2017届全国高考大联考信息卷(2)理科数学试题（附答案）$787290

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）

理科数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A?{?1,0,1,2}，集合B={y|y?2x?3,x?A}，则AA．{?1,0,1} B．{?1,1} D．{0,1,2}

2．已知复数z1?3?4i,z2?t?i,且z1?z2是实数,则实数t=

A．

C．{?1,1,2}

B?

3443 B． C．? D．? 4334开始 3．若a?(cos20,sin20)，b?(cos10,sin190), 则a?b?

132A． B． C．cos10 D．

2224．已知命题p:存在a,b,使得a?b?|a|?|b|，命题q:对任意的a、b、 输入n, x v=2 c，若a?b?a?c，则b?c．则下列判断正确的是

A．命题p?q是假命题 B．命题p?q是真命题

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的 一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为

A．66 B．33 C．16 D．8 6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边 长为1，那么该四面体最长棱的棱长为

A．25 B．42 C．6 D．43

C．命题p?(?q)是假命题 D．命题p?(?q)是真命题

i=n-1 i=i-1 i≥0? 否 输出v 是 v?vx?i结束 图1

7．在(x?1)4?(x?1)2的展开式中，x项的系数为

A．－4

B．－2 C．2

D．4

a3?a518．已知等比数列?an?的各项都为正数, 且a3,a5,a4成等差数列, 则的值是

a4?a62A．5?1 B5?1 C3?5 D3?5

．．．22229．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为

A． 8 B．24 C．12 D．16 10．若将函数f?x??cos?2x??????的图象向左平移?（??0）个单位，所得图象关于原6?点对称，则?最小时，tan?? A．?33 B． C．?3 D．3 33x2y22b?0）11．已知双曲线?：2?2?1（a?0，的一条渐近线为l，圆C：?x?a??y2?8abuuuruur与l交于A，B两点，若VABC是等腰直角三角形，且OB?5OA（其中O为坐标原点），

则双曲线?的离心率为

A．2132131313 B． C． D． 355332x12． 若关于x不等式xlnx?x?x?ae恒成立，则实数a的取值范围是

A．[e,??） B．[0,??） C．[,??） D．[1,??）

1e

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．

?2x?y?1?13．若目标函数z?kx?2y 在约束条件?x?y?2 下仅在点?1,1?处取得最小值，则实数

?y?x?2?k的取值范围____ __.

14．已知数列{an}满足a1?41nan1,an?1?(n?N*)，若不等式2??tan?0

nn2(n?1)(nan?1)恒成立，则实数t的取值范围是 ．

2 15．已知抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F，A0,3，抛物线C上的点B满足

??AB?AF，且BF?4，则p= ．

16．函数f(x)?2sin(2x??)(???2)的图像向左平移

?个单位长度后对应的函数是奇函6数，函数g?x??2?3cos2x．若关于x的方程f?x??g?x???2在[0,?）内有两个不同的解?，?，则cos?????的值为 ．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

??a2?b2??ab．

（Ⅰ）若??6，B?5?，求sinA； 6（Ⅱ）若??4，AB边上的高为3c，求角C． 618. (本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE?BCF和一个正四棱锥

P?ABCD组合而成，AD?AF，AE?AD?2．

（Ⅰ）证明：平面PAD?平面ABFE； （Ⅱ）求正四棱锥P?ABCD的高h， 使得二面角C?AF?P的余弦值是

22． 3

19．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数 保费 0 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ?5 2a 0.85a a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数 概率 0 0.30 1 2 3 0.20 4 0.10 ?5 0. 05 0.15 0.20 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

y2?1的左、右焦点，过F1斜率为k20．(本小题满分12分)已知F1、F2分别是双曲线x?32的直线l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F2且与l1垂直的直线l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．

2y04（x0,y0)是直线l1、l2的交点为，求证：x0?（Ⅰ）设点P＞；

332（Ⅱ）求四边形ABCD面积的范围．

21．(本小题满分12分) 已知函数f?x??（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间； （Ⅱ）设函数??x??xf?x??tf??x??成立，求实数t的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清．．．．题号．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x?1(e为自然对数的底数)． ex1，存在实数x1，x2??0,1?，使得2??x1????x2?ex?x?3?t2xOyC （t为参数），曲线C2：x2??y?1??1，在直角坐标系中，曲线1：??y?3?t

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线l：??????0?分别交C1，C2于A，B两点，求23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知a?0，b?0，函数f?x??x?a?2x?b的最小值为1． （Ⅰ）求证：2a?b?2；

（Ⅱ）若a?2b?tab恒成立，求实数t的最大值．

OBOA的最大值．

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）

理科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．B 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．(?4,2) 14． 2或6 16． [?9,??) 15．

25 5三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由已知B?5?，a2?b2?6ab，结合正弦定理得：64sin2A?26sinA?1?0，

