第二章一元函数微分学

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念

1．导数：

y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0

?limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0

2．左导数：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

右导数：

定理：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0

（或：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）

3.函数可导的必要条件：

定理：

f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续

4. 函数可导的充要条件：

定理：

y?x?x0?f?(x0)存在

?f??(x0)?f??(x0)，

且存在。

5.导函数：

y??f?(x), x?(a,b)

f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0) f(x) ?y

6.导数的几何性质：

f?(x0)

是曲线

y?f(x)上点 ?x0

M?x0,y0?处切线的斜率。 o x

㈡求导法则

1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1 2o

x （u?v)??u??v?

o

（u?v)??u??v?u?v?

u??v?u?v??u????2 3 v?v?o

?

(v?0)

3.复合函数的导数：

y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]

dy

dx?dydu?dudx，

或

{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)

☆注意

{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：

{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；

f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。

f??(x),f???(x),(n?1)4.高阶导数：

或f(3)(x)

f(n)(x)?[f(x)]?,(n?2,3,4?)

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：

f(x)在x的某个邻域内有定义，

?y?A(x)??x?o(?x)

其中：

A(x)与?x无关，

o(?x)是比?x?0较高

阶的无穷小量，即：?x?0limo(?x)?x

则称

y?f(x)在x处可微，记作：

dy?A(x)?x

dy?A(x)dx

(?x?0)

2.导数与微分的等价关系：

定理：

f(x)

在

x处可微?f(x)在x处可导，

且：

3.微分形式不变性：

f?(x)?A(x)

dy?f?(u)dudy都具有相同的形式。

不论u是自变量，还是中间变量，函数的

微分一、

例题分析

例1.设

limf?(x)存在，且?x?0f(x0?2?x)?f(x0)?x?1，

则

f?(x0)等于

1 A.1, B.0, C.2, D. 2. [ ]

解：?x?0

limf(x0?2?x)?f(x0)?x

?2lim

f(x0?2?x)?f(x0)2?x2?x?0?2f?(x0)?1 ∴

f?(x0)?12 （应选D）

例2．设

f(x)?(x?a)?(x),22其中

?(x)在x?a处连

续；求

f?(a)。

f(x)?f(a)x?a2

解：

f?(a)?lim2x?a

(x?a)?(x)?(a?a)?(a)?lim x?ax?a(x?a)(x?a)?(x)?lim(x?a)?(x)x?a22?lim

x?ax?a?2a?(a)

2

误解：

f?(x)?2x?(x)?(x?a)??(x)

∴

222?f(a)?2a?(a)?(a?a)??(a)?2a?(a)

结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说

不一定存在。 例3．设

??(x)?(x)可导，所以

f(x)在x?1处可导，且f?(1)?2，求：

x?1limf(4?3x)?f(1)x?1x?13

解：设

t?4?3x,(4?t)

当

x?1时，t?1

x?1

limf(4?3x)?f(1)x?1?limf(t)?f(1)13t?1(4?t)?1

??3limf(t)?f(1)??3f?(1)??3?2??6t?1t?1

例4．设

f(x)是可导的奇函数，且f?(?x0)?k?0， 则

f?(x0)等于：

1 A.

k, B.

?k, C.

?1k, D.

k. [ ]

解：f(?x)??f(x)

[f(?x)]??[?f(x)]?

f?(?x)?(?x)???f?(x)

f?(?x)?f?(x)

∴

f?(x0)?f?(?x0)?k (应选A)

（结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。）

f(x)???x2?1x?1例5．设

?2xx?1在x?1处是否可导？ 解法一：

f(1)?2xx?1x?1?2

lim?f(x)?lim?(x?1)?2x?12

x?1lim?f(x)?lim?(2x)?2x?1

∴

f(x)在x?1处连续

f??(1)?lim?x?12f(x)?f(1)x?1?lim?x?1x?1?2x?12

?lim?x?1x?1x?1x?1?lim?(x?1)?2x?1

f??(1)?lim?

