广东省清远市高二数学下学期期末考试试题 理

2013-2014学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ ） A． 1 B． ﹣1 C． i D． ﹣i 322．函数f（x）=x﹣x+x+1在点（1，2）处的切线的斜率是（ ） A． B． 1 C． 2 D． 3 3．运行如图的程序框图，则输出s的结果是（ ）

A． 2B． C． D． 4．由函数y=x的图象与直线x=1、x=2和x轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A． 3 B． C． 2 D． 5．用数学归纳法证明1+3+5+…+（2n﹣1）=n（4n﹣1）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（ ） 2222 A． （2k） B． （2k+3） C． （2k+2） D． （2k+1） 20152201420156．设（1﹣x）=a0+a1x+a2x+…+a2014x+a2015x，则a2014=（ ） A． ﹣2014 B． 2014 C． ﹣2015 D． 2015 2

7．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），且P（ξ＜4）=0.9，则P（0＜ξ＜2）=（ ） A． 0.2 B． 0.3 C． 0.4 D． 0.6 8．已知an=（），把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，11）=（ ）

n

2

2

2

2

2

A． 92（） B． 93（） C． 94（） D． 112（） 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．若复数z满足iz=1（其中i为虚数单位），则|z|= _________ ． 10．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表： 喜欢数学课 不喜欢数学课 合计 男 30 60 90 女 20 90 110 合计 50 150 200 2经计算K≈6.06，根据独立性检验的基本思想，约有 _________ （填百分数）的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”． 11．（2014?濮阳县一模）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 _________ ．

12．若logmn=﹣1，则m+2n的最小值为 _________ ． 13．现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为 _________ （用数字作答）．

14．世卫组织规定，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．清远市环保局从市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这15天的数据中任取3天的数据，则恰有一天空气质量达到一级的概率为 _________ （用分数作答）．

三、解答题（共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，

cosx），函数f（x）=?﹣

．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

222

（2）如果△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且满足b+c=a+的值．

bc，求f（A）

16．（13分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．

（1）请根据频率分布直方图，估算样本数据的众数和中位数（中位数精确到0.01）； （2）若将频率视为概率，从该生产线所生产的产品（数量很多）中随机抽取3个，用ξ表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求ξ的分布列和期望．

17．（13分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点． （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切； （Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．

18．（14分）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等

*

比数列（n∈N）

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；

（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．

19．（14分）设F1，F2分别是椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点．

（1）设点A（1，）是椭圆C上的点，且F1（﹣1，0），F2（1，0），试写出椭圆C的方程； （2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN，试探究KPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

20．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．

（1）用a表示出b，c；

（2）证明：当a≥时，f（x）≥1nx在[1，+∞）上恒成立； （3）证明：1+++…+＞1n（n+1）+

．（n∈N）

*

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