2012年理数高考试题答案及解析-四川

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（供理科考生使用）

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

2P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR

如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V=43pR3

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

Pn(k)=Cnp(1-p)kkn-k(k=0,1,2,…,n)

第一部分 （选择题 共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、(1?x)7的展开式中x2的系数是（ ）

A、42 B、35 C、28 D、21 [答案]D

kk2、2[解析]二项式(1?x)7展开式的通项公式为Tk?1=C7x，令k=2，则T3?C7x

?x的系数为C7?21

22[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开

式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力. 2、复数

(1?i)2i2?（ ）

A、1 B、?1 C、i D、?i [答案]B. [解析]

(1?i)2i2?1?i?2i2i22??1

[点评]突出考查知识点i??1，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.

?x2?9,x?3?3、函数f(x)??x?3在x?3处的极限是（ ）

?ln(x?2),x?3?

- 1 -

A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0 [答案]A

[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. [点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则sin?CED?（ ） DCA、31010 B、1010 C、

510 D、515

E A?2[答案]B

[解析]?AE?1，正方形的边长也为EC?（EA?AB）?CB?cos?CED?ED222B1?ED?AE2?AD2?5，CD?12?EC2-CD2ED?EC1?cos?CED?2

2

2?101031010

sin?CED?[点评]注意恒等式sinα+cosα=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5、函数y?a?x1a(a?0,a?1)的图象可能是（ ）

[答案]C

[解析]采用排除法. 函数y?a?a(a?0,a?1)恒过（1,0），选项只有C符合，故选C. [点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 6、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

[答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.

- 2 -

x

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

????ab7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使???成立的充分条件是（ ）

|a||b|??????????A、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|

[答案]D

??ab[解析]若使???成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证，故选D.

|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.

8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 [答案]B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（

?M在抛物线上，?M到焦点的距离等于到准?（2-p2）?y0?3,且（2?22p2,0），准线方程为x=?p2,

线的距离.p2）?32

解得：p?1,y0?22?点M（2,22）?|OM|?2?(22)22?23[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元

[答案]C

[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y

- 3 -

?X?2Y?12??2X?Y?12且? ?X?0?Y?0?画可行域如图所示，

目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y=?34x?z400 这是随Z变化的一族平行直线

?x?4?y?4解方程组??2x?y?12?x?2y?12 ?? 即A（4,4） ?Zmax?1200?1600?2800

[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）. 10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为

PBDαCOAB，该交线上的一点P满足?BOP?60，则A、P两点间的球面

?距离为（ ） A、Rarccos[答案]A

[解析] 以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，

则A(22R,0,22R),P(12R,32R,0)

24 B、

?R4 C、Rarccos33 D、

?R3

?COS?AOP?AO?POR2?24

??AOP?arccos??AP?R?arccos2424

[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.

11、方程ay?bx?c中的a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程

22 - 4 -

所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、60条 B、62条 C、71条 D、80条

[答案]B

[解析]方程ay?b2x2?c变形得x2?所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况： ?a??a（1）若b=-3，??a?a???2,c?0,或1,或2,或3?a??1,c??2,或0,或2,或3?a ; （2）若b=3, ??2,c??2,或0,或1,或3?a?a?3，c??2,或0,或1,或2???2,c?0,或1,或2,或3?1,c??2,或0,或2,或3?2,c??2,或0,或1,或3?3，c??2,或0,或1,或2ab2y?cb2，若表示抛物线，则a?0,b?0

以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；

同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.

综上，共有23+23+16=62种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、设函数f(x)?2x?cosx，{an}是公差为

2则[f(a3)]?a1a3?（ ）

?8的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?，

A、0 B、[答案]D

[解析]∵数列{an}是公差为

?8132122? C、? D、? 161681的等差数列，且f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?

（2a1?a2???a5）?(cosa1?cosa2???cosa5)?5? ∴

(cosa1?cosa2???cosa5)?0, 即 （2a1?a2???a5）?2?5a3?5? ∴

得a3??22,a1??4,a5?3?4

3?162[f(a3)]?a1a3?(2a3?cosa3)?a1a5??∴

22??13?162

[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，(cosa1?cosa2???cosa5)?0,隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.