f(x)?f(1)x?1?lim?x?12x?2x?1?lim?2?2x?1∴

f?(1)?f??(1)?f??(1)?2 f(x)在x?1处可导。

∴

f(1)?2x解法二：

x?1?2

x?1lim?f(x)?lim?(x?1)?2x?1

2x?1lim?f(x)?lim?(2x)?2x?1

∴

f(x)在x?1处连续

当

x?1时，

?2xx?1f?(x)???2x?1

x?1x?1

∴

f??(1)?lim?f?(x)?lim?2x?2

f??(1)?lim?f?(x)?lim?2?2x?1x?1

∴

f?(1)?f??(1)?f??(1)?2

f(x)在x?1处可导。 ?1?bxf(x)??2x?aex?0x?0

∴

例6．设

求a,b的值，使解： 当

f(x)处处可导。

f(x)的定义域：x?(??,??)

x?0时，

是初等函数，在

f(x)?1?bxx?0(??,0)内有定义，

∴不论a和b为何值， 当

时，

f(x)在(??,0)内连续；

f(x)?ae2x是初等函数，在

(0,??)内有定义，

∴不论a和b为何值，

f(x)在(0,??)内连续；

x?0

f(0)?(1?bx)?1

x?0limf(x)?lim(1?bx)?1??x?0

x?0lim?f(x)?lim?aex?02x?a

只有当

a?1时，f(x)在x?0处连续；

∴当

a?1时，f(x)处处连续；

a?0时，

当

?bx?0可导?bx?0f?(x)????2x2x?2e2aex?0x?0可导a?1??

f??(0)?lim?f?(x)?lim?b?bx?0x?02x??f?(0)?lim?f(x)?lim?2e?2x?0x?0

只有当

b?2时，f(x)在x?0b?2，

处可导；

∴当

a?1,f(x)处处可导。

例7．求下列函数的导数

⑴

y?cosln(1?2x)

y?cosuu?lnvv?1?2x

解：

dydx?dydu?dudv?dvdx

??sinu?

1v?2??21?2xsinln(1?2x)⑵

y?arctan(tan2x)2

解：

y??[arctan(tanx)]?

?

11?(tan2x)22(tan2x)??2tanx1?(tan2x)2(tanx)??

2tanxsecx1?(tanxtan2x

2x)2?sin2xsin4x?cosx4

⑶

y?10解：

y??(10xtan2x)??ln10?10xtan2x(xtan2x)?2

?ln10?10

xtan2x(tan2x?2xsec2x)⑷

x?y?r222 （

r2

为常数）

解法一：

y??r?x2

y??(?r?x)???xr?x22

22(r?x)?2r?x22

22

??22解法二:

(x?y)??(r)?2x?2y?y??0

2

y???

xy??xr?x22

y?cos(xy) ⑸

??[cos(xy)]???sin(xy)?(xy)?y解法一：

??sin(xy)?(y?xy?)

y??∴

解法二:设

?ysin(xy)1?xsin(xy)

F(x,y)?y?cos(xy)

Fy??1?xsin(xy)

Fx??ysin(xy),dy

dx??Fx?Fy???ysinxy()1?xsinxy()

ylnx?xlny ⑹

??(xlny)?(ylnx)解法一：

lnx?y??yx?lny?yxxyxyy?

y??lny?lnx??xylny?yxylnx?x22

解法二:设

F(x,y)?ylnx?xlny

Fx??yx?lny,Fy??lnx?yxxyxy

dydx

??Fx?Fy????lny?lnx?xylny?yxylnx?x22y? ⑺

(x?1)(x?2)x?3

解：（对数法）

lny?ln?12(x?1)(x?2)x?3

[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)]

(lny)??{1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)]}?2

1y ∴

y??12x?11(1?1x?2?1x?3)

y??

12x?1x

(?1x?2?1x?3)(x?1)(x?2)x?3

⑻

y?x解法一：（对数法）

lny?lnx?xlnx1y∴

x

y??lnx?xxx?lnx?1

y??x(lnx?1)

解法二：（指数法）

y?x?exlnxx?exlnx

y??(e

xlnx)??exlnx(xlnx)?

