高数上教案1

教 案

日期： 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §１０.１对弧长的曲线积分 §１０.２对坐标的曲线积分 １理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 ２掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则 ?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds? ?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 f(x,y)ds? 2 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds? ?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特别地? 有 |二、对弧长的曲线积分的计算法 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分?Lf(x,y)ds存在? 且 ?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

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