- 5 -

第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集U?{a,b,c,d}，集合A?{a,b}，B?{b,c,d}，则 （CUA）?（CUB）?_______。[答案]{a, c, d}

[解析]∵（CUA）?{c,d} ；（CUB）?{a} ∴（CUA）?（CUB）?{a,c，d} [点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.

14、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。 [答案]90o

[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，

又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o

方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角

坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2） 故，DN? （0,2,1），MA1?（2，?1,2）所以，cos

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、椭圆

x24?y23?1的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，当?FAB的周长

最大时，?FAB的面积是____________。 [答案]

23

22[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5

?c?2,?e?ca?23

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。设a为正整

xn?[axn]](n?N)，现有下列命题：

?数，数列{xn}满足x1?a，xn?1?[2①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

- 6 -

②对数列{xn}都存在正整数k，当n?k时总有xn?xk； ③当n?1时，xn?a?1；

④对某个正整数k，若xk?1?xk，则xn?[a]。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案]①③④

xn?[axn]](n?N) 3?12?[解析]若a?5，根据xn?1?[当n=1时，x2=[

5?122]=3, 同理x3=[对. ]?2, 故①

对于②③④可以采用特殊值列举法：

当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对. 当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对

综上，真命题有 ①③④ .

[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时

110刻发生故障的概率分别为和p。

4950（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量?，求?的概率分布列及数学期望E?。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1-P（C）=1-110495015P= ，解得P=

0………………………………4 分

1100027（2）由题意，P（?=0）=C（3P（?=1）=C（311101101110）?）?3

1101110100024322）（1?）?P（?=2）=C（ 310101000）（1?2P（?=3）=C（33）（1?0）?37291000

所以，随机变量?的概率分布列为：

- 7 -

? 0 110001 2710002 24310003 7291000 P

故随机变量X的数学期望为： E?=00?11000?1?271000?2?2431000?3?7291000?2710 ……………………12分.

[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分)

函数f(x)?6cos2?x2?3cos?x?3(??0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象

的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且?ABC为正三角形。 （Ⅰ）求?的值及函数f(x)的值域； （Ⅱ）若f(x0)?835，且x0?(?102,)，求f(x0?1)的值。 332[解析]（Ⅰ）由已知可得：f(x)?6cos =3cosωx+

?x2?3cos?x?3(??0)

3sin?x?23sin(?x??3)

又由于正三角形ABC的高为23，则BC=4 所以，函数f(x)的周期T?4?2?8，即2???8，得???4

所以，函数f(x)的值域为[?23,23]。……………………6分 （Ⅱ）因为f(x0)?f(x0)?23sin(835?）有 ，由（Ⅰ

?x04?3)?835，( 即sin?x04??3)?45

由x0?（??x102???，），得(0?)?(?,) 334322?x04?所以，即cos(?3)?4231?()?

55故f(x0?1)?23sin(?x04??4??3)?23sin[(?x04??3)??4]

?23[sin(?x0422???35

?23(?x???)cos?cos(0?)sin34434?22)45

? - 8 -

?765 ………………………………………………………12分

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想. 19、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P?ABC中，?APB?90?，

PC?平面PAB?平面ABC。 ?PAB?60，AB?BC?CA，

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。

AB[解析]（1）连接OC。由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角 设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.

因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3,AB=4. 所以CD=23，OC=OD2?CDOPOC2?1?12?313?391313.

在Rt?OCP中，tan?OPC??.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（2）过D作DE?AP于E，连接CE.

