2010-2011学年第二学期风险理论期末考试试卷答案

试卷装订线 题号 得分 阅卷人 一 北京师范大学珠海分校

2010-2011学年第二学期期末考试试卷

开课单位： 应用数学学院 课程名称： 风险理论 任课教师：__ __ 考试类型：_ 开卷_ 考试时间：__100 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________

二 三 四 五 六 七 八 总分 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）

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一、（10分）如果效用函数满足u'?x??0, u\?x??0，证明如下Jensen不等式:

u?E?X???E?u?X??

证明：对u?x?做泰勒展开，得

u?x??u?E?X???u'?E?X???x?E?X??21 ?u\?E?X???x?E?X?????x?E?X??2

因为u\?x??0，故有

u?x??u?E?X???u'?E?X???x?E?X?? 于是在上式两侧取数学期望得

E??u?x????u?E?X???u'?E?X??E?x?E?X???u?E?X??，

即u?E?X???E?u?X??。

34??2二、（10分）已知个别理赔额的分布为X???，求MX?1?。

?0.30.50.2?解：MX?1??E?eX??0.3e2?0.5e3?0.2e4?2.2167?10.0428?10.9196?23.1791

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试卷装订线 三、（12分）已知某泊松盈余过程，个别理赔额变量X服从期望为2的指数分布，安全系数为0.15. （1）求调节系数R；

（2）初始准备金为45时，破产概率是多少？ 解：

（1）根据已知条件，有??0.15, ??1??12?0.5

??0.5?0.15??0.065217 1??1?0.15（2）理赔额为指数分布时的破产概率为 代入R? ??u??1?Ru11?2.934765e?e?0.065217?45?e?0.04621 1??1?0.151.15

四、（12分）一种保单组合，至多发生一次理赔，并且： （1）发生理赔的时刻T在?0, 50?之间均匀分布；

（2）总理赔额S的分布为P?S?1000??0.8，P?S?5000??0.2，设保险人的盈余过程为U?t??900?100t?S?t?，计算破产概率。 解：设破产时刻为T，破产概率为??u?，则

S?900???100? ??P?T?1?P?S?1000??P?T?41?P?S?5000???u??P?U?t????P?900?100T?S??P?T?由于T?U?0,50?，故有P?T?1???104111dt?0.02,P?T?41???dt?0.82

05050将相关数据代入，则得??u??0.02?0.8?0.82?0.2?0.18。

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试卷装订线 五、（12分）某人拥有财产100，其效用函数是u?x??的分布为：

x,x?0，他面临的损失XXP020500.50.250.25。若他买了有免赔额的保险，保费为10，则在此情

况下，他的期望效用可能的最大值是多少？

解：设免赔额为d，保费为P，则免赔额由P?E?Id?确定， 设0?d?20，有

10?E?Id???20?d??0.25??50?d??0.25?17.5?0.5d， 由此得到 d?15；

设20?d?50，有10?E?Id???50?d??0.25?12.5?0.25d 由此求得d?10（与假设矛盾，舍去），最后确定免赔额d?15。 期望效用的最大值为

?E??1?0X?1I5???X?1?5I??u?100??E??u90??u?90??u?P?X?0???u90?20?5?PX??20??90?0.5?

9?05?0??P35X??

5075?.02?57?.5025?4.743?4.433?01.90735六、（14分）在聚合风险模型中，已知理赔额X的分布为fX?1??0.6, fX?2??0.4，理赔次数N的分布为P?N?0??0.5, P?N?1??0.3, P?N?2??0.2,计算fS?3?。 解：

fS?3???P?N?k?f*k?3??P?N?2?f*2?3?k?02?P?N?2???P?X1?1,X2?2??P?X1?2,X2?1????0.2??0.6?0.4?0.4?0.6??0.096

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试卷装订线 七、（15分）某保险人承保了两个保险标的，它们的理赔额随机变量分别为X1与X2，

X1?U?0,50?, X2??0,100?，X1与X2相互独立，令S?X1?X2，求FS?100?。 解：

P?S?100????x1?x2?100fX1?x1?fX2?x2?dx1dx2 ??750fX?100?x11?x1????0fX2?x2?dx2???dx1 ??501?100?x11050??dx?2?dx1 ?0100? ??50100?x1 050?100dx12 ?1?50?100??100x1?x1?2?50?0 ?37505000?0.75 八、（15分）某保险人承保了如下特征的风险组合（个体风险模型）： （1）理赔发生的概率为0.05；

（2）理赔发生时，理赔额B的分布为f1003B?x??3??100?x?4;

（3）该保险人的安全附加系数为0.5。

为使总赔付额超过总保费的概率为0.05，保险人至少要承担多少份保单？ 解：理赔额B的均值和方差为： E?B????3?1003xdx?1003x2dx0?100?x?4?50, Var?B????30?100?x?4?502?7500

理赔总额的均值和方差为：

E?S??nE?X??nE?B?E?I??50?0.05n?2.5nVar?S??nVar?X??n?2?E?B?Var?I??Var?B?E?I???

??502?0.05?0.95?7500?0.05?n?493.75n按题意，有P?S?1.5E?S???0.05,即

?P?S?1.5E?S???P?S?E?S?0.5E?S?????Var?S???1???0.5E?S????Var?S?0.05

?Var?S????????因此，??0.5E?S????Var?S???0.95?0.5?2.5n493.75?1.645?n?855

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