机械工程测试技术基础 第三版 课后习题答桉

信号及其描述习题

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。

??解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?Cejn?n0t;n?0,?1,?2,?3,???

n????式中： C1T?0?jn?t1??0T?jn??0? n?2TT0x(t)e0dt?0t2?jn?0tT?T0(?A)edt?Aedt?0?20??20? T ??01?A0?jn2

T?e?0t???1?Ae?jn?0t?0??jn?0??T0T?0??jn??0

2?0

??jAjA1??jn?jn??A

n??n??2e?e??jn??1?cosn?? ???j2A;n??1,?3,?5 ??,???

?n??0;n??2,?4,?6,???所以： ??? x(t)????j2A?jn?0t;n??1,?3,?5,?7

n????n???e,???幅值频谱：

C?C222AnnR?CnI?;n??1,?3

n?,?5,???相位频谱： ?2A??? C?????;n?1,3,5,???nI ?n?arctgn?C?arctg??????2nR0? ??????2;n??1,?3,?5,???

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

?T1?T02x2? ?x?limT??0x(t)dt?Tx0sin?tdt?0?;式中：T0?00?

xrms?1?T0x2(t)dt?1?T0?x0sin?dt?2dt?x0

T00T0021.3求指数函数 x ( t) ? Ae ? ? t; ( ? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 解：

X(f)????x(t)e?j2?ftdt????Ae??t?e?j2?ftdt?A

??0??j2?f1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.

1

解:1) 符号函数的频谱:

??t令: x1(t)?limex(t);??0

X1(f)?x1(t)e?j2?ftdt

0??t????t?j2?ft??lime(?1)edt?ee?j2?ftdt??? 0??0????

1?

j?f

2)单位阶跃函数的频谱: ??tx(t)?limex(t);2 ??0????t 1?j2?ftX2(f)?x2(t)e?j2?ftdt?lim?dt??0ee?? ??0??j2?f

1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。

?cos?0t;t?T x(t)??t?T ?0;解： ???T?j2?ftX(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt ???T ?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft?e?eedt ?T2

?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T? ?T????(f?f)2T?(f?f)2T00??

?T?sinc??1?sinc??2?

t1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( ? e ? ? sin ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? t)0 ) 的频谱 解： ?j2?ft?????j2?ft??t X(f)?x(t)edt?esin2?f0tedt??0 ??j?e??t?e?j2?f0t?ej2?f0te?j2?ftdt 02

?j?11 ??????2??j2?(f?f)??j2?(f?f)00??

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解： ?????j2?ftX(f)?x(t)edt??f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ???? ??1???????????????????

????f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt???2?11?F(2?f?2?f0)?F(2?f?2?f0)22??2

当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)

等式两边对x求导数： 1 dtx011?? dx?22?0x0?x2(t)0??x(t) 1???x?? ?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT??

2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：H????1j???11?1Y???? 0.35?j?1X????1?0.7??1???7??2 A????1??0.35??2

当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8% 2.3

求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45???，通过传递函数为

H?s??1的装置后所得到的稳态响应。

0.005s?1解： 利用叠加原理及频率保持性解题

x?t??0.5sin10t?90?0.2sin100t?45

?????? A????11?????2?11??0.00?5?2 ，??????arctg?0.005??

?1?10，A??1??1，???1??2.86?

3

y?t1??0.5?1?sin10t?90??2.86? ，

???2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57?

y?t2??0.2?0.89?sin100t?45??26.57??0.178?sin100t?18.43?

?y?t??0.5sin10t?87.14??0.178sin100t?18.43?

2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??在内的输出y?t?的表达式。

解： x?t??cos??t??sin?t?90? H?s??????????1的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s?1??11，A????，???arctg????

2?s?11????? y?t??11?????11?????22sin?t?90??arctg???? cos??t?arctg???

?? =

2.8求频率响应函数

3155072的系统对正弦输入

?1?0.01j??1577536?176j???2??x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 H?????j???j???1??2a??n2?2??n?j????2n?2

?1256?1 ???2

?0.01j??1???2?2?1256??j????1256?2?? ∴ A????11??62.8?0.01?2?12?2

??62.8?2?176????1?????1256???1577536 ?1.69?0.99?1.7 对正弦波，ux?A2?1.7?102?12

4

241?n1.52.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组2222S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： H????H1????H2??? H1????1.53?，S1?3

3.5S?0.57S?1241?n H2????2，S2?41 2S?1.4?nS??n S?S1?S2?3?41?123

2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解： 由振幅误差

E?|A0?AI|A?1?0?1?A????5%

AIAI ∴ A????95% 即 A????11?????12?95% ，

1??2??100t?2?0.95，??5.23?10?4s

?4?，且??5.23?10s时 当??2?f?2??50?100A????11?5.23?10?4?100???2?98.7%

∴ 此时振幅误差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10?100???9.3

?4???2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比

??0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A???和相角差????各为多少？若该装置的阻尼比可改为??0.7，问A???和????又将作何种变化？

