2018年立体几何选择、填空难题训练(含解析)

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立体几何小题难题训练

一.选择题

1.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有( )

A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条

2.如图,平面PAB⊥平面α,AB?α,且△PAB为正三角形,点D是平面α内的动点,ABCD是菱形,点O为AB中点,AC与OD交于点Q,I?α,且l⊥AB,则PQ与I所成角的正切值的最小值为( )

A. B. C. D.3

3.如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,则下列说法中正确的有( ) ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC; ②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行; ④存在点E使得SE⊥BA.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若该棱柱的所有顶点都在体积为为( ) A.

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的球面上,则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值

B. C. D.

5.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点,则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=行翻折,在翻折过程中( )

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )

A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条

8.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在对角线BD1上,给出以下命题:

①当P在BD1上运动时,恒有MN∥面APC; ②若A,P,M三点共线,则③若

=

,则C1Q∥面APC;

=;

.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条;过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条,则m+n=7. 其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2 C.3 D.4

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9.如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.

①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D,使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是( )

A.①② B.②③ C.③ D.③④

10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=a,BC=1,∠BAD=60°,E为线段CD(端点C、D除外)上一动点,将△ADE沿直线AE翻折,在翻折过程中,若存在某个位置使得直线AD与BC垂直,则a的取值范围是( )

A.(,+∞) B.(,+∞) C.(+1,+∞) D.(+1,+∞)

11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,点E在线段AD上且AE=3,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点D落在线段AE上,则此时二面角D﹣EC

B

A. B.

C. D.

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12.如图,已知平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α内有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则△PAB的面积的最大值是( )

A.12 B.24 C.32 D.48

13.在四面体S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=余弦值是﹣A.

,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的

,则该四面体外接球的表面积是( )

C.6π D.

B.

14.过空间中一定点,作一直线,使其与某正方体六个面所成的角都相等,这样的直线有几条( ) A.1

B.2

C.4

D.无数条

15.如图,边长为3正方形ABCD,动点M,N在AD,BC上,且MN∥CD,沿MN将正方形折成直二面角,设AM=x,则点M到平面ABC的距离的最大值为( )

A. B. C. D.

16.正三棱锥P﹣ABC内接于半球O,底面ABC在大圆面上,则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为( ) A.

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B. C. D.

17.在长方形ABCD中,AD=2,AB=4,点E是边CD上的一动点,将△ADE沿直线AE翻折到△AD1E,使得二面角D1﹣AE﹣B为直二面角,则cos∠D1AB的最大值为( )

A. B. C. D.

18.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8,点H在棱AA1上,且HA1=2,在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1,P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长,则当点P运动时,|HP|2的最小值是( )

A.87 B.88 C.89 D.90

19.在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②

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20.三棱锥P﹣ABC中,顶点P在平面ABC上的射影为O,且满足,

A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心,PA=6,则此三棱锥体积最大值是( )

A.12 B.36 C.48 D.24

21.已知四面体ABCD中,AB=2,CD=1,AB与CD间的距离与夹角分别为3与

30°,则四面体ABCD的体积为( )A. B.1

二.填空题(共9小题)

C.2

D.

22.如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直

线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 .

23.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .

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24.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1,则下列四个命题: ①P在直线BC1上运动时,三棱锥A﹣D1PC的体积不变;

②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变; ③P在直线BC1上运动时,二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线,其中真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号)

25.如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,且==2,

将此正方形沿DE,DF折起,使点A,C重合于点P,若O为线段EF任一点,DO与平面PEF所成的角为θ,则tanθ的最大值是 .

26.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面PAD同时垂直侧面PAB与侧面PDC.若PA=AB=AD=直线PC与底面ABCD所成角的正切值为 .

PB,则

= ,

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27.如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧,若顶点B,C到平面α的距离分别为1,的距离是 .

,则顶点D到平面α

28.如图,平面ABC⊥平面α,D为线段AB的中点,点P为面α内的动点,且P到直线CD的距离为

,∠CDB=45°,

,则∠APB的最大值为 .

29.如图,在二面角A﹣CD﹣B中,BC⊥CD,BC=CD=2,点A在直线AD上运动,满足AD⊥CD,AB=3.现将平面ADC沿着CD进行翻折,在翻折的过程中,线段AD长的取值范围是 .

30.如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C′,E点在线段AC′上,若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°,则= .

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立体几何难题

参考答案与试题解析

一.选择题(共21小题)

1.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有( )

A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条

【解答】解:若直线和AB,BC所成角相等,得直线在对角面BDD1B1,内或者和对角面平行,同时和CC1所成角相等,此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件.此时过A的直线和BD1,平行即可, 同理体对角线A1C,AC1,DB1,也满足条件.,

则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可, 共有4条. 故选:C.

