14-离散时间滤波器的设计(续)

第十四讲 离散时间滤波器的设计(续) 离散时间 滤波器的参数指标 IIR 滤波器: 从连续时间滤波器的设计 (1) CT滤波器的设计 ☆ 冲激响应不变法 ☆ 双线性变换法 (2) IIR 滤波器的 CAD 设计法

FIR 滤波器: DT滤波器的直接设计(1) 加窗法 (2) 最佳等波纹近似法 ( FIR 的CAD设计)256

B3. 双线性变换法 ( I ) 映射整个 (- Ω ) 到 (-π ω ), 即, 整个左半 s平面到 平面的单位圆内： j e j 1

(i.e.

j 轴 单位圆)

1 s T 2 1 z 2 s , 或, z T 1 z 1 1 s T 2s-平面 z-平面

257

双线性变换法(II)

H ( z ) H a (s)

2 1 z 1 s ( ) 1 T 1 z

2 tan( / 2), 2 arctan( T / 2) T稳定性不变，但形状发生变换(频率轴有畸变)

258

双线性变换法(III)滤波器参数指标的转换：

注: 不存在频率重叠，但有频率畸变 效应。259

双线性变换法 例1参数指标 : p 0.25 , s 0.55 ; 通带波纹 0.5dB, 阻带衰减 15dB. 解: (1) 将参数指标从 DT 转换到 CT ,并考虑预畸 : Ω p tan( p / 2) tan(0.25 / 2) 0.4142136 ; s tan( s / 2) tan(0.55 / 2) 1.1708496 . (2) CT 滤波器设计 : s / p 2.8266809 , ( A 2 1) / 15 .841979 , ( 由 0.5dB 2 0.1220185 , 由 15 .0dB可得 A 2 31 .622777 ) N log10 (15 .841979 ) 2.6586997 , N 3 log10 (2.8266809 )

c 1.419915 p 0.588148 , (由相关方程得到)。260

双线性变换法 例1(续)(3) 由此得Ha ( s ) : 0.203451 H a (s) ( s 0.588148 )( s 2 0.588148 s 0.345918 ) (4) 从 CT 转换到 DT : 1 H ( z ) H a ( s ) s 1 z 1 z 1 0.662272 (1 z 1 ) 3 (1 0.2593284 z 1 )(1 0.6762858 z 1 0.3917468 z 2 ) ( 注 : T 2)

260*

双线性变换法 例2参数指标 : 0.99 H (e j ) 1, 0.4 , H (e j ) 0.001, 0.6 .

261

C. FIR 滤波器设计

DT FIR 滤波器的直接设计：(1) 给原型滤波器(i.e.,理想滤波器)的脉冲响应加窗 (2) FIR 的最佳近似法 -- 最大最小准则 -- 交替定理

-- Parks-McClellan 算法 (滤波器的CAD)

262

C1. 加窗法原理 设期望设计的滤波器的冲激响应为hd [n] (一般为IIR 滤波器): 例：截止频率为 c的理想低通滤波器, 其 单位 取样响应为： hd [n] sin c n , n

H d ( e jω )

- c

c

设计思想：通过截取和延迟获得因果的FIR 滤波器： (a) 延迟： d [n] hd [n M / 2]; h h [n],0 n M, (b) 截取：h[n] d 其 它。 0, 一般化：加窗 — 乘以一个长度有限的窗函数w[n], i.e., h[n] w[n]hd [n].263

理想的低通滤波器由下式给出： 1, c H ( e

j ) , . 其它 0, 式中， c 称为截止频率，对应单位取样响应为： hd [ n ] sin c n . nh[n]hd [n]

图中, c / 3.

加窗的频域解释时域乘积对应频域的卷积： 1 h[n] w[n]hd [n] H (e j ) 2 例：矩形窗 : w[ n] 1, 0 n M. W (e ) ej j M / 2

H d (e j )W (e j ( ) )d

Sin ( M 1) / 2 。 Sin / 2M+1

例：低通滤波器： 1, c , H d (e ) 0, c .jω

H d ( e j )

Aera 2

-2 /(M+1)

1 H (e ) 2 jω

cc

W (e j ( ) )d 264

c

c

加窗的频域解释(续)(1) 对 W (e j ), 当M m & Asidelobe , sidelobe , 所以, Aerasidelobe constant(副瓣面积为常数)。 (2) W (e j ( ) ) H d (e j )积分的结果是：H (e j )的副瓣将随 W (e j ( ) ) 副瓣的移动呈现出波动，这一现象被称为 “ Gibbs ”现象。 M 振荡速度加快，但振幅不变。 (3) 减小副瓣幅度的方法是: - -使窗函数在两端逐渐趋向于零，但 对应的 m 变宽。264*

加窗效应

H d ( e j )

W ( e j )

H ( e j )

265

矩形窗20log[W(ejω)]

4 主瓣宽度： ; M 1 峰值副瓣相对于 主瓣： 13dB;

266

其它窗 (I) Bartlett 窗 — triangular; Hanning 、Hamming 、Blachman 窗； 2πn 4πn C cos M M 式中，M是窗的长度。 w[n] A B cos Hanning 窗 : A 0.5,B 0.5, C 0; Hamming 窗 : A 0.54, B 0.46, C 0; Blackman 窗 : A 0.42, B 0.5, C 0.08. 注 : 若 - M/2 n M/2, 令 B 0. 若 0 n M , 令B -B267

Two-side sequence

窗函数的Fourier变换 (I)调制

Hanning频移

0.5

W ( e j )0.25

W [n] 0.5 0.5

e

j 2 n / M

e 2

j 2 n / M

Hamming

W ( e j )0.540.23

e j 2 n / M e j 2 n / M W [n] 0.54 0.46 2

267*

窗函数的Fourier变换 (II)Matlab 的计算结果：0.6 0.6 0.5 0.5

Hamming

W (e )0.4 0.3

j

Hanning

W ( e j )

0.4

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-0.1

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-0.1

0

100

200

300

400

500

600

700

800

267**

窗函数的Fourier变换 (III)

W ( e j )Blackman0.42 0.25 0.04

e j 2 n / M e j 2 n / M e j 4 n / M e j 4 n / M W [n] 0.42 0.5 0.08 2 2267***

窗函数的Fourier变换 (IV)Matlab 的计算结果：1 0.45

0.8

W (e )Rect.

j

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2

0.6

Blackman

W ( e j )

0.4

0.2

0.15 0.1 0.05

0

-0.2 0 -0.4 -0.05

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0

100

200

300

400

500

600

700

800

267****

其它窗函数(V)单边序列：

268

其它窗函数(VI)单边序列：

269

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b194.html