?213. 若 zn??i(1?)n，则limzn?_____________.

n??1?nn4. sin2z?cos2z?______________.

dz?____________.（n为自然数） n5. ?|z?z0|?1(z?z0)6. 幂级数?nxn的收敛半径为_____________.

n?0? 5

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6、函数f(z)?1的幂级数展开式为________________________________________. 1?z21?C(z?z0)ndz?__________________.

7、若 C是单位圆周，n是自然数，则

8、函数f(z)?z的不解析点之集为_____________.

9、方程15z?z?4z?8?0在单位圆内的零点个数为______________. 10、若 f(z)?5321，则f(z)的孤立奇点有______________________. 21?z1dz ?z?32?i(z?1)(z?4)三、计算题（30分） 1、求

?z?1ez?1sinzdz?3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?).

z?14、求函数

z?10在2?z???内的罗朗展式. 2(z?1)(z?2)5、求复数w?z?1的实部与虚部. z?163四、证明题（20分）

1、方程15z?5z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为7.

2、若 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

4、 若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的区域?z:0?argz?71的m阶极点. f(z)??4???保形映射为w平面的单位圆盘5??w:w?1?.

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2011《复变函数》考试试题（九）

一、判断题（20分）

1、若 函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（ ）

2、若 函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（ ）

z?z04、若 函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（ ）

?Cf(z)dz?0.

5、若 函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若 函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（ ）

7、若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)（. ）

8、如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?1(z1)?9、lime??.（ ）

z??z??10、如果函数f(z)在z?1内解析，则max{f(z)}?max{f(z)}.（ ）

z?1z?1二、填空题（20分）

12?i(1?)n，则limzn?______________. 1?nn12、设f(z)?，则f(z)的定义域为_____________________________________.

sinz3、函数sinz的周期为__________________.

1、若 zn?sin4、sinz?cosz?____________________.

22 17

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5、幂级数

?nzn?0??n的收敛半径为_____________________.

6、若 z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的________________零点.

7、若 函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是__________________. 8、函数f(z)?z的不解析点之集为_____________.

9、方程20z?11z?3z?5?0在单位圆内的零点个数为______________.

83ez,1)?______________________. 10、Res(2z?1三、计算题（30分）

?2?i?1、lim?? n??6??3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?i).

z?14、求函数

nz在1?z?2内的罗朗展式.

(z?1)(z?2)5、 求复数w?z?1的实部与虚部. z?16、 利用留数定理计算积分四、证明题（20分）

?????x2?x?2dx.

x4?10x2?91、方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、若 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

7、 若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域?z:

7631的m阶极点. f(z)?????Imz???保形映射为w平面的单位圆2?18

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盘w:w?1.

??《复变函数》考试试题（十）

一、判断题（40分）：

1、若 函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

z?z03、若 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.（ ） 4、cosz与sinz在复平面内有界.（ ）

5、若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.（ ） 6、若 f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析.（ ） 7、若 limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（ ）

z?z08、若 f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?C f(x)dz?0.（ ）

9、若 函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ） 10、若 函数f(z)在区域D内解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（ ）

二、填空题（20分）：

1、函数e的周期为______________________. 2、幂级数

z?nzn?0??n的和函数为______________________.

3、设f(z)?1，则f(z)的定义域为______________________. z2?14、

?nzn?0??n的收敛半径为______________________.

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ez5、Res(n,0)=______________________.

z三、计算题（40分）： 1、

?zzdz.

(9?z2)(z?i)eiz,?i). 2、求Res(1?z2?1?i??1?i?3、?????.

?2??2?4、设u(x,y)?ln(x?y). 求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足

22nnf(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）.

5、求z?5z?1?0，在z?1内根的个数.

20

4

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znez?n!1113. 解：2?n?02?2???zzzz2?,

因此Res(f(z),0)?1. 4. 解：

z?12?11 ????(z?1)(z?2)z?1z?2z(1?1)1?zz21?1,zz?1. 2 由于1?z?2，从而 因此在1?z?2内

z有

(z?1)z(?