2.如图,平面PAB⊥平面α,AB?α,且△PAB为正三角形,点D是平面α内的动点,ABCD是菱形,点O为AB中点,AC与OD交于点Q,I?α,且l⊥AB,则PQ与I所成角的正切值的最小值为( )

A. B. C. D.3

【解答】解:如图,不妨以CD在AB前侧为例.

以O为原点,分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系, 设AB=2,∠OAD=θ(0<θ<π),则P(0,0,

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),

D(2sinθ,﹣1+2cosθ,0), ∴Q(∴

设α与AB垂直的向量

,0),

,则PQ与l所成角为α.

则|cosα|=||=||==.

令t=cosθ(﹣1<t<1),则s=令s′=0,得t=8﹣∴当t=8﹣

,s′=,

时,s有最大值为16﹣6.

则cosα有最大值为∴正切值的最小值为故选:B.

,此时sinα最小值最小为=

3.如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,则下列说法中正确的有( ) ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC; ②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行; ④存在点E使得SE⊥BA.

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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:①若直线SA⊥平面SBC, 则直线SA与平面SBC均垂直,则SA⊥BC,

又由AD∥BC,则SA⊥AD,这与∠SAD为锐角矛盾,故①错误; ②∵平面SBC∩直线SA=S,

故平面SBC内的直线与SA相交或异面,故②错误;

③取AB的中点F,则CF∥AE,由线面平行的判定定理,可得CF∥SAE平行,故③正确;

④若SE⊥BA,由EC∥AB,可得SE⊥EC,这与∠SEC为钝角矛盾,故④错误; 故选:A.

4.设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若该棱柱的所有顶点都在体积为为( ) A.

B.

C.

D.

的球面上,则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值

【解答】解:∵∠BCA=90°,BC=CA=2, ∴AB=2

,且为截面圆的直径;

又三棱柱外接球的体积为∴π?R3=

解得外接球的半径为R=2;

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△ABC1中,AB⊥BC1,AB=2∴BC1=又∴

=?

+=

,?(﹣﹣0

=2=; +

,AC1=2R=4,

=﹣?

﹣, ﹣

?

)﹣

=0﹣0﹣=﹣8, |

|=|

|=

=;

∴异面直线B1C与AC1所成的角θ的余弦值为: cosθ=|故选:B.

5.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点,则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【解答】解:把异面直线a,b平移到相交,使交点为P, 此时∠APB=50°,

过P点作直线c平分∠APB,这时c与a,b所成角为25°, 过P点作直线d垂直a和b,这时d与a,b所成角为90°, 直线从c向两边转到d时与a,b所成角单调递增,必有经过30°, 因为两边,所以有2条. 故选:B.

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|=||=.

6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=行翻折,在翻折过程中( )

.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 【解答】解:如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC=BE=EF=FD=

,AE=CF=

A,若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC,从而BD⊥EC,这与已知矛盾,排除A;

B,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD⊥平面ABC,平面ABC⊥平面BCD

取BC中点M,连接ME,则ME⊥BD,∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故B正确;

C,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除C

D,由上所述,可排除D 故选:B.

7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )

A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条

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【解答】解:在EF上任意取一点M, 直线A1D1与M确定一个平面, 这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面, 从而与CD有不同的交点N,

而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图: 故选:D.

8.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在对角线BD1上,给出以下命题:

①当P在BD1上运动时,恒有MN∥面APC; ②若A,P,M三点共线,则③若

=

,则C1Q∥面APC;

=;

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条;过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条,则m+n=7. 其中正确命题的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解答】解:①MN中点R,AC的中点S,设BD1与RS的交点是Q,若P与Q重合时,此时MN在平面PAC内,故1错误

②若A,P,M三点共线,②若A,P,M三点共线,由D1M∥AB,

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∴③若

==

=,则=,正确;

,由②可得:A,P,M三点共线,设对角线BD∩AC=O,连接OM,

OQ,则四边形OQC1M是平行四边形, ∴C1Q∥OM,

而M点在平面APC内, ∴C1Q∥平面APC,因此正确;

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C,D1B,AC1,DB1,4条.

连接B1C,A1C1∥AC,由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形,则点P取点D1,则直线AD1,CD1、D1B1满足条件,∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条,则m+n=7条,因此正确. 其中正确命题为②③④,其个数为3. 故选:C.

9.如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.

①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D,使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是( )

A.①② B.②③ C.③ D.③④

【解答】解:∵四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3, ∴AC=BC=

,AB=

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当四棱锥CABD与四面体OABC一样时,即取CD=3,AD=BD=2 此时点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形,故①不正确

使AB=AD=BD,此时存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥,故②不正确; 取CD=AB,AD=BD,此时CD垂直面ABD,即存在点D,使CD与AB垂直并且相等,故③正确;

先找到四面体OABC的内接球的球心P,使半径为r,只需PD=r即可 ∴存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上,故④正确 故选:D.

