新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.1.2

借鉴借鉴家酷酷酷卡2.1.2 演绎推理

课时过关·能力提升

基础巩固

1下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质

D.在数列{a}中,a

n1=1,an -

≥2),由此归纳出数列{a

n}的通项公式 -解析B,D是归纳推理,C是类比推理,A是演绎推理. 答案A 2演绎推理中的“一般性命题”包括( )

①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验. A.①② B.①③

C.②③

D.①②③

答案A 3指数函数y=ax(a>1)是R上的增函数,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|是R上的增函数,以上推理(A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误

D.正确

解析此推理形式正确,但是函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误.故选B. 答案B 4在空间中,设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:

二位分为Greg )

借鉴借鉴家酷酷酷卡①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,l?α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,α∩γ=n,l∥γ,则m∥n.

其中真命题的个数是( ) A.1 答案B B.2

C.3

D.4

5在推理“因为y=sin x在区

中 大前提是 小前提是 结论是

间 上是增函数 所以

解析大前提是“y=sin x在区间 上是增函数 ,

小前提是

且 , .

且

结论为“si

答案y=sin x在区间 上是增函数 6求函数y - 的定义域时 第一步推理中大前提是 有意义 即 ≥0,小前提

是 - 有意义 结论是

解析由三段论的形式可知,结论是log2x-2≥0. 答案log2x-2≥0

7推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD是矩形,结论:四边形ABCD的对角线相等.”应补充的大前提是 .

解析由“三段论”的一般模式,可知应补充的大前提是矩形的对角线相等. 答案矩形的对角线相等

8已知sin α

- -

其中 为第二象限角 则 的值为

- - -

解析由sinα+cosα 得m(m-8)=0,故m=0或m=8.

2

2

∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.

二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡∴m=8(m=0舍去). 答案8 9试将下列演绎推理写成三段论的形式:

(1)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; (2)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向. 解(1)大前提:所有导体通电时发热;

小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.

(2)大前提:向量是既有大小又有方向的量; 小前提:零向量是向量; 结论:零向量也有大小和方向.

10在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.

(1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn;

(3)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. (1)证明因为an+1=4an-3n+1,

所以an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.

∵a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列. (2)解由(1)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.

-

所以数列{an}的前n项和Sn

(3)证明对任意的n∈N*,

Sn+1-4Sn

二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡

=

≤0.

所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.

能力提升

1“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )

A.小前提错误 B.结论错误 C.正确

D.大前提错误

解析因为9是3的3倍,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.故选C. 答案C 2已知a>0,且函数f(x)

是R上的偶函数,则a的值等于( )

A.2

B

解析因为f(x)是偶函数,

所以f(-x)=f(x)对x∈R恒成立,

-

-

即

所以 ·2x 整理,得 -

必有a 又因为a>0,所以a=1.故选D. 答案D ★3已知f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若aD.bf(b)

解析构造函数F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x).

二位分为Greg )

借鉴借鉴家酷酷酷卡由题设条件知F(x)=xf(x)在(0,+∞)内单调递减. 若aF(b),即af(a)>bf(b). 又f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数, 所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B. 答案B 4补充下列三段论:

(1)因为互为相反数的两个数的和为0,a与b互为相反数,且 ,所以b=8. (2)因为 ,e=2.718 28…是无限不循环小数,所以e是无理数. 答案(1)a=-8 (2)无限不循环小数是无理数

★5设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不相等的常数),则

的值是解析∵f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),

∴f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),

答案0 6用三段论的形式写出下列演绎推理:

(1)正整数是自然数,3是正整数,所以3是自然数;

(2)菱形的对角线互相垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线互相垂直; (3)0.3

是有理数

分析解决本题的关键是要弄清大前提、小前提、结论三者之间的关系.

二位分为Greg

借鉴借鉴家酷酷酷卡解(1)大前提:正整数是自然数.

小前提:3是正整数. 结论:3是自然数.

(2)大前提:每一个菱形的对角线都互相垂直. 小前提:正方形是菱形.

结论:正方形的对角线互相垂直. (3)大前提:所有的循环小数都是有理数. 小前提:0.3 是循环小数. 结论:0.3 是有理数.

★

7设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.

(1)若a>0,求函数y=f(x)的单调区间;

(2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点,且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域; (3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围.

分析第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来求解.

解(1)∵f'(x)=3x2+2ax-a2= -

又a>0,∴当x<-a或x 时,f'(x)>0; 当-a

∴f(x)在(-∞,-a)和 内是增函数,在 - 内是减函数. (2)由题意,知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1, 即x[x2-(a2-2)]=0只有一个根(含重根). ∴a2-2≤0,即 ≤a≤ 又a≠0,∴a∈[ ∪(0

又当a>0时,g(x)才存在最小值,∴a∈(0

二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡∵g(x)= -

∴h(a)=1 ∈(0

∴h(a)的值域为 - -

解得a≥1; (3)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和 内是增函数,g(x)在 内是增函数.由题意,得 当a<0时,f(x)在 - 和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在 - 内是增函数.

由题意,得

解得a≤-3.

综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).

二位分为Greg

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