2022届全国各地高考数学试题汇编 空间几何体的结构、三视图和直

图2

俯视图

侧视图

正视图

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空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积题组二

一、

选择题

1．(吉林省实验中学2020届高三文）如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的

表面积为 （ ） A ．π)3412(+ B ．20π C ．π)3420(+ D ．28π

答案 B.

2. (浙江省温州十校联合体2020届高三文）如图2为一个几何体的

三视图，正视图和侧视图均为矩形，

俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为 ( ) A ．6+3． 24+23．143 D ．32+3答案 B.

3．(浙江省温州十校联合体2020届高三文）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），那么可得这个几何体的体积是（ ）

（A ）31cm3 （B ）32

cm3

（C ）34

cm3

（D ）38

cm3

2

2 2 2 1

1 正视图

左视图

俯视图 （第3题图）

C 1B 1A 1C B A

答案 C

4．(浙江省桐乡一中2020届高三学理)已知M 是△ABC 内的一点，且32=?AC AB ，?=∠30BAC ，

若MBC ?，MCA ?和△MAB 的面积分别为y x ,,21，则

y x 41+的最小值是

（A ）9 （B ）18 （C ）16 （D ）20 答案 B. 5. (山西省四校2020届高三文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为

12

．则该几何体的俯视图可以是（ ）

答案 C.

6．(福建省福州八中2020届高三文) 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则这个几何体的表面积是

A ．30

B ．40

C ．60

D ．80 答案 C. 7．（广东省河源市龙川一中2020届高三理）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AA A B C ⊥面，

正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（ ）

A ．3

B ． 32

C ． 1

D 3 C D

答案 A.

8．（广东省河源市龙川一中2020届高三文）

如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）

答案 B.

二、填空题

9．（浙江省桐乡一中2020届高三理）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为23

，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为

答案 4.

三、解答题（本大题共6 个小题，共75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

10．（2020湖南嘉禾一中）（本小题满分13 分）

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN

和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD ；

（2）求证：AQ ⊥平面PBD ；

（3）求二面角P —DB —M 的大小．

答案 10．解：M 、N 、Q 、B 的位置如右图示。（正确标出给1分）

（1）∵ND//MB 且ND=MB

∴四边形NDBM 为平行四边形

∴MN//DB ………………3分

∴BD ?平面PBD ，MN PBD 平面?

∴MN//平面PBD ……………………4分

（2）∵QC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

∴BD ⊥QC ……………………5分

又∵BD ⊥AC ，

∴BD ⊥平面AQC …………………………6分

∵AQ ?面AQC

∴AQ ⊥BD ，同理可得AQ ⊥PB ，

∵BD PD=B

∴AQ ⊥面PDB ……………………………8分

（3）解法1：分别取DB 、MN 中点E 、F 连结

PE 、EF 、PF ………………9分

∵在正方体中，PB=PB

∴PE ⊥DB ……………………10分

∵四边形NDBM 为矩形

∴EF ⊥DB

∴∠PEF 为二面角P —DB —M 为平面角…………

11分

∵EF ⊥平面PMN

∴EF ⊥PF

设正方体的棱长为a ，则在直角三角形EFP 中 ∵a PF a EF 2

2,== ∴2

2tan ==∠EF PF PEF

22arctan =∠PEF …………………………13分

解法2：设正方体的棱长为a ，

以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

则点A （a,0，0），P （a,0,a ），Q （0,a,a ）…………9分 ∴),,(),0,,(a a a a a -=-=………………10分

∵PQ ⊥面DBM ，由（2）知AQ ⊥面PDB ∴,分别为平面PDB 、平面DBM 的法向量……………………12分 ∴,cos PQ AQ >=< 363222

=?=a a a

∴2

2arctan ,,22,tan >=<>=

（1）证明 ∥PA 平面EDB ；

（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.

答案 11．（本小题满分12分）

（I ）证明：连结AC ，AC 交BD 于O .连结EO .

