概率论与数理统计及其应用课后答案（浙大版）第4章 正态分布

第4章 正态分布习题解答

第4章

1，解：（1）P{Z正态分布

，

?1.24}??(1.24)?0.8925P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

。

所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，

2，解：因为XP{4?X?8}?P{P{0?X?5}??(~N(3,16)，所以4?345?34?X?344?X?34~N(0,1)。

8?34}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957)??(0?3)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

3，解：（1）因为

P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??(C6)??(?C6)?2?(C6)?1

所以得到?(（2）因为

?(C?32C62)?0.9772,即

C6?2.0，C?12.0。

C?32)?0.95X?3~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(3?C2)?0.95，即

。

)?0.05,或者?(，从而

3?C2?1.645，C??0.294，解：根据题意可得（1）P{2587.75 （2）P{X

X?3315575~N(0,1)。

)??(2587.75?3315575)?X?4390.25}??(4390.25?3315575

??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）

?2719}??(2719?3315575)?1??(1.04)?0.1492，

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第4章 正态分布习题解答

根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

4P{Y?4}??Ck?0k25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。

5，解：所要求的概率为

P{X?8}P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.3X,Y,1??(8?6.4)P{X?8|X?5}??6，解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量

X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)

则

（1）P{11.7?

X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}

211.7?11.9??12.3?11.92???()??()????(2)??(?1)??0.81850.20.2??2?0.6699；

（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为

?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2

7，解：根据题意，

P{120?X?200}??(?1?0.99382?0.0124。

X?160?~N(0,1))??(。所以有

?)?2?(40200?160120?160??)?1?0.80，

即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而

40??1.28,??31.25。

故允许?最大不超过31.25。

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第4章 正态分布习题解答

8，解：因为X（1）P{X~N(d,0.5)，所以

2X?d0.5~N(0,1)。

?89}??(89?900.5)??(?2)?1??(2)?0.0228；

80?d0.50.5)?0.99?2.326（2）若要求P{X即?(80?d0.5)?0.01?80}?0.99，那么就有P{X?80}?1??(，

或者?(d?800.5)?0.99??(2.326)，从而

d?80，

最后得到d

?81.163，即d至少应为81.163。

9，解：根据题意X~N(150,9),Y~N(100,16)。

（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）

的性质，立刻得到

W1~N(250,25)， W2~N(?200,52)， W3~N(125,254)

（2） 因为 W1

~N(250,25)，W3~N(125,~N(0,1)，

254)，所以 ~N(0,1)X?Y?2505?X?Y?/2?125因此P{X?Y?242.6}??(5/2242.6?2505。

，

)?1??(1.48)?0.0694P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}

55???1???()??(?)?2.52.5??

?2?2?(2) ?0.0456

10，解：（1）根据题意可得X概率为P{X（2）X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的

?0?(?0.5)??Y}?P{X?Y?0}????????(1.77)?0.96160.08??2。

?Y~N(?0.5,0.04??)，所以若要控制

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第4章 正态分布习题解答

?0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04?????0.90??(1.282)， ??即要求

0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348

才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。

11,解：（1）因为M?W~N(0.1,0.003125)，所以

；

P{W?M}?P{M?W?0}??(0?0.10.003125)??(?1.79)?1?0.9633?0.0367（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为

P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025)??(1.2)?0.8849，

随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布

B(5,0.8849)，所以至少有

C5?0.8849444名的身高大于1.60的概率为

55?(1?0.8849)?C5?0.8849?0.8955

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W1,?W50，

W?150?W。则Wii?150?15050?Wi?1i~N(1.63,0.025502)，所以这50名女子的平

均身高达于1.60的概率为

P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1

12，解：（1）由

16????0.84?P{X?16}??(16???)?0.20??(?0.84)，得到

；

20??P{X?20}??(?)?0.90??(1.282)，得到20???1.282?； 。

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联立16??

??0.84?和20???1.282?，计算得到??17.5834,??1.8850第4章 正态分布习题解答

（2）由

X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到

3X?2Y?6Z~N(0,49)。

故所以

P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(?7?07)?1??(1)?0.1587

13，解：（1）根据题意

Z?m?30?XZ,X,m有关系式

m?Z?30?X或者

；

~N(0,7.5)，所以Z~N(m?30,7.5)；

22（2）因为X（3）要使得P{Z?450}?0.95，即要

，

m，

?492.3375?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.957.5??所以要求???m?480m?480?即??0.95??(1.645)，

7.5?7.5??1.645。

所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。

14,解：（1）此时Z得

Z~N(m?30,65.25)。

?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.5)2，可

（2）P{Z可得

?450?(m?30)??m?480?450}?1??????????65.25???65.25????0.90??(1.282)， ?m?48065.25?1.282，即 m?490.36。

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第4章 正态分布习题解答

15，解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，

X?1100100?i?1Xi。则E(X)?2，D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极

限定理可得

100P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1X?20.2?1.8?20.2}?1??(1.8?20.2)??(1)?0.8413

16，解：根据题意可得E(X)?中心极限定理可得

P{24.75?X?25.25}?P{24.75?250.1?X?250.1?25.25?250.1}??(2.5)??(?2.5)

25(kg),D(X)?1100。由独立同分布的

?2?(2.5)?1?0.9876

17，解：以X1,?X400记这400个数据的舍入误差，X则E(X)?0,400?1400400?i?1Xi。

D(X)?10?144800。利用独立同分布的中心极限定理可得

?8P{?Xi?0.5?10i?1?6}?P{?0.125?10?X?0.125?10?8}

?P{?0.125?1010?14?8?X10?14?0.125?1010?14?8}

480048004800

??(0.2512)??(?0.2512)

?2?(0.866)?1?0.6156

18，解：（1）根据题意，X

~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。

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第4章 正态分布习题解答

由De Moivre-Laplace定理，计算得

P{170?X?185}??(185?0.5?200160)??(170?0.5?200160)

??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；

P{X?190}?1??(190?0.5?200160)?1??(?0.83)?0.7967；

。

P{X?180}??(180?0.5?200160)??(?1.54)?1?0.9382?0.0618（2）设要安装n部电话。则要使得

P{X?50}?1??(50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95

就要求?(0.2n?49.50.16n)?0.95??(1.645)，即

0.2n?49.50.16n?1.645，从而

20.04n?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。

所以最少要安装305部电话。

19，解：根据题意，E(X)?9.69，D(X)?94.13?9.692（1）以X1,?X10分别记10次射击的得分，则

1010?0.2339。

?Xi?1i?96.9?P{?Xi?96}?P{i?196?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.2776

（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则

Y~B(900,0.01)。由

De Moivre-Laplace定理，计算得

6?0.5?900?0.01900?0.01?0.99)?1??(?1.17)?0.8790P{Y?6}?1??(

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