?x(lnx?1)xx

y?2x ⑼

解法一：（对数法）

?(sinx)xcosx

y?2x1设

,y2?(sinx)cosx

y?y1?y2,lny1?ln2x1y??12xx??y2?y??y1x

?ln2?xx?xlnx

12xx?12

ylnx?(lnx?2)

y??∴

2x2x(lnx?2)?x(lnx?2)

lny2?cosxlnsinx1y2

???sinxlnsinx?cosxy2cosxsinx

∴

??(sinx)y2cosx(cosxcotx?sinxlnsinx)

??y2?y??y1?xx?12

(lnx?1)?(sinx)xlnxcosx(cosxcotx?sinxlnsinx解法二：（指数法）

y?2e?2e

?ecosxlnsinx

xlnxcosxlnsinx?(xlnx)?e(cosxlnsinx)??x

x?12(lnx?1)?(sinx)y

cosx(cosxcotx?sinxlnsin ⑽

y?xxxlny?ylnx解法一：

lny?xyy??lnx?y??xylny?yxylnx?xyx

yx

22

y??∴

解法二：设

F(x,y)?x?yy?1Fx??yx

?ylny?xyxx?ylny?(yxyx?lny)xy

Fy??xlnx?xyyx?1?xlnx?yyyxyy??(xxy22?lnx)xydy

dx??Fx?Fy??(?lny)x(?lnx)x，求

yxxy?xylny?yxylnx?x

例8．已知

f(x)?sinxx,x?t2

f?(x)。

解：设

t?2

f(t)?sint ∴

f(x)?sinx2

∴

222??f(x)?cosx(x)?2xcosx

例9．求下列函数的二阶导数

⑴

y?ln(1?x)2

y??解：

2x1?x2

y???

2(1?x)?2x?2x(1?x)222?2?2x222

(1?x)xy?lny?0 ⑵

y?xy??解法一：

1yy??0

y?xyy??y??02

y?? ∴

?y21?xy

y????2yy?(1?xy)?y(y?xy?)(1?xy)?y222

2?

?2y(1?xy)1?xy?y(y?x1?xy)(1?xy)322

2?y?

2y(1?xy)?y[y(1?xy)?xy](1?xy)3y?2xy(1?xy)3

23

34?

y?xy??解法二：

1yy??0

y?xyy??y??02

y?? ∴

?y21?xy

(y?xyy??y?)??0

2???2yy?yy?x(y)?xyy???y???0

2

y????3yy??x(y?)1?xy32??43y?y1?xy2?x???y1?xy221?xy?3y?2xy(1?xy)y(n)

?

3y(1?xy)?xy(1?xy)92x，求：

34

33例10．设

y?x?e8y(10),,n?10。

解：

y??9x?2e2x

722x??y?9?8x?2e

y????9?8?7x?2e……

632x

y

(9)?9?8?7???1x102x

9?9?2e92x?9!?2e92x

y(10)?2ey

(n)?2en2x,n?10

结论：对于

y?xm，若

n?m，则

y(n)?0

例11．设

y?x49?lnx，求

y(50)。

解：

(48)?1?y?49x?x

y???49?48x(47)?(?1)(46)2?1x?2

y????49?48?47xy(50)?(?1)3?11?2x?3

……

?(?1)50?1(50?1)!x?50??49!x?50

例12．求下列函数的微分

⑴

y?esinx2x

解法一：

x?y?esin2x?e?2sinxcosx

x

?e(sinx?sin2x) dy?e(sinxx2x2 ∴

x?sin2x)dx2

解法二：

dy?d(esinxx)

?d(e)?sinx?ed(sinx)

2x2

?esinxdx?e?2sinxd(sinx)

x2x

?e(sinxdx?2sinxcosxdx)

?e(sinx2x2 x?sin2x)dx

x2y?ey ⑵

?1

(x2解法一：

y)??(ey)??0

2y

2xy?xy??ey??0y???2xy

x2?ey

dy??2xyx?edx ∴

2y

2y解法一：

d(xy)?d(e)?0

2y

2xydx?xdy?edydy??2xydx ∴x2?ey

?0

§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理

1.罗尔定理:

f(x)满足条件:

