期末试卷09-10参考答案

（ 2009 ～ 2010 第 一 学 期 ）

一、填空题（每空3分，共30分） 1.

18(A?E)； 2. 2n?1； 3. 2； 4. ； 5. 0；

3226. ()2?1； 7. 2； 8. 充要； 9. -5； 10. 1/3

?二、选择题（每题2分，共10分）：

1. C； 2. C, D任意选一个均可； 3. D; 4.A; 5. A 三、计算题（共50分）：

?300???1. 设矩阵A??141?，已知AB?A?2B，求B.

?203???解：因为AB?A?2B，所以(A?2E)B?A，故B?(A?2E)?1A．

?100???因A?2E??121?，由

?201????100100??100100??100100???????121010?021?110?02011?1?????? ?201001??001?201??001?201????????100100?????0101/21/2?1/2? ?001?201???00??1???1可知(A?2E)??1/21/2?1/2?．

??201???00??300??300??1???????1进而B?(A?2E)A??1/21/2?1/2??141???12?1?.

??2???01?????203???403?2. 计算下列行列式：

x?xa??axDn?.

x???ax?x 1

解：

x?xax?x1??ax??a1Dn??(a?x(n?1))

x???x???ax?xax?10?0??a?x?(a?x(n?1))0??a?x0??(?1)n(n?1)211 ?1[a?x(n?1)](a?x)n?1.

T3. 设3维列向量?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，??(0,3,?)，问?取何值时，

（1）?可由?1,?2,?3线性表示且表达式唯一 （2）?可由?1,?2,?3线性表示且表达式不唯一 （3）?不能由?1,?2,?3线性表示.

?(1??)x1?x2?x3?0?答：??x1?1?x2?2?x3?3 即?x1?(1??)x2?x3?3, 对增广矩阵B?(A,b)施行初等

?x?x?(1??)x??3?12行变换变为行阶梯形矩阵，有

11?1???1??1 B??1?111???0??11?r?3???0??????00????3??? ??(3??)(1??)(3??)??1???（1）当??0且???3时，R(A)?R(B)?3，方程组有唯一解，即?可由?1,?2,?3线性表示且表达式唯一

（2）当???3时，R(A)?R(B)?2，方程组有无限多个解，即?可由?1,?2,?3线性表示且表达式不唯一

（3）当??0时,R(A)?1,R(B)?2,方程组无解,即?不能由?1,?2,?3线性表示 4. 求下列向量组的秩和一个极大无关组，其中，

?1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1,2?,?3??3,0,7,14?,?4??1,?1,2,0?,?5??2,1,5,6?

TTTTT 2

?1 0 3 1 2???0 1 1 0 3?......, 解：(?1 ?2 ?3 ?4 ?5)???0 0 0 1 1???0 0 0 0 0??极大线性无关组为?1,?2,?4, … 向量组的秩为3. …

?2?20????15. 设矩阵A???21?2?，求正交变换T，使TAT为对角阵.

?0?20?????2解：?E?A?2020??12?(??4)(??1)(??2)?0, 2? 对?1?4，由?4E?A?x?0，得

?2x1?2x2?0?2???? ?2x1?3x2?2x3?0，解之得基础解系?1???2?

?2x?4x?0?1?23??? …………

对?2?1，由?E?A?x?0，得

??x1?2x2?0?2???? ?2x1?2x3?0，解之得基础解系 ?2??1?

?2x?x?0??2??23?? 对?2??2，由??2E?A?x?0，得

??4x1?2x2?0?1???? ?2x1?3x2?2x3?0，解之得基础解系?3??2?

?2x?2x?0?2?23?????23??23??13???????? 令?i?i，i?1,2,3，得 ?1??23?，?2??13?，?3??23?,

?i?23???13???23?????????221??400?1????12?，则T?1AT??010? 作T???1,?2,?3???23???00?2???1?22???

3

四、证明题（每题5分，共10分）：

1. 设b1?a1，b2?a1?a2，…，br?a1?a2???ar，且向量组a1,a2,?,ar线性无关，证明：向量组b1,b2,?,br线性无关.

证明：设有k1,k2,?kr，使得k1b1?k2b2??krbr?0

∴k1a1?k2(a1?a2)??kr(a1?a2???ar)?0 ∴(k1?k2??kr)a1?(k2??kr)a2???krar?0，

∵a1,a2,?ar线性无关

?k1?k2??kr?0?k??k?0?2r∴ ?

???kr?0? ∴k1?k2???kr?0

∴b1,b2,?br线性无关.

2. 设A, B为两个n阶方阵，试证明R(AB)?R(B)?方程组ABX?0与BX?0有完全相同的解.（其中X?(x1,x2,?,xn)T）

证明：记ABX?0的解空间为XAB??XABX?0?，BX?0的解空间为XB??XBX?0?，

?) ?ABX?0与BX?0有完全相同的解, 故

R(AB)?R(XAB)?n??R(B)?R(XB)?n??R(AB)?R(B) R(XAB)?R(XB)??R(AB)?RX(AB?)n???) R(B)?RX(B?)n??RX(AB?)RXB( )

?R(AB)?RB()?即ABX?0与BX?0中基础解系含有相同个数的解向量，设有r个，设?1,?2,??r是

BX?0的解，故也是ABX?0的解，即?1,?2,??r也是的ABX?0基础解系，

?ABX?0与BX?0有完全相同的解.

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