江苏东海高级中学2011高三上期中考试--数学（理）

江苏省东海县高级中学2010-2011学年度第一学期期中考试

高三理科数学试题 2010.11.25

（考试时间120分钟，试题满分160分）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1?2x?1?4,x?Z}，则M?N? ▲ ． 22. 已知直线3x?4y?3?0与直线6x?my?11?0平行,则实数m的值是 ▲ .

323. 奇函数f(x)?ax?bx?cx在x?1处有极值，则3a?b?c的值为 ▲ . 4. 在等比数列{an}中，它的前n项和是Sn,当S3?3a3时，则公比q的值为___▲___. 1. 已知集合M?{?1,1},N?{x115. 若不等式ax?bx?2?0的解集为(?,),则a?b的值为 _▲ . 23?????6. 已知向量a?(3,4),b?(2,?1),如果向量a?xb与b垂直,则x的值为__▲___.

27. 在?ABC中,tanA?2tanB,sinC?3,则sin(A?B)?____▲____. 58. 已知两圆相交于两点(1,3)和(m,1),且两圆的圆心都在直线x?y?▲ .

9. 已知圆C1:(x?1)2c?0上,则m?c 的值是 2?y2?1，圆C2与圆C1外切,且与直线x?3切于点(3,1),

?(an?1)(an?3),

则圆C2的方程为 ▲ ． 10. 设?an?是正项数列，其前n项和Sn满足条件4Sn则数列?an?的通项公式an= ▲ ．

2??x?4x，x?02f(8?a)?f(2a),则实数a的取值范围是____▲ __. 11. 已知函数f(x)?? ,若2，x?0??4x?x????????????????????(AC?AB)等于_▲_. 12. 已知P为?ABC的外心,且|AC|=4,|AB|?2,则AP?11f(x)?|x?a|?(x?0)f(x)?13. 已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围是_____▲______.

x214. 已知方程mx?(m?3)x?3m?0有1个根小于?2,其余3个根都大于?1,

则实数m的取值范围是______▲____. 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.(本小题满分14分)

42

???2??已知向量a?(53cosx,cosx),b?(sinx,2cosx),函数f(x)?a?b?b.

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； （2）当

?6?x??2时，求函数

f(x)的值域.

16.(本小题满分14分)

如图，梯形ABCD中,AD//BC,AD?AB,AD?1,BC?2,AB?3, P是AB上的一个动点,?CPB??,?DPA??.

(1)当PD?PC最小时,求tan?DPC的值； (2)当?DPC??时,求PD?PC的值.

D

P

B C

17.（本小题满分14分）

已知在平面直角坐标系xoy中,圆C经过函数f(x)?A 13x?x2?3x?9(x?R)的图像 3与两坐标轴的交点,C为圆心. (1)求圆C的方程；

(2)在直线l:2x?y?19?0上有一个动点P,过点P作圆C的两条切线,设切点分别为M,N,

求四边形PMCN面积的最小值及取得最小值时点P的坐标.

18.(本小题满分16分)

如右图,某污水处理厂要在一个长方体形污水处理池的池底(ABCD)铺设污水净化管道(Rt?FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB?20m,

AD?103m,记?BHE??.

(1)试将污水净化管道的长度L表示成?的函数,并写出定义域； (2)若sin??cos??2,求此时管道的长度L；

(3)当?取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

19.（本小题满分16分） 数列?an?满足anD C E

F A ? H B ?2an?1?2n?1(n?N,n?2),a3?27.

（1）求a1,a2的值；

（2）是否存在一个实数t,使得bn?若存在,求出实数t；若不存在,请说明理由； （3）求数列

1(an?t)(n?N?),且数列?bn?为等差数列? n2?an?的前n项和Sn.

20.（本小题满分16分）

f(x)?ln(ex?a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数

g(x)??f(x)?sinx是区间[-1,1]上的减函数. (1)求a的值；

2 (2)若g(x)?t??t?1在x?[?1,1]上恒成立,求实数t的取值范围；

2 (3)设m?R,讨论关于x的方程lnx?(x?2ex?m)f(x)的根的个数.

已知函数

江苏省东海县高级中学高三理科数学期中考试参考答案

一、填空题：

1.{-1} 2.8 3.0 4. 1或-9. (x?)?y?二、解答题：

121 5. -14 6.? 7. 8. 3 25575226442) 12.a?2 13. 6 14. ??m?0 10.2n?1 11. (?4，255???215.（1）f(x)?a?b+b?53sinxcosx?2cos2x?sin2x?4cos2x

?53sinxcosx?5cos2x?1

531?cos2x?7sin2x?5??1?5sin(2x?)?.---4分 2262?T??.------------5分 ?????由2k???2x??2k??得k???x?k??(k?Z)

26236??所以函数f(x)的增区间是[k??,k??](k?Z).------------8分

36????7?（2）由?x?，得?2x??，

622661??717???sin(2x?)?1，?1?5sin(2x?)??,

26622?

6216.(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。 则A?0,0?,B?3,0?,C?3,2?,D?0,1?,令P?x,0?,0?x?3

y 有PD???x,1?,PC??3?x,2?

22所以PD?PC?x?3x?2?(x?)??当

??x??时，函数f(x)的值域为[1,

17

].---------------14分 2

321，----3分 4C D A O P B 3时，PD?PC最小 2324此时P(,0)，在?CPB中，tan???,

332212在?DPA中，tan???