底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点

在PAC ?中，EO 是中位线，PA EO ∴∥. ………………3分

而EO ?平面EDB 且PA ?平面EDB ，

所以PA ∥平面EDB . ………………5分

（II ）解：

作EF DC ⊥交DC 于F .连结BF .设正方形

ABCD 的边长为a .

PD ⊥底面ABCD ，.PD DC ∴⊥

,EF PD F ∴∥为DC 的中点. EF ∴⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD

内的射影，

故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角.

………………8分

在Rt BCF ?中， 22225().22a BF BC CF a a =+=+= 1,22a EF PD ==∴在Rt EFB ?中， 52tan 5a EF EBF BF a === 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为

55

…………………………12分

12．（江苏泰兴市重点中学2020届理）已知E ，F 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，E

C

A B D P

F O

E C B D P

求：

（1）A 1D 与EF 所成角的大小；

（2）A 1F 与平面B 1EB 所成角；

（3）二面角C-D 1B 1-B 的大小．

（1）因为111(1,0,1),(,,0),22A D EF =--=--所以 221221(1)0(1)2

112()()0222

110022

A D EF A D EF =-++-==-+-+==++= 可知向量1A D 与EF 的夹角为60?

因此1A D 与EF 所成角的大小为60?

（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AB ⊥平面11B C CB ,所以AB 是平面1B EB 的法向量 因为 (1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)AB =-=

111(0,,0)(1,0,1)(1,,1)22A F =-=-- 所以131,,2AB A F == 112A F AB =，由11cos ,3

A F A

B <>=，所以可得向量之间的夹角约为19.47?

（3）因为1AC ⊥平面11B D C ，所以1AC 是平面11B D C 的法向量，因为 111(1,1,1),(1,1,0),3,2,2AC AC AC AC AC AC =-=-===

所以16cos ,AC AC <>=，所以可得两向量的夹角为35.26? 根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26?

13．（浙江省桐乡一中2020届高三文）（ 14分）已知空间向量a ＝（sin α，－1，cos α），b ＝（1，

2cos α,1），a ·b ＝51，α∈（0，2π

）.

（1）求α2sin 及αsin ，αcos 的值；

（2）设函数)(2cos )2cos(5)(R x x x x f ∈+-=α，求)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程；

（3）求函数)(x f 在区间

]245,2411[ππ-- 上的值域。

答案 13．解：（1）∵51=

?b a ∴51cos sin =

-αα①……………………2分 ∴

251

cos sin 21=-αα ∴25242sin =

α②……………………4分 联立①，②解得：

53cos ,54sin ==αα……………………6分 （2）x x x f 2cos )2cos(5)(+-=α

x x x 2cos sin 2sin 5cos 2cos 5++=αα

x x x 2cos 2sin 42cos 3++=

)2cos 2(sin 4x x +=

)

42sin(24π

+=x ……………………10分 ∴.)(π=T x f 的最小正周期……………………11分 令:,242得π

ππ+=+k x )(,82Z k k x ∈+=

ππ……………………12分 图象的对称轴方程为：

)(,82Z k k x ∈+=ππ （3）当x ∈]245,2411[ππ--,2x+]6,32[4πππ--∈,∴]21,1[)42sin(--∈+πx

∴f(x)的值域为[]22,24--

14．（福建省四地六校联考2020届高三文）（本小题满分12分）

某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字型地域，计划在正

方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4 200元/m 2，在四

个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210

元/m 2，再在四个空角（如△DQH 等）上铺草坪，造价为80元

/m 2.

（1）设总造价为S 元，AD 长为x m ，试建立S 与x 的函数

关

系；

（2）当x 为何值时，S 最小？并求这个最小值.

答案

15．(本小题满分12分)

(1)依题意得:)2100()100(4000380002

2<<++=x x x S ……6分 (2) ∵x 2+100x 2 ≥20,当且仅当x 2=100x

2 即x=10 时取等号,∵10 ∈(0,10 2 ), ∴ m x 10=, 元118000min =S (12)

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