??1?1nzn1?znn1???()?()??[()?( )].??2)zn?0zn?02z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi??5．解：设z?x?iy, 则w?. z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1, ?Rew?22(x?1)?y6.解：设z?e，则d??i?Imw?2y. 22(x?1)?y?2?0dz11,cos??(z?)， iz2zd?dz22idz ?????z?1izz?1z2?2az?11a?cos?2a?z?za?1，故奇点为z0?a2?1?a

?2?0d?1?4??Resf(z)?4???2a?cos?z?z02a?12?a2?1.

四、证明题：

1. 证明：设f(z)?24z,g(z)?9z?6z?z?1, 则在z?1上，f(z)?24,7632g(z)?9?6?1?1?17, 即有f(z)?g(z).

根据儒歇定理知在z?1内f(z)与f(z)?g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z?1 41

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内f(z)的零点个数为7，故24z?9z?6z?z?1?0在单位圆内的根的个数为7.

2.证明：设f(z)?u2?v2?c，则

7632

2u?ux?2v?vx?0,2u?uy?2v?vy?0.

已知f(z)在区域D内解析，从而有ux?vy,将此代入上上述两式得

uy??vx

uux?vuy?0,uuy?vux?0.

因此有 ux?0,uy?0, 于是有vx?0,vy?0. 即有 u?c1,v?c2,故f(z)在区域D恒为常数.

3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)?(z?z0)g(z)，

f(z)?c1?ic2

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，

于是

111?? mf(z)(z?z0)g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)五、计算题

解：根据线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点?i应该变到w?0关于圆周的对称点w??，故可设w?k

42

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《复变函数》考试试题（八）参考答案

一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. ?1?ei 2. z?0，? 3. 2? 4. ? 5. 1

? 6. ?(iz)2k 7. ???0,n?12?i,n?1 8.

9. 5 10. z??1k=0??三、计算题： 1. 解：由于ez?1sinz在z?1解析，

所以

?z?1z?1esinzdz?0

1而12?i?dzz?3(z?1)(z?4)?12?i?(z?4)dzz?3(z?1)??13 因此

??11z?1ezsinzdz??dz2?iz?3(z?1)(z?4)??13.

2. 解：

1?i?2?3,

?f(z)?1f(?)2?i?C??zd?

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3?2?7??1d?. ??C??z?i(?3??7? 因此 f(?)?2 故f(z)?2?i(3z?7z?1)

22 1) f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

ezez11?(?) 3. 解：f(z)?2z?12z?1z?1efz(),?1) Res(2,e?1sRfez(?(?)?,1)

2,ee?1e?1?e)?. 因此 Res(f(z),?)??(?2224.解：

z?101111z?1211111z?121 ????????22212(z?1)(z?2)z?1z?2z1?z1?2zz1?1,z2?1 2z由于2?z???，从而

因此在2?z???内有

z?10(z?1)z(2?11?1????()n?2)zn?0zz1?1z2??(n?0z1?2n22?)???n0zn11)?n1(2()?[?n2z(?11?1z2) 11]z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi??5．解：设z?x?iy, 则w?. z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1, ?Rew?(x?1)2?y2ixixImw?2y.

(x?1)2?y26．解：设z?e, 则dz?iedx?izdx

11(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x 112izdz ?? ?2dz??2z?1z?12izz?4iz?1z?4iz?1sinx?

44

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在z?1内

1只有z?(3?2)i一个一级极点

z2?4iz?1Res[f(z),(3?2)i]???i23

因此 四、证明：

?0dx?i??2?i??. 22?sinx2331. 证明：设f(z)?15z7,g(z)?5z6?z5?6z3?1, 则在z?1上，f(z)?15,g(z)?13, 即有f(z)?g(z).

根据儒歇定理知在z?1内f(z)与f(z)?g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z?1内f(z)的零点个数为7，故15z?5z?z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为7 2. 证明：因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，在D内连续, 所以?(x0,y0)?D,

7653???0,???0.

当x?x0??,y?y0??时有

f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]

?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??, 从而有u(x,y)?u(x0,y0)??, v(x,y)?v(x0,y0)??.