1在[a,b]上连续；?在(a,b)内至少?02.在(a,b)内可导;??存在一点?,0?(?)?0.3.f(a)?f(b).?使得f?

y

0.f?(?) f?(?) f(x) f(x)

a o ξ b x a o ξ b x

2.拉格朗日定理：

f(x)满足条件:

在(a,b)内至少存在一点?，使得：f(b)?f(a)

f?(?)?b?a?1在[a,b]上连续，??02在(a,b)内可导；?0㈡罗必塔法则：（

00,?? 型未定式）

定理：

f(x)和g(x)满足条件：

limf(x)?0(或?）x?a1o

limg(x)?0(或?）；

x?a2o

在点a的某个邻域内可导，且

g?(x)?0；

f?(x)3o

x?lima(?)g?(x)?A,（或?）

? 则：x?limf(x)f?(x)a(?)g(x)?x?lima(?)g?(x)A,（或?）

☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

0? 即不是

0型或

?型时，不可求导。

3o

应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。

4o若

f?(x)和g?(x)还满足法则的条件，

可以继续使用法则，即：

f(x)?f?(x)f??(x)g(x)?x?lima(?)x?lima(?)g?(x)?x?lima(?)g??(x)A

5o若函数是

0??,???型可采用代数变

?（或0 形，化成

?或

0?型；若是

1,0,??或

?00型可

0 采用对数或指数变形，化成

㈢导数的应用

1． 切线方程和法线方程：

0?型。

设：

y?f(x),M(x0,y0)

切线方程：法

y?y0?f?(x0)(x?x0)

线

方

程

：

y?y0??2． 曲线的单调性： ⑴

1f?(x0)(x?x0),(f?(x0)?0)

f?(x)?0x?(a,b)

?f(x)在(a,b)内单调增加；

f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调减少；

⑵

f?(x)?0x?(a,b)

?在(a,b)内严格单调增加；

f?(x)?0x?(a,b)

?在(a,b)内严格单调减少。 3.函数的极值： ⑴极值的定义：

设

f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；

x0的某个邻域内的任意点

若对于

x?x0，都有：

f(x0)?f(x)[或f(x0)?f(x)]则称

f(x0)为

是

f(x)的一个极大值（或极小值）

，

称

x0f(x)的极大值点（或极小值点）

。

理

：

⑵极值存在的必要条件：

定

1.f(x)存2.f?(x0)存称为

⑶极值存在的充分条件： 定理一：

00f(x0)???f(x0)?0?

在x00f(x)的驻点

?f(x0)是极值；?02.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；??x是极值点。00?3.f?(x)过x0时变号。?1.f(x)在x0处连续；

x0f(x)由（+）变（-）x当渐增通过时，；

则

f(x0)为极大值；

x 当

渐增通过

x0时，

f(x0)f(x)由（-）变（+）

；则为极小值。

f(x0)是极值；1.f?(x0)?0；???0x0是极值点。2.f??(x0)存在。?定理二：

若

0f??(x0)?0f??(x0)?0，则

f(x0)f(x0)为极大值；

若，则为极小值。

☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点：

⑴若

f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上

凹的（或凹的），（∪）；

⑵若⑶

f??(x)?0,x??a,b?的（或凸的），（∩）；

；则

f(x)在(a,b)内是下凹

??x0,f(x0)?称??0为f(x)的拐点。2.f??(x)过x0时变号。?1.f??(x0)?0，0

5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线：

若lim或limx???x???

⑵铅直渐近线：

f(x)?A?y?A是f(x)???f(x)?A?的水平渐近线。?