解： 作频率为400Hz的正弦力测试时

5

A????1????1???????n????2?????4?2?????n?2

????2 ?12??400?2?2?400????4??0.14????1??800800????????2

?1.31

???2??????n?? ??????arctg 2???1???????n??400?2?0.14???800?? ??arctg 2?400?1???800?? ??10.6 当阻尼比改为??0.7时 A?????12??400?2?2?400????4??0.7????1??800800????????2?0.97

?400?2?0.7???800??? ??????arctg ??432?400?1???800?? 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位

差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量

??????1?1??2

M?e?????1.5

6

即 ??1?2?0.13

????ln1.5???1 且 Td?2???6.28

d ∴ ??22?d?n1???6.28?1 ?1n?1??2?1.01

1??0.13?2?1 系统的传递函数 H?s??Y?s?kX?s??S22?S

?2?n??1n ?3S2

?1.01?2?2?0.13?S1.01?1该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H?j???Y???X????K?2 ??j???2??j????n?????1n ?K???1?????2j??

??2n???n ∴ H?j?K3n???? ??1?????2??0.26j?????n?????2j???n ?d为有阻尼固有频率 M=0.5，?2?d?T?1 ???????? M?e?1??2?????1?2?0.215????lnM???17

? ?????2dn1 ，∴ ?n?d1??2?1.02

S=3

∴H?s???2nS2?2??2?S nS??n ?1.04S2?0.44?S?1.04?3

A??1n??34?2??6.98 （???n时代入得）

A????12?,??????90? ????n???arctg???2

y?t??6.98sin??1.02t????2?? 4.1解 ：?=2?m时，

单臂，U?Ry?4RU0 0

USg?R??y?4RU0

2?120?2?10?66

Uy?4?120*3?3?10?(V)双臂，URy??2RU0 0

USg?R??y?2RU0

U2?120?2?10?6?6y?2?120*3?6?10(V)

：?=2000?m时，

8

单臂，Uy??RU0 4R0Sg?R??4RU0

Uy?

2?120?2000?10?6Uy?*3?3?10?3(V) 4?120双臂，Uy??RU0 2R0Sg?R??2RU0

Uy?2?120?2000?10?6Uy?*3?6?10?3(V) 2?120双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解：Uy??RU0 R0Sg?R??RU0

Uy?Uy?Sg?(Acos10t?Bcos100t)?Esin10000t

?Sg?AEcos10tsin10000t?Sg?BEcos100tsin10000t11SgAE(sin10010t?sin9990t)?SgBE(sin10100t?sin9900t)221100101001099909990Uy(f)?jSgAE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]42?2?2?2?1101001010099009900?jSgBE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]42?2?2?2??

4.5解：xa?(100?30cos?t?20cos3?t)(cos?ct)

?100cos2000?t?30cos1000?tcos2000?t?20cos3000?tcos2000?t

?100cos2000?t?15(cos3000?t?cos1000?t)?10(cos5000?t?cos1000?t)9

Xa(f)?50[?(f?10000)??(f?10000)]?7.5[?(f?10500)??(f?10500)]?7.5[?(f?9500)??(f?9500)]?5[?(f?11500)??(f?11500)]?5[?(f?8500)??(f?8500)]4.10 解：H(s)?1?s?1?1RCs?1?110?3s?1

H(?)?110?3j??1

A(?)?11?(??)2?11?(10?3?)

?(?)??arctan(??)??arctan(10?3?)

Uy?10A(1000)sin(1000t??(1000))?10?0.707sin(1000t?450)?7.07sin(1000t?450)

4.11 解：A(?)?11?(??)2

?(?)??arctan(??) ?1

??10时，A(10)1?(0.05?10)?0.816

?(10)??arctan(0.05?10)?26.56?

1

??100时，A(100)?1?(0.05?100)?0.408

?(100)??arctan(0.05?100)?78.69?

y(t)?0.5?0.816cos(10t?26.56?)?0.2?0.408cos(100t?45??78.69?)?0.408cos(10t?26.56?)?0.0816cos(100t?33.69?)

5.1 h(t)???e??t;(t?0,??0) ?0;(t?0) ?? Rx(?)??h(t)?h(t??)dt??????0e??te??(t??)dt

??????????0ee?2?tdt?e2?

10

??5.2 x(t)?A1sin(?1t??1?2)?A2sin(?2t??2?2)

由同频相关，不同频不相关得：

R?A212cos?A22x(?)1??2cos?2?

5.3：由图可写出方波的基波为x1(t)?4?sin(?t??2)

Rxy(?)?2?cos(????2)

5.4: Sxy(f)?H(f)Sx(f)

H(f)?Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f)?F[Rxy(?)]

Sj?Tx(f)?F[Rx(?)]?F[Rxy(??T)]?F[Rxy(?)]e H(f)?e?j?T

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

?2x?Rx(0)?Acos0?A x?2rms?x?A

5.7:由对称性性质:

F{sinc2(t)}?1 f??2?f??2

??2(t)dt?df??

??sinc2????2

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