《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》

直线与圆的位置关系(1)

课型：高三数学一轮复习课 课题：直线与圆的位置关系 课时：第一课时 教材：苏教版

对教材内容的理解分析：

１、本节内容在全书及章节的地位：

直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课． ２、本节课的复习内容：

本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一． ３、教材的地位与作用：

本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学反思：

1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体．

2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化． 教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖． 关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法．

参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等． [教学目标]

知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中

的地位，并能应用几何法解决问题．

能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计

算、总结归纳等能力．

情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性． [重点难点]

重点: 几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．

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难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力． [教学方法] 启发式、自主探究相结合． [教具资料]三角板、圆规、多媒体课件

导入语:大家知道数学来源于生活,又服务于生活.下面有一道生活问题,你能用学过哪方面的知识求解? 问题情境:

在一个特定的时间内,以O为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O点的南偏西?(其中sin??513)的方向上,且距O点13米的A地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗? （8分钟）

一分钟后,提问学生:A,你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域?

yyyB问题数学化： 直

线

OθxθOBxθOxBA22AAx?y?7?0与圆C: x?y?25的位置关系为________．

直线x?y?7?0上是否存在点P在圆C: x2?y2?25内? （即OP〈5有解？也就是OPmin〈5?其本质就是OPmin=d） 两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题

两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法） 引出课题:直线与圆的位置关系(1)

提问学生B：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法 你能选择恰当的方法解决下面问题吗？ 问题一:（8分钟）

已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)， 求l 与圆C有公共点时斜率k的范围 提问学生C：如何求斜率k的范围？

答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d用k表示、利用d与r关系列出关于k的不等式、求斜率k的范围

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注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. (提问学生D)师:(学生思考时)画图(学生回答时)板演 法一：平几性质加三角公式求解．（广义几何法）

法二：利用d与r关系列出关于k的不等式．（狭义几何法） 法三：投影，比较各方法的优劣．（代数法） 解题回顾:

处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生E) 一、解题步骤：

（1）设直线方程并化为一般式 （2）求圆心到直线距离 （3）比较弦心距与半径的大小 二、解题体会：

1、 几何法比代数法运算量少，简便．

代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性． 2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法 （8分钟）

变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)+(y+1)=1的切线l,则切线l的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得．y?2?0和3x?4y?2?0 (提问学生F)

变式2：已知x,y满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式

y?2x?22

2

的取值范围___________0?k?34

分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解． (提问学生G)

解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型 （1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境）

（2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一） （3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二） 方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d与r关系求解

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直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解 问题二: （5分钟）

求证:直线l:(2?m)x?(1?m)y?1?2m?0与圆C: (x?1)2?(y?2)2?4有两个不同的公共点． (提问学生H)

分析：法一 l:(x?y?2)m?(2x?y?1)?0过定点P(1,-1),且定点P在圆内

法二 C(1,-2), r=2 , d?|m?1|(2?m)?(1?m)22与2比较大小

解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用

利用d与r关系来判定了.

方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生I) （5分钟）

变式1：已知A?{(x,y)|x2?y2?2y?0},B?{(x,y)|y?kx?k?1}, 则A?B中的元素个数是________1

学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生J)

变式2：已知A?{(x,y)|x2?y2?2y?0},B?{(x,y)|则A?B中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗? 课堂练习：（8分钟）

1.过点P(4,4)作圆x?y?4x?0的切线,求圆的切线方程. 板演(学生K) 3x－4y＋4＝0或x＝4

对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情 变式:圆x?y?4x?0在点P(1,3)处的切线方程是______________ (提问学生L) x?3y?2?0

2222y?1x?1?k},

解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程．若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.

2.(教材P106 e2)如果直线ax＋by＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号)

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(1)P在圆外 (2)P在圆上 (3)P在圆内 (4)不确定 (提问学生M)师同时板演过程

改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生N) 下面这个问题结论是什么?

若点P(a,b) 在圆 x+y=1外，则直线ax＋by＝1 与 x+y=1的位置关系是_______(相交) 本节课回顾总结: （3分钟）

（1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生O、P) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生姜杰)

答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法

几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用

（3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生Q)

（4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？ （5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？ 思考:已知圆M:(x?cos?)2?(y?sin?)2?1,直线l:y?kx,下面四个命题 (1)对任意实数k与?,直线l和圆M相切 (2)对任意实数k与?,直线l和圆M有公共点

(3)对任意实数?,必存在实数k,使得直线l和圆M相切 (4) 对任意实数k,必存在实数?,使得直线l和圆M相切 所有真命题的序号是_____________

板书设计 课题

问题二 法一（观察）广义几何法 法二狭义几何法 （繁） 变式（1）（2）（观察） 广义几何法 适用含参直线 问题一 图形 广义几何法 狭义几何法 代数法（方程、函数） 转化化归思想 变式（1）（2）图 代数法 问题情境 分析过程 A点坐标、圆方程（圆心、半径）、直线方程（一般式） 几何法 2

2

2

2

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注：从右向左书写

教师板演本课总结 1．判定方法（两类） 2．注意事项（斜率、定点） 3．方法选择 4．题型归类 学生板演 练习一 注：先中间再右边最后左边

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