若lim?f(x)???x?C是f(x)?x?C??或lim?f(x)???的铅直渐近线。x?C?二、例题分析

例1． 函数

f(x)?x?x32在[-1，0]上是否满足罗尔定理的条件？若满

足，求出?的值。

解：∵

f(x)?x?xf(x)?x?x23232是初等函数，在[-1，0]上有定义；

∴在[-1，0]上连续。

∵

f?(x)?3x?2xf(x)?x?x332在（-1，0）内有定义；

∴在（-1，0）内可导。

f(?1)?(x?x) 又

2x??1?0

f(0)?(x?x) ∴

32x?0?0f(x)满足罗尔定理的条件。由定理可得：

f?(?)?3??2??02

?21???2?0 解得：

3,

∵?2?0不在（-1，0）内，舍去；

???2 ∴

3

0?x??例2。证明：当

2时，不等式

x?tanx成立。

证法一：（采用中值定理证明）

F(t)?tant,t?[0,x],x?(0,?设：

2)∵

F(t)?tant是初等函数 ，在[0,x]上有定义，

∴F(t)?tant在[0,x]上连续。

F?(t)?sec2t?1∵

cos2t在（0,x）内有定义

∴

F(t)?tant在（0,x）内可导。

∴F(t)?tant满足拉格朗日定理的条件，

由

定

理

可

得

F?(?)?1(x)?F(0)c2??Fxo?0?txxs

：

a

x?cos?tanx, ∵

2??(0,x),2x?(0,?)2

0?cos??1,2tanx?0

∴

x?cos?tanx?tanxx?tanx,0?x??2； 证毕。

∴

证法二：（采用函数的单调性证明）

f(x)?tanx?x,设：

x?(0,?2)

f?(x)?secx?1?tanx?0,

22x?(0,?2)f(x)?,∴

x?(0,?2)

∴

f(x)?f(0)?tan0?0?0

tanx?x?0

x?(0,即：

x?tanx∴

?2)；证毕。

例3．证明：

1?xl证

x?1?x)?n：

21?x,设

2(x?(0)

：

f(x)?1?xlx?1?x)?1?x,n(x?0)

1?x)?222f?(x)?ln(x?

x(x?(x?1?x)?1?x)22?2x21?x2x(1??ln(x?

x1?x22)?1?x)?(x?2x1?x21?x)?ln(x?

1?x)?2x(1?x?x)1?x(x?221?x)2?x1?x2

?ln(x?1?x)?0,2x?0

∴∴

f(x)?,x?0

f(x)?f(0)?[1?xln(x?

1?x)?1?x]x?0?0222∴

1?xln(x?1?x)?1?x2,(x?0)；

证

毕。

arctanx例4．证明：当

x?0ln(1?x)?时，

1?x。

解：设：

f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，x?0

f?(x)?ln1(?x)?1?x2

1?x?11?x

?ln(1?x)?x21?x2?0,(x?0)

∴f(x)?,x?0

∴

f(x)?f(0)?[(1?x)ln(1?x)?arctanx]x?0?0,

ln(1?x)?arctanx ∴

1?x,x?0； 证毕。

例5．求下列极限：

limex?e?x ⑴

x?0tanx

x?0

lim 解：

e?ex?x?0?x?0???0?x?0tanxlnxxa?lime?e2x?xsecx?2

⑵

x???lim,a?0

1x??? 解：

limlnxxa1x?lim?lim?0x?1ax???ax???x???ax?????

⑶

x?0lim?e?1xx1x?

t? 解：令：

x?1t

当

x?0e?1x时，

t???e?t；

x?0lim?x?limt???1t?limttt???e???t???e?lim?1t?0

⑷

x???lime?ee?exxxx?x?x

x??? 解法一：

lime?ee?e?x?x?lim(e?e(e?exx?x?x)e)e?x?x

x????lime?ee?e?limxx1?e1?e?2x?2xx????x?x?1

x???解法二：

lim?lim2x2x(e?e(e?e2exx?x?x)e)exx

x???ee?12x2x

x????1???x???2e?lim??1

lim( ⑸

1xx?0?1e?1x)

lim(x?0 解：

1x?1e?1x)?lime?1?xx(e?1)x

x?????x?0

?0?x?0e?1?xex

?lim0e?1xx?0?x?0ex?ex?xex?lim0ex?lim

12?xx?0?12

⑹x?0lim?xlnx

2x?0 解：

lim?xlnx?lim?(0??)x?02lnx1x2

1???x?0?lim??x?21x3??12x?0lim?x?0

21x???lim(lnx)x

⑺

(?未定式）

0 解法一： （对数法）

1xy?(lnx)设：

1lny?ln(lnx)?

xlnlnxx

x???limlny?lim1lnlnxx

x???

