高考数学一轮复习 专题09 椭圆与双曲线的离心率特色训练

九、椭圆与双曲线的离心率

一、选择题

x2y2??1的离心率是 1．【2017年浙江卷】椭圆94A. 25513 B. C. D. 3933【答案】B

x2y2??1中a2?9，b2?4，c2?a2?b2?5. 【解析】椭圆94离心率e?c5，故选B. ?a3x2y21??1的离心率为，则m?（ ） 2．已知焦点在x轴上的椭圆2m3A. 6 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C

3．【2018届南宁市高三摸底联考】已知椭圆

，弦的中点坐标是

A. B. 【答案】C

C.

D.

的一条弦所在的直线方程是

，则椭圆的离心率是（ ）

【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知

代入k=1,M(-4,1),解得，选C.

4．【2018届浙江省温州市高三9月测试】正方形的四个顶点都在椭圆上，若

椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 【答案】B

B.

C.

D.

x2y25．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0) 的左右

ab焦点分别为F1,F2， P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y?平分线，则双曲线C的离心率为

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C

【解析】设F2?c,0?，渐近线方程为y?bx恰为线段PF2的垂直abnax，对称点为P?m,n?，即有??，且am?cb?a2?b22ab?11b?m?c?a2?b22ab,?n??,n?，解得m?，将P??，即cc22acc??2a?c??2a?c2ab?,??，代入双曲线的方程可得cca2c2??2222?24a2b2c2?22?1，化简可得2?4?1，cba即有e=5，解得e?5，故选C．

2

6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知它们的一个公共点，且A.

B.

C. D.

为椭圆与双曲线的公共焦点，是

，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ ）

【答案】B

在△PF1F2中由余弦定理得，

4c=（a1+a2）+（a1﹣a2）﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos化简得：（

）a1+（

2

2

2

2

，

）a2=4c，

22

即，

又∵9 ，

∴，即≥，

即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为故选：B．

．

x2y27．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，ab若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A， B两点，且AF?3BF，则双曲线离心率的最小值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 2 D. 22 【答案】C

【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点，且AF?3BF，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A 在左支，B在右支，设A?x1,y1? ， B?x2,y2? ，右焦点F?c,0?，因为AF?3BF，所以c?x1?3?c?x2? ， 3x2?x1?2c ，由于x1??a,x2?a，所以

?x1?a,3x2?3a ，故3x2?x1?4a，即2c?4a,c?2, 即e?2 ，选C. ax2y28．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P是椭圆2?2?1（a?b?0）上

ab一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若 S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是 A. 1132 B. C. D. 2422【答案】A

9．【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆

关于直线

对称，则双曲线

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】圆的半径为：

的离心率为（ ）

，满足题意时，直线过圆心，即，

双曲线的离心率为：本题选择C选项.

.

10．【2018届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线焦点分别为、，焦距为（

），抛物线

（，）的左、右

的准线交双曲线左支于，两点，且

（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. 2 C. D.

【答案】A

11．【2017届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1,F2，这两条曲线在第一象限的交点为P， ?PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1?10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1?e2的取值范围是（ ）

A. ?,??? B. ?,??? C. ?,??? D. ?0,??? 【答案】A

【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n)， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10， 即有m=10，n=2c，

由椭圆的定义可得m+n=2a1， 由双曲线的定义可得m?n=2a2， 即有a1=5+c, a2=5?c,(c<5)，

再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，

?1?3???1?5???1?9??ccc2155??可得c>,即有由离心率公式可得e1?e2?? 22522a1a225?c?1c22511?4,则有. ?225c3?1c21则e1,e2的取值范围为(,+∞). 3由于1?故选：A.

x2y212．【2018届山西省名校高三五校模拟联考一】设双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、abA，右焦点分别为F1， F2， F1F2?2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为

已知Q?c,3?3a?CPPF?PQ?F1F2恒， ，点是双曲线右支上的动点，且FQ?FA122?22??成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )

?10??710??10??7?A. ? D. ?1, ,1,? C. ????2,???? B. ?????6226????????【答案】B

二、填空题

13．【2018届浙江省温州市高三9月测试】双曲线的焦点在轴上，实轴长为4，离心率为则该双曲线的标准方程为__________，渐进线方程为__________． 【答案】 【解析】实轴线方程为

，又离心率

，渐进线方程为

，

，

，

，双曲.

，

，故答案为

14．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知双曲线 的焦

点与抛物线【答案】

的焦点重合，则双曲线的离心率为__________．

【解析】由题意知，，∴，∴双曲线的离心率．

15．【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1?PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2?3e1，则e1?______________.