10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=a,BC=1,∠BAD=60°,E为线段CD(端点C、D除外)上一动点,将△ADE沿直线AE翻折,在翻折过程中,若存在某个位置使得直线AD与BC垂直,则a的取值范围是( )

A.(,+∞) B.(,+∞) C.(+1,+∞) D.(+1,+∞)

【解答】解:设翻折前的D记为D′,∵AD⊥BC,BC∥AD′,则在翻折过程中,存在某个位置使得直线AD与BC垂直,只需保证∠DAD′=900,∵∠D′AE=∠DAE,由极限位置知,只需保证∠D′AE≥45°即可.

在△D′AE中,AD′=1,∠D′AE=45°,∠AD′E=120°,则∠D′EA=15°, 由正弦定理知,

,则D′E=

因为E为线段CD(端点C,D除外)上的一动点, 则a>故选:D.

11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,点E在线段AD上且AE=3,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点D落在线段AE上,则此时二面角D﹣

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EC﹣B的余弦值为( )

A. B. C. D.

【解答】解:在折叠前的矩形中连接BD交EC于O, ∵BC=4,CD=2,CD=2,DE=1, ∴

,即△BCD∽△CDE,

∴∠DBC=∠ECD, ∴∠DBC=∠ECD,

∴∠ECD+∠ODC=90°,即BD⊥CE, 折起后,

∵BO⊥CE,DO⊥CE,

∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角, 在△BOD中,OD=BD=

=2

=

,OB=BD﹣OD=2

=

由余弦定理得cos∠BOD=故选:D.

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12.如图,已知平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α内有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则△PAB的面积的最大值是( )

A.12 B.24 C.32 D.48

【解答】解:由题意平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,

∴△PAD与△PBC是直角三角形,又∠APD=∠BPC, ∴△PAD∽△PBC,又AD=4,BC=8, ∴PB=2PA

作PM⊥AB,垂足为M,令AM=t∈R,

在两个Rt△PAM与Rt△PBM中,PM是公共边及PB=2PA ∴PA2﹣t2=4PA2﹣(6﹣t)2 解得PA2=12﹣4t ∴PM=∴S=

×AB×PM=×6×=3=3≤12

即三角形面积的最大值为12 故选:A.

13.在四面体S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=余弦值是﹣A.

,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的

,则该四面体外接球的表面积是( )

C.6π D.

B.

【解答】解:取AC中点D,连接SD,BD, 因为

,所以BD⊥AC,

因为SA=SC=2,所以SD⊥AC,AC⊥平面SDB.

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所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B. 在△所以AC=2.

取等边△SAC的中心E,作EO⊥平面SAC, 过D作DO⊥平面ABC,O为外接球球心, 所以ED=所以BO=

,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是

=

=OA=OS=OC

,所以

,OD=

所以O点为四面体的外接球球心,

其半径为故选:C.

,表面积为6π.

14.过空间中一定点,作一直线,使其与某正方体六个面所成的角都相等,这样的直线有几条( ) A.1

B.2

C.4

D.无数条

【解答】解:正方体六个面中,相对的面互相平行. 如图,在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,

研究体对角线BD′与下底面、前面,右面所成的角的关系.

由正方体的结构特征,可知D′D⊥面ABCD,∴BD是 BD′在面ABCD上的射影. ∴∠D′BD是 BD′与面ABCD所成的角. 同理∠D′BA′是 BD′与面A′B′BA所成的角 ∠D′BC′是 BD′与面B′C′CB所成的角.

由直角三角形全等的HL判定定理,可知△D′BD≌△D′BA′≌△D′BC′,

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∴∠D′BD=∠D′BA′=∠D′BC′.

所以对角线BD′与下底面、前面,右面所成的角相等, 从而对角线BD′与正方体六个面所成的角都相等.

同样证明得出其余三条体对角线也与正方体六个面所成的角都相等.

所以过空间一点且与体对角线平行的直线与正方体六个面成等角.共有4条. 故选:C.

15.如图,边长为3正方形ABCD,动点M,N在AD,BC上,且MN∥CD,沿MN将正方形折成直二面角,设AM=x,则点M到平面ABC的距离的最大值为( )

A. B. C. D.

【解答】解:由题意,过M作ME⊥AC,垂足为E,则ME⊥平面ABC, 在△AMC中,

=

=

当且仅当,x=3﹣x,即故选:B.

时,ME的最大值为

16.正三棱锥P﹣ABC内接于半球O,底面ABC在大圆面上,则它相邻的两个侧

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/azd3.html

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