高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明

一、核心知识

1.合情推理

（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.演绎推理

(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)演绎推理的主要形式：三段论

“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

3.直接证明

直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

4反证法

（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

页脚

页脚 确。

（3）反证法的思维方法:正难则反 ．．．．

5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤

(1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；

(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

二、典型例题

例1. 已知 ，猜想的表达式为（ B ） A.； B.； C.； D.. 例2. 已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有 例3. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

_______________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明. 解：一般形式: 证明：左边 = =

= = = （将一般形式写成 等均正确。） 2()(1),(1)1()2f x f x f f x +=

=+*x N ∈（）(f x ）4()22x f x =+2()1f x x =+1()1f x x =+2()21

f x x =+*111()1()23

f n n N n =++++∈3(2)2f =(4)2f >5(8)2f >(16)3f >7(32)2

f >2n ≥*21(2)()2

n n f n N +>∈23150sin 90sin 30sin 222=

++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 2

32

3)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα2

)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα)]2402cos()1202cos(2[cos 2

123 ++++-ααα-+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----右边=2

32223sin (60)sin sin (60),2

ααα-+++=2223sin (240)sin (120)sin 2

ααα??-+-+=

页脚

例4．若均为实数，且。

求证：中至少有一个大于0。 答案：（用反证法）

假设都不大于0，即，则有，

而

=

∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。 例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=n 2（n ∈N*） 三、课后练习

1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B ) A.???

a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *

)

B.???

a 1＝1，

a n ＝a n －1＋n (n ∈N *

，n ≥2)

C.???

a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *

)

D.???

a 1＝1，

a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *

，n ≥2)

[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系??

?

a 1＝1，

a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．

2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)

2

(n ∈N *)时，验

证n ＝1，左边应取的项是( D )

A ．1

B ．1＋2

C ．1＋2＋3

D ．1＋2＋3＋4

[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n 2，则( D )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

c b a ,,6

2,3

2,2

2222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a c b a ,,c b a ,,0,0,0≤≤≤c b a 0≤++c b a 3)6

3

2()1()1()1()6

2()3

2()2

2(222222-+

+

+-+-+-=+-++-++-=++π

π

π

πππz y x x z z y y x c b a 3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 222)1(,)1(,)1(---z y x 03>-π0>++c b a 0≤++c b a c b a ,,

页脚 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14

[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D.

4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D )

A ．大于0

B ．小于0

C ．不小于0

D ．不大于0

[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0，

∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，

∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.

5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B )

A ．a ＞b

B ．a ＜b

C ．a ＝b

D ．a 、b 大小不定

[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1

， 因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a

6．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c

，则△ABC 是( C ) A ．等边三角形 B ．有一个角是30°的直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．有一个角是30°的等腰三角形

[解析] ∵

sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c

， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°，

∴△ABC 是等腰直角三角形．

7.观察式子：，…，则可归纳出式子为（ C ） A 、 B 、 C 、 D 、 474131211,3531211,2321

1222222<+++<++<+1211

31211222-<

+++n n 121131211222+<+++n n n n n 1

2131211222-<+++ 1

221

31

21

1222+<+++n n n

页脚 解析：用n=2代入选项判断。

8.设，，n ∈N ，则

解：，由归纳推理可知其周期是4

9.函数由下表定义：

若，，，则 4 ． 10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．

11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n 的代数式表示）

12. △ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，

求证：。

答案：证明：要证

，即需证。 即证。 又需证，需证

∵△ABC 三个角A 、B 、C 成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理，有，即。

∴成立，命题得证。

13.用分析法证明：若a >0，则

。 答案：证明：要证， )()(,cos )('010x f x f x x f =='21()(),

,f x f x ='1()()n n f x f x +==)(2008x f x cos ()f x 05a =1()n n a f a +=0,1,2,n =2007a =48n +c b a c b b a ++=+++311c b a c b b a ++=+++3113=+++++++c b c b a b a c b a 1=+++c

b a b a

c ))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++222b ac a c +=+ 60cos 2222ca a c b -+=ac a c b -+=222222b ac a c +=+212122-+≥-+a a a a 2121

22-+≥-+a

a a a

x 25314()f x 12345

页脚 只需证。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证 只需证， 只需证

，只需证， 即证，它显然成立。∴原不等式成立。

14.中，已知，且，求证：为等边三角形。

解: 分析：由 由

所以为等边三角形

15．已知：a 、b 、c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13

. [证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .

三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .

∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.

由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，

即a 2＋b 2＋c 2≥13

.

2121

22++≥++a a a a 2222)21()21

(

++≥++a a a a )1(222211*********a a a a a a a a +++++≥++++

)1(22122a a a a +≥+)21(2112222++≥+a a a a 21

22≥+a a ABC ?B a b sin 323=C A cos cos =ABC ?32,323sin sin sin 32sin 3sin 323ππ=?=

?=?=A A B A B B a b C A C A =?=cos cos B C A ==

=∴3πABC ?