332当x?x

42?tan??tan?33??18----7分 所以tan?DPC??tan???????tan?tan??142??133????????21(2)由(1)知，P?x,0?,PD?PC?x2?3x?2，tan??,tan??----10分

3?xx12x整理得：x?1 ??DPC??,?????2?,tan???tan2? ???13?x31?2x2?10----14分 91312217.解：（1）由x?x?3x?9?0得(x?3)(x?3)?0,解得x1?3,x2??3,再由

33x?0得f(0)??9，所以函数与两坐标轴有三个交点，分别是(3,0),(-3,0),(0,-9)---3分

2此时PD?PC?()?1?2?13设经过该三点圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0,将三点坐标代入 得:D?0,E?8,F??9,所以圆的方程是:x2?y2?8y?9?0--------8分 (2)由题意得:SPMCN?5PM,要求面积最小值即求PM的最小值,而PM?PC2?25, PCmin?d(C到直线l的距离)=35,-------10 45?25?20?25,所以四边形PMCN面积的最小值是105.—12分.

此时PC的方程是:x?2y?4?0与l:2x?y?19?0联立解得P(-6,-7)---14分.

1018.解:(1)如图在Rt?BHE中，EH?，在Rt?AFH中，

cos?101022FH?，在Rt?EFH中，EF?EH?HF?

sin?sin?cos?D PMmin?所以管道总长

C

E

L?EF?FH?EH?101010????(??[,])； F sin?cos?sin?cos?63A H -----6分(未注明定义域扣1分)

? B

(2)因为sin??cos??2，所以 sin?cos??1, 2代入(1)中结论得L?20(2?1)米；---10分 (3)因为L?101010sin??cos??1???10(), sin?cos?sin?cos?sin?cos??20t2?1令sin??cos??t?2sin(??),sin?cos??,?L?----12分

4t?12??3?1又??[,],t?[,2],---------14分.

6322040??20(3?1) 所以Lmax?3?13?1?12此时???636319.解：（1）由a3?27,得27?2a2?23?1,?a2?9. …2分

?9?2a1?22?1,?a1?2. ……4分

（2）假设存在实数t ,使得{bn}为等差数列,则2bn?bn?1?bn?1.

或???,答:当???或???时,铺设的管道最长,为20(3?1)m.---16分

111(a?t)?(a?t)?(an?1?t), nn?12n2n?12n?1an?2n?1?2an?2n?1?1?t,?t?1. ?4an?4an?1?an?1?t, ?4an?4?2?存在t?1,使得数列{bn}为等差数列. ………………10分

351(3)由（1）、（2）知：b1?,b2?, 又{bn}为等差数列,?bn?n?.

2221?an?(n?)?2n?1?(2n?1)?2n?1?1. ………12分

2 ?Sn?3?20?1?5?21?1?7?22?1???(2n?1)?2n?1?1 ?2? ?3?5?2?7?22???(2n?1)?2n?1?n

?2Sn?3?2?5?22?7?23???(2n?1)?2n?2n,

??Sn?3?2?2?2?22?2?23???2?2n?1?(2n?1)?2n?n

1?2n?(2n?1)?2n?n?(1?2n)?2n?n?1. ?1?2?1?2 ?Sn?(2n?1)?2n?n?1. ………………16分

f(x)?ln(ex+a)是奇函数,则ln(e?x?a)??ln(ex?a)恒成立,20.解: (1)?(e?x?a)(ex?a)?1,整理得1?ae?x?aex?a2?1,/

?a(e?x?ex?a)?0?a?0???????4分.(2)因为g(x)??x?sinx在[-1,1]上是减函数,g(x)???cosx?0在[-1,1]上恒成立, 又???cosx,cosx?[cos1,1],????1.-------6分

又g(x)在[-1,1]上是减函数,?g(x)max?g(?1)????sin1,

2所以只需???sin1?t??t?1,(t?1)??t?sin1?1?0(其中??-1)恒成立.

2

?t?1?0?t??1--10分. 令h(?)?(t?1)??t?sin1?1(???1),则?2?(t?1)?t?sin1?1?0?(3)由(1)知f(x)?x,所以方程化为:lnx?(x2?2ex?m)x

lnxlnx?1lxn?x2?2ex?m,令1f(?x),2f(?x)2?x2?ex?m,1/?f()x2 xxx ?当x?(0,e)时,f1/(x)?0,即f1(x)在(0,e]上是增函数,当x?[e,??),f1/(x)?0

1 即f1(x)在[e,??)是减函数,所以当x?e时,f1(x)max?f1(e)?,

e 而f2(x)?(x?e)2?m?e2,即f2(x)min?f2(e)?m?e2,结合图象知

211当m?e2?时,即m?e2?时,方程无解；ee11 当m?e2?时,即m?e2?时,方程有一解；----------16分.

ee11当m?e2?时,即m?e2?时,方程有个解.ee …………16分

?t?1?0?t??1--10分. 令h(?)?(t?1)??t?sin1?1(???1),则?2?(t?1)?t?sin1?1?0?(3)由(1)知f(x)?x,所以方程化为:lnx?(x2?2ex?m)x

lnxlnx?1lxn?x2?2ex?m,令1f(?x),2f(?x)2?x2?ex?m,1/?f()x2 xxx ?当x?(0,e)时,f1/(x)?0,即f1(x)在(0,e]上是增函数,当x?[e,??),f1/(x)?0

1 即f1(x)在[e,??)是减函数,所以当x?e时,f1(x)max?f1(e)?,

e 而f2(x)?(x?e)2?m?e2,即f2(x)min?f2(e)?m?e2,结合图象知

211当m?e2?时,即m?e2?时,方程无解；ee11 当m?e2?时,即m?e2?时,方程有一解；----------16分.

ee11当m?e2?时,即m?e2?时,方程有个解.ee …………16分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b1ox.html