于是sinA?6?2． 4因为0?A??6，所以sinA?16?2，可得sinA?． 24（Ⅱ）由题意可知S?ABC?132absinC?c，得：2121323absinC?a?b2?2abcosC???4ab?2abcosC?． ?21212从而有：3sinC?cosC?2，即sin?C?又因为

??????1， 6??6?C??6?7??，所以，C?． 63AF?A，

18.（Ⅰ）证明：正三棱柱ADE?BCF中，AB?平面ADE， 所以AB?AD，又AD?AF，AB所以AD?平面ABFE，AD?平面PAD， 所以平面PAD?平面ABFE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD?平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD方向为x，y，z轴

建立空间直角坐标系A?xyz，设正四棱锥P?ABCD的高为h，AE?AD?2，则

A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1,?h,1)，AF?(2,2,0)，AC?(2,0,2)，

AP?(1,?h,1)．

设平面ACF的一个法向量m?(x1,y1,z1)，

??m?AF?2x1?2y1?0,则?取x1?1，则y1?z1??1，所以m?(1,?1,?1)． ??m?AC?2x1?2z1?0,??n?AF?2x2?2y2?0,设平面AFP的一个法向量n?(x2,y2,z2)，则?

??n?AP?x2?hy2?z2?0,取x2?1，则y2??1，z2??1?h，所以n?(1,?1,?1?h)． 二面角C?AF?P的余弦值是

22， 3所以cos?m,n??m?n1?1?1?122??，解得h?1．

23|m|?|n|32?(h?1)19．解：（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，

P(A)?1?P(A)?1?(0.30?0.15)?0.55．

（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B， P(BA)?P(AB)0.10?0.053??． P(A)0.5511（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X．

X P 平均保费

0.85a 0.30 a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 0.15 EX?0.85?0.30?0.15a?1.25a?0.20?1.5a?0.20?1.75a?0.10?2a?0.05 a5? ?0.250a.1?5a0.?25a?0.3a0?.17a5?0a. ，

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

20．解：（Ⅰ）由条件知，PF1?PF2，点P在以F1F2为直径的圆上． 所以

2x0?2y0222x0y04y0?＞＝．…………………………………………4分 ?4．因此x0?33332

（Ⅱ）由条件知，l1、l2的方程分别为y?k(x?2)、y??(x?2)．

2?2由?3x?y?3，得(3?k2)x2?4k2x?4k2?3?0． ?y?k(x?2)1k由于l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，

?4k2?3所以xA?xC?＜0，解得k2＜3．……………………………………………………623?k分

?3x2?y2?3?由?，得(3k2?1)x2?4x?4?3k2?0． 1y??(x?2)?k?由于l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点，

?4?3k212k所以xB?xD?＜0，解得＞．

3k2?13因

此

，

1?k2?33，k的取值范围是

??3??3???3,?3????3,3??．………………………………8分 ????1212?42?4?3k26(1?k2)BD?1?(?)?xB?xD?1?(?)?(2)?4??．

kk3k?13k2?13k2?1118(k2?1)2∴四边形ABCD的面积S?AC?BD???18,???．

2(3?k2)(3k2?1)所以，四边形ABCD面积的范围?18,???．……………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f??x???x， ex∴当x?0时，f??x??0，当x?0时，f??x??0，

∴f?x?的单调递增区间为???,0?，单调递减区间为?0,???． （Ⅱ）假设存在x1，x2??0,1?，使得使得2??x1????x2?成立， 则2????x???min?????x???maxx??0,1? ． ∵??x??xf?x??tf??x??e?x??x2??1?t?x?1， ?xe

?x2??1?t?x?t?x?t??x?1?．

∴???x????exex①当t?1时，在?0,1?上???x??0，??x?在?0,1?上单调递减， ∴2??1????0?，即t?3?e?1. 2②当t?0时，在0,1上???x??0，??x?在0,1上单调递增， ∴2??0????1?，即t?3?2e?0.

③当0?t?1时，若x??0,t?，???x??0，??x?在?0,t?上单调递减； 若x??t,1?，???x??0，??x?在?t,1?上单调递增， 所以2??t??max即2????????0?,??1??，

t?1?3?t??max?1,?，（＊） te?e?t?1在?0,1?上单调递减， et由（Ⅰ）知，g?t??2?故

4t?123?t3?2?t?2，而??，所以不等式（＊）无解． eeeee综上所述，t的取值范围是???,3?2e?e??3?,????．

2??22．解：（Ⅰ）曲线C1：??x?3?t （t为参数），普通方程为x?y?6，极坐标方程为

?y?3?t?cos???sin??6；

2曲线C2：x??y?1??1，即x2?y2?2y?0，∴??2sin?；……………………………4

2分

（Ⅱ）设A??1,??，B??2,??，0???则?1?3? ， 46，

cos??sin??2?2sin?，…………………………………………………………………6分

OB111??????sin??cos??sin????sin2??1?cos2????2sin?2????1?………OA366?4???………8分

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