复变函数积分方法总结 - 图文

复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…

nn)上任取一点?k并作和式Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)= k?1f(???)?zk记

?zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=1max{?Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0≤k≤n时，不论对c的分发即?k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

n

f(z)dz=limδ 0k?1f(?)?zk

??c

设C负方向(即B到A的积分记作) f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)c?的积分记作 f(z)dz (C圆周正方向为逆时针方向) c

例题：计算积分1) dz 2) 2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。 cc（1） 解：当C为闭合曲线时， dz=0. c

2

∵f(z)=1 Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即1) dz=b-a. c

(2)当C为闭曲线时， dz=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分 zdz存cc在，设?k=zk-1,则

∑1= nk?1Z（k?1）(zk-zk-1) 有可设?k=zk，则

∑2= nk?1Z（k?1）(zk-zk-1)

因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

22 22 Sn= (∑1+∑2)= nz(z?z)=b-akk?1k?1k

22

∴ 2zdz=b-ac

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 f(z)dz得： c f(z)dz= udx - vdy + i vdx + udy ccc再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β)

β

dt f(z)dz=f(z(t))z(t) cα

参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π) 例题1： 0

3+i2

zdz 积分路线是原点到3+i的直线段

解：参数方程 z=（3+i）t 0

3+i2

2

zdz= [(3+i)t][(3+i)t]′dt 0

1

1

2

=(3+i)3 tdt 0

=6+i

3

26

例题2： 沿曲线y=x2计算 0

1+i

（x2+iy）dz

3

x=t解： 参数方程 y=t2 或z=t+it2 (0≤t≤1)

1+i2

x 0

22

+iy dz= （t+it）(1+2it)dt 0

1

1

1

2 3 =(1+i)[ tdtdt + 2itdt] 00

=-+i

66

15

1.3定义衍生2 重要积分结果： z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：

c c

i2πireiθ

=dθ=

(z?z0)n+10ei（n+1）θrn+1rndz(z?z0)

n+1=

dz

0

1+i?inθ

e

dθ

2πi n=0

0 n≠0

dzdz

例题1： 例题2： z =1z?2 z =1z?12 解： =0 解 =2πi

2.柯西积分定理法：

2.1

柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则

对B内的任意一条封闭曲线有：

f(z)dz=0 c

2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅

由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与

C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1

4

所围成的多连通区域G全含于D则有：

f(z)dz= f(z)dz+ f(z)dz=0 Γcc

1

即 f(z)dz= f(z)dz cc

1

推论：

c

f(z)dz= nf(z)dz k=1 c

k

例题：

c

2z?1z2?z

dz C为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。

c

2z?1z2?z

dz= c1

2z?1z(1?z)1z?11z

z

dz+ c2

2z?1z(1?z)

1z?1

1z

dz

1z

= c1 = c1

1z?1

+dz+ c2

1z?1

1

+dz dz

dz+ c1dz+ c2dz+ c2

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即

f(?)d? = f(?)d? 这里的z1和z0积分的上下限。当cz

0

z1

下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分 f(?)d?在B内确定z

0

z1

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b0jh.html