即与在连续，由(x0,y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)?(z?z0)g(z)，

2122其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，

于是

111?? mf(z)(z?z0)g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此

1在内D1解析，故g(z)45

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z0为

1的m阶极点. f(z)54五、解：1.设??z，则?将区域{z:0?argz?4?}保形映射为区域{z:0?arg???} 52.设w?ei???i??i, 则w将上半平面保形变换为单位圆w?1. 因此所求的单叶函数为

5 w?ei?z4?i5.

z4?i 46

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《复变函数》考试试题（九）参考答案

一、判断题（20分）

1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√

二、填空题（20分） 1、e?zi 2、z?k?,k?0,?1,?2, 3、2? 4、1 5、1

6、m?1 7、整函数 8、c 9、8 10、e 三、计算题（30）

1、解：

2?i6?56?1,?lim(2?inn??6)?0.

2、解：1?i?2?3,

?f(z)?1f(?)2?i?C??zd?

??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)??2i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)

f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

3、解：

f(z)?ezezz2?1?(z?i)(z?i).ii

Res(f(z),i)??ie2,Res(f(z),?i)?ie2.4、解：

z?12?11(z?1)(z?2)?z?1?z?2?z(1?1?z z)1?2 由于1?z?2，从而1?1,zz2?1. 因此在1?z?2内

有

z(z?1)z(?2?)?1z??(1)n??n?0z?(zn?)??[1(?n1)?z(n )].n?02?n?0z25、解：设z?x?iy, 则w?z?1x?1?iy(x2?y2?1)z?1?z?1?iy??2yi(x?1)2?y2. 47

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x2?y2?1, ?Rew?(x?1)2?y2Imw?2y.

(x?1)2?y2z2?z?2,则f(z)在Imz?0内有两个一级极点z1?3i,z2?i， 6、解：设f(z)?42z?10z?9Res(f(z),3i)?3?7i1?i,Res(f(z),i)??, 4816因此，根据留数定理有

?????z2?z?23?7i1?i?dz?2?i(?)??.

z4?10z2?9481666四、证明题（20分） 1、证明：设f(z)?9z,则在z?1上，f(z)?9,?(z)?z7?6z3?1,

?(z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z).

根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、证明：设u(x,y)?a?bi，则ux?uy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此

763?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0.

于是v(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数. 3、证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设

m f(z)?(z?z0)g(z)，

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，

于是

111?? f(z)(z?z0)mg(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此

1在内D1解析，故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)五、计算题（10分）

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解：1、设??z???2i,则?将区域{z:??Imz??}保形变换为区域{?:0?Imz?}. 22?2、设t?e,则t将区域{?:0?Imz?2?}保形变换为区域D{t:0?argt?}.

22?3、设s?t,则s将D保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为

22?2zs?i?i?ii?t?ii?ei??ew?e??e?2?e?2??e?2z. s?it?ie?i?e?ii?

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《复变函数》考试试题（十）参考答案

一、判断题（40分）：

1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空题（20分）： 1. 2?i 2.

z1 3. 4. 5. z??i12(n?1)!(1?z)三、计算题（40分） 1. 解：f(z)?z在z?2上解析，由cauchy积分公式，有 29?z?z??iz2z29?z2?i?dz?dz? ??z?2z?iz?2(9?z2)(z?i)9?z2e?iieizRes(f,?i)??e 2. 解：设f(z)?，有

?2i21?z22?5

??n??n?1?i??1?i?3. 解：???(cos?isin)?(cos?isin) ???4444?2??2? ?cos4. 解：

nnn?n?n?n?n? ?isin?cos?isin?2cos44444?u2x?u2y?2?， ?xx?y2?yx2?y2(x,y)v(x,y)?? ?(0,0)?uydx?uxdy?c??(x,y)(0,0)?2y2xdx?dy?c 2222x?yx?y?y02xydy?c?2arctan?c

x2?y2xf(1?i)?u(1,1)?iv(1,1)?ln2?i(2arctan1?c)?ln2

故c???2，v(x,y)?2arctany?? x245. 解：令f(x)??5z，g(z)?z?1 则f(x)，g(z)在z?1内均解析，且当z?1时

f(z)?5?z4?1?z4?1?g(z)

由Rouche定理知z?5z?1?0根的个数与?5z?0根的个数相同. 故z?5z?1?0在z?1内仅有一个根.

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