由已知可得，CD?平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

3913…………………6分

所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE中，tan?CED?CDDE?2

故二面角B—AP—C的大小为arctan2……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an?S2?Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求a1，a2的值；

- 9 -

（Ⅱ）设a1?0，数列{lg值。

10a1an}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大

[解析]取n=1,得a2a1?s2?s1?2a1?a2, ① 取n=2,得a2?2a1?2a2, ② 又②-①，得 a2(a2?a1)?a2 ③ （1）若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2?0，易知a2?a1?1, ④ 由①④得：a1?2?1,a2?2?2;a1?1?2,a2?2?2;

2;…………………5分

2（2）当a1>0时,由（I）知，a1?当n?2时，有（2?2?1,a2?2?2）an?s2?sn , (2+2)an-1=S2+Sn-1

所以，an=2an?1(n?2)

所以an?a1(2)n?1?(2?1)?(2)n?1 令bn?lg10a1an,则bn?1?lg(121082)n?1?12lg1002n?1

所以，数列{bn}是以?则 b1>b2>b3>…>b7=lg当n≥8时，bn≤b8=

12lg2为公差，且单调递减的等差数列. ?lg1?0 ?12lg1?0

lg100128所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7=

（7b1?b7）21?7?lg2…………………………12分 22[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A(?1,0)、

?MABB(2,0)构成?MAB，且?MBA?2，设动点M的轨

y迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求

|PR||PQ|MAOBx的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,y?0. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）

- 10 -

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

|y|x?22?1?(|y|x?1|y|x?1有tan∠MBA=

2

2tan?MAB1?tan2

2??MAB,即

)2

化简得：3x-y-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分 (II)由方程

?y??2x?m22消去y，可得（*） x?4mx?m?3?0。?22?3x?y?3?0由题意，方程（*）有两根且均在（1，+?）内，设f(x)?x2?4mx?m2?3 ??4m??2?1??22所以?f(1)?1?4m?m?3?0

?22??(?4m)?4(m?3)?0???解得，m>1,且m?2

设Q、R的坐标分别为(x0,y0),(xR,yR)，由PQ?PR有

xR?2m?3(m?1),x0?2m?23(m?1)

2所以

PRPQ?xRxQ?2m?2m?3(m?1)3(m?1)222??2?3(1?3(1?1m1m2)??1?2?43(1?1m2 ))2由m>1，且m?2，有 1??1?2?43(1?1m)2?7?43,且?1?42?（31?1m2?7. ）所以

PRPQ的取值范围是?1,7??(7,7?43)................................................ 12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 22、(本小题满分14分)

已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?2an2与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 （Ⅰ）用a和n表示f(n)；

- 11 -

3（Ⅱ）求对所有n都有

f(n)?1f(n)?1n?n3n?11成立的a的最小值；

与

27f(1)?f(n)的大小，并说明理由。 ?4f(0)?f(1)1（Ⅲ）当0?a?1时，比较?k?1f(k)?f(2k)??[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为

????a,0?，对y???2??nx2?a2n求导得y'??2x则抛

物线在点A处的切线方程为y??2a(x?（2）由（1）知f(n)=a,则

nna2n),即y??2ax?nann.则f(n)?an

f(n)?1f(n)?1?n33n?1成立的充要条件是a?2n?1

3即知，当a?ann?2n?13对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥17

17,n?3时,

an?4?(1?3)1n?1?Cn?3?Cn?3?Cn?3??223312233

?1?Cn?3?Cn?3?Cn?3 ?1?2n?312n?5(n?2)?(2n?5)????2?

>2n3+1

当n=0,1,2时，显然(17)故当a=17时，

f(n)?1f(n)?1?n?2n?1

33nn3对所有自然数都成立

?1所以满足条件的a的最小值是（3）由（1）知f(k)?17n。

1f(k)?f(2k)f(1)?f(n)f(0)?f(1)nan，则?k?1??k?11ak?a2k，

f(1)?f(n)f(0)?f(1)?a?an1?a

n下面证明：?k?11f(k)?f(2k)?274?.

首先证明：当0

1x?x3?274x

- 12 -

设函数g(x)?则g'(x)?81274x(x?x)?1,0?x?1 2)

24322当0?x?时，g（'x）?0;当?x?1时，g'(x)?0

33x(x?故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min=g()?0

32所以，当0

1x?xk2?274x

由0

N*),因此

1a

?a2k?274ak，从而

n?k?11f(k)?f(2k)n??k?11ank?ak2k?274274274274?ak?1??a?aan?1

??1?aa?n

??1?af(1)?f(n)f(0)?f(1)[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.

主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

- 13 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b1s8.html