1xlnx?lim?lim?0???x???x???xlnx1?1

∴

x???limy?lim(lnx)x?1x???

解法二：（指数法）

1lnlnxx

x???lim(lnx)x?0lime(?)x???

?elimx???lnlnxx?????e?limx???1xlnx?e?10

1 ⑻x?1limx1?x

(1未定式）1

1?xy?x 解法一：设：

lny?

lnx1?x

limlny?limx?1

lnx1?x

x?111x?lim??lim??10 ?0?x?1?1x?1x1limy?limx ∴

1?xx?1x?1?e?1

1lnx(1)x?11limx解法二：

1?xx?1?lime?1?x?elimlnxx

x?11??0?解法三：设：

?e0limxx?1?1?e?1

t?1?x,x?1?t

x?1时,1t?0

1(1)t?0t?0tlimx1?x?lim(1?t)?lim[(1?t)?x?1

?1t]?1?e?1 ⑼x?0lim?xx

(0未定式）

0

lnx1 解：

x?0lim?xx(0)x?0?lim?e01x1x2xlnx(0??)x?0?lim?ex

?

?lim?ex?0?lim?ex?01?x?1

?x(1?x)lim??x?0?e??例6．

1?x????

11?x(1?x)?y??e??解：设：

?x????

11?x(1?x)?lny?ln?e???x11??[ln(1?x)x?lne]?x??

11ln(1?x)?x?[ln(1?x)?1]?2xxx

x?0lim?lny?lim?x?0ln(1?x)?xx?1?lim?x?02

11?x?lim??0?x?02x01?1?x2x(1?x)

?lim?x?0

?12(1?x)??12

11?x(1?x)?lim?y?lim?x?0x?0?e??∴

?x1??e?2???

例7．解

x???limxen?x,(??0,n为正整数）

：

x???

limxen?x???x????e?lim?nxn?1?x???x???n?n?lim?n?n?1?xn?2?e2?x

???

???lim??n(n?1)?1x???x????en?x?limn!x????en?x?0lim例8．设：

x?ax?bsin(x?1)22x?12?3，求a、b的值。

limsin(x?1)?0解：∵

x?1

limx?ax?bsin(x?1)222x?1?3

lim(x?ax?b)?0 ∴

x?1

1?a?b?0 ……（※）

∵

sin(x?1)~(x?1),limx?ax?bsin(x?1)22222(x?1)2

x?1?limx?ax?bx?1

x?1∴

?0??lim02x?a2xx?1?2?a2?3

∴

a?4 代入（※）式，得:

b??5

∴当

a?4,b??5时，原式成立。

例9．求曲线

y?2x2在点（1，2）处的切线方程

和法线方程。

解：

4?2?y???2???3x?x??

y?x?1?4????3??x?x?1?4

∴切线方程：

y?2??4(x?1)

即：

y?6?4x

1?414 法线方程：

y?2??(x?1)74

即：

y?x?例10．曲线

y1?2x?x?23的切线在何处与直线

y2?5x?4平行？

2解：

??6x?1 y1y??5 2

∵

y1的切线与y2平行

∴

6x?1?5

x1??1,y1x??12 ∴

x2?1

3x??1

?(2x?x?2)3??3

y1x?1?(2x?x?2)(?1,?3),2上任意点

x?1??1

∴所要求的点为：

(1,?1)

例11．求曲线

xy?a2x0(?0)处的切线与坐标轴组成的三角形

的面积。

解：⑴求切线方程：

y?

ax,y0?22a2x0

y???

ax,y?x?x0220220??ax22 0 切线方程为：

y?y0??a2axax(x?x0)a2

y?

x0??x?x0

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