【答案】5 3

e2?cc,?a2?2 a2e2?1?22?b2?c2?a2?c2?1?2? ?e2??1??1??c2?2?1??c2?1?2? ?e1??e2?即115 ??2，3e?e?e?12,122e1e235. 3故答案为16．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知椭圆点分别为

，

，为椭圆上一点，且

的两个焦

，则此椭圆离心率的取值范

围是__________． 【答案】

三、解答题

x2y2617．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M?0,2?，离心率是．

ab3（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）直线l过点N?2,0?且交椭圆C于A、B两点，若?AOB?90?（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

x2y2??1（2）y?3x?23或y??x?23． 【答案】（1）12422【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得b?4，再根据离心率求得a?12（2）设

B?x2,y2?，则由?AOB?90?得x1x2?y1y2?0，再设直线方程，化简得x1，x2A?x1,y1?，

和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注意验证斜率不存在时是否满足条件

2试题解析：（Ⅰ）将M?0,2?代入方程可得b?4，

c2a2?b22?， 离心率e?2?aa232∴a2?12，

x2y2??1． ∴C的方程为： 124

2222可得1?3kx?12kx?12k?12?0，

??12k212k2?12∴x1?x2?， x1?x2?， 221?3k1?3ky1?y2?k2?x1?2??x2?2?

?k2??x1x2?2?x1?x2??4??

?8k2? 21?3k∵x1x2?y1y2?0，

12k2?12?8k2??0， ∴221?3k1?3k2∴4k?12?0，

∴k??3．

∴直线l的方程为y?3x?23或y??x?23．

18．【2018届云南师范大学附属中学月考一】已知椭圆 点分别为为，

，.

，点为椭圆上异于

的点，设直线

（）的两个顶

的斜率

的斜率为，直线

（1）求椭圆的离心率； （2）若【答案】(1)

，设直线与轴交于点

;（2）面积的最大值为

，与椭圆交于.

两点，求

的面积的最大值.

试题解析：（1） ，

整理得：，

又，，所以，

（2）由（Ⅰ）知所以椭圆C的方程为设直线 的方程为：设

，

，又

.

，

．

代入椭圆的方程有：，

，

令，则有，

代入上式有当且仅当所以

即

时等号成立，

．

，

的面积的最大值为

19．【2018届湖北省武汉市学部分学校新高三起点调研】设为坐标原点，动点在椭圆

（

（1）若三角形（2）若直线【答案】(1)

，）上，过的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点.

的面积的最大值为1，求的值； 的斜率乘积等于；(2)

.

，求椭圆的离心率.

【解析】试题分析：

试题解析： （1）

，所以

（2）由题意可设，，，则，，

所以

，所以

.

所以离心率

20．【2018届陕西省西安中学高三10月月考】已知椭圆

，离心率为.

的右焦点为

（1）若（2）设直线

，求椭圆的方程； 与椭圆相交于

两点，

分别为线段

的中点，若坐标原点在以

为直径的圆上，且【答案】(1)【解析】试题分析：

；(2)

，求的取值范围.

试题解析： （1）由题意得又因为

，∴

，∴.

.

所以椭圆的方程为.

（2）由 得.

设依题意，因为所以

.所以，易知，四边形，

，

为平行四边形，所以，

.

.

即 ，

将其整理为 .

因为所以

，即

，所以，.

.

21．【2018届湖南省岳阳市一中高三上第一次月考】已知点P是直线l:y?x?2与椭圆

x22?y?1?a?1?的一个公共点， F1,F2分别为该椭圆的左右焦点，设PF1?PF2取得最2a小值时椭圆为C.

（1）求椭圆C的标准方程及离心率；

（2）已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点， Q是椭圆C上异于A,B的任意一点，直线QA,QB分别与y轴交于点M?0,m?,N?0,n?，试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

x2?y2?1；【答案】(1) （2）1 . 3y?x?2试题解析：（1）联立{x2a2?y2?1 ，得?a2?1?x2?4a2x?3a2?0，

∵直线y?x?2与椭圆有公共点，

4222∴??16a?4a?1?3a?0，解得a?3，∴a?3，

??又由椭圆定义知PF1?PF2?2a，

故当a?3时， PF1?PF2取得最小值，

x26?y2?1；离心率为此时椭圆C的方程为 ； 33

同理，得n?x0y1?x1y0，

x0?x1222x0y?x1y0x0y1?x1y0x0y1?x12y0∴mn?， ??22x0?x1x0?x1x0?x12x0x122?y0?1,?y12?1， 又332x0x122,y1?1?， ∴y?1?33202??x12?2?x0x?1???x1?1??23?3?x0?x12??∴mn??2?1， 222x0?x1x0?x120∴mn为定值1.

22．【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知右焦点，点等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程；

是椭圆的左、为

在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，

（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆于

两点，当

且（2）

时，求

相交于

的面积的取值范围.

两点，与椭圆相交

【答案】（1）

试题解析：（Ⅰ）由从而得到

是等腰直角三角形，得

，

，

，

，故而椭圆经过

，解得．

代入椭圆方程得所求的椭圆方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，由题意，设直线的方程为

，

，

由则

得，

．

∵，∴，解得．

由设

消得

，

．

，，

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