MATLAB在数学教学中的应用

MATLAB在数学教学中的应用

张兴元

1．MATLAB简介

1.1 简介

MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的、功能强大的、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。

其产品Logo为，目前该产品已经发展到R2009版。

Cleve B.Mole是其创始者和首席科学家，他曾任密歇根大学、斯坦福大学

和新墨西哥大学的数学系或计算机系教授，也曾

在Intel和Ardent Computers公司工作过，他还是

矩阵计算软件包LINPACK和EISPACK的作者之

一，撰写过两本MATLAB方面的著作：

Numerical Computing with MATLAB，

Experiments in MATLAB。

MATLAB现在已经发展成为适合多学科的大

型软件，在世界许多高校，它已经成为线性代

数、数值分析、数理统计、自动控制、数字信号

处理、动态系统仿真等课程的基本教学工具。

一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动，使得它在国内很快普及。

【演示例子】：分形蕨[1]。

【程序】：【Fern.m】。

1.2 软件学习使用方法

学习的方法：

●一本基础的MATLAB使用教程；

●运行并学习Demo;

●借助帮助系统使用；

●相互交流。

2．MATLAB 在数学课程教学中的应用类型

MATLAB 在数学课程教学中的应用可以包含数学计算即解数学题、数学概念的几何形象化、数学规律的形象化理解等。（纯属个人观点）

2.1 数学计算

利用MATLAB 具有符号演算和数值计算功能，但很多教师、工程师和研究人员把主要它作为主要的数值计算和图形演示工具。

2.1.1 符号演算

MATLAB 的符号演算功能是通过调用数学软件MAPLE 的符号处理内核来完成。其使用方法，可以采用如下形式：

Step1：定义符号变量和表达式；

Step2：调用符号运算函数完成演算；

Step3：借助图形函数展示演算结果。

【例1】微积分计算

（1）lim n →∞

【程序】：

syms x;syms n;

f2=n^(1/n);

v2=limit(f2,n,inf,'left')

（2）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x

→∞+-+； 【程序】：

syms x;

f6=x*(sin(log(1+3/x))-sin(log(1+1/x)));

v6=limit(f6,x,inf,'left')

（3）求函数5433354

()21=--+f x x x x 的极值； 【程序】：

【Step1】：绘制函数的图形：

hold on;

grid on;

fplot('3/5*x^5-3/4*x^4-2*x^3+1',[-2 2.5]);

fplot('0*x',[-2,2.5])

hold off;

【Step2】求出函数的驻点

syms x;

f=3/5*x^5-3/4*x^4-2*x^3+1;

df1=diff(f,x);

df1=factor(df1)

x0=solve(df1,x)

【Step3】判断驻点是否为极值点

df2=diff(f,x,2)

x20=subs(df2,x,0)

x22=subs(df2,x,2)

x21=subs(df2,x,-1)

y0=subs(f,x,0)

y2=subs(f,x,2)

y1=subs(f,x,-1)

（4）计算定积分：

① 34

10tan I xdx π

=?；② 120I =?；③ 2

140x I e dx -=? 【程序】：

syms x;

I1=int(tan(x)^3,0,pi/4)

I2=int(1/((3+6*x-x^2)^(1/2)),0,1)

I3=int(exp(-x^2),0,1)

I1D=double(I1)

I2D=double(I2)

I3D=double(I3)

（5）求方程组()()0,()4()0x t y t y t x t ''''+=-=满足条件(0)(0)0x y ==，(0)1,(0)2x y ''==的特解。

【程序】：

syms x y;

f='D2x+y=0,D2y-4*x=0';

S=dsolve(f,'x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2');

[S.x;S.y]

ezplot(S.x,S.y,[-10,10])

【例2】线性代数计算

（1）设

211

212

111

A

-

??

??

=??

??

-

??

，计算110

det,(),,

A Tr A A A

-。

【程序】：

A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1];

d=det(A) % 计算行列式

tr=trace(A) %计算A的迹：a11+a22+...+ann

invA=inv(A) %计算A的逆矩阵

mA=A^10 %计算A的10次幂

（2）求线性方程组

26767

9714117

25979 361625225

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

+++=

?

?+++=

?

?

+++=

?

?+++=

?

的通解。

【程序】：

S=solve('x+2*y+6*z+7*w=67','x+9*y+7*z+14*w=117','x+2*y+5*z+9 *w=79','3*x+6*y+16*z+25*w=225');

[S.x;S.y;S.z;S.w]

（3）计算方阵的特征值与特征向量：

1123 213 336

A

??

??

=??

??

??

，

2

323

111

414

A

-??

??

=-??

??

-??

。

【程序】：

% 第一小题

clear;clc;

A1=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];

[V1,D1]=eig(sym(A1))

% 第二小题

A2=[-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4];

[V2,D2]=eig(sym(A2))

2.1.2 数值计算与模拟

MATLAB 的数值计算功能非常强大，既可以完成数值代数、数值逼近和微分方程数值解等传统内容，也可以借助编程完成如统计计算、分形与混沌研究等，还可以借助Simulink 完成系统模拟等任务。

【例3】生日问题[2]。 美国数学家柏格米尼曾经做过一个别开生面的试验：在一个盛况空前的人山人海的世界杯足球赛赛场上，它随机地在某看台上请23个球迷分别写下了自己的生日，结果竞发现其中的两个人生日相同。怎么会这么凑巧呢？请用概率的知识加以说明。

【理论推导】：设随机选取(365)s ≤个人，记A={至少有两个人的生日相同}，则A ={所有人生日全不相同}，则

365()1()1365s s

P P A P A =-=- 因此，随着选取人数(365)s ≤的增加，概率()P A 接近于1；当365s >时，就成为一个必然事件。

【计算机模拟演示】：

下面通过计算机程序模拟生日问题，即从1，2，…，365个整数中随机产生s(用户自己输入)个可重复的整数来模拟实验结果。步骤如下：

Step1：产生s 个随机数，统计结果；

Step2：重复Step1多次，统计试验结果，并计算出现相同值的频率； Step3：改变s ，重复Step1和Step2，每一种情况下的频率；

Step4：绘制频率图和频率累计图并与理论结果比较。

【程序】：【BirthdayProb.m 】

【例4】微分方程数值解

求解初值问题3()()4()()()3()(0)1,(0)8x t x t x t y t y t x t x y '?=---?'=??==-?

，并绘

制斜率场及解曲线。

【步骤】：

【Step1】：单独定义微分方程；

【Step2】：利用ode 函数求解微分方程；

【Step3】：绘制解曲线。

【程序】：

【微分方程1】：Exam05Demo03Prob2.m ；

【求解并绘图】：【DifEq.m 】。

2.2 数学概念的形象化

可以借助编程实现很多数学概念如连续与可微、定积分、行列式、线性变换、矩阵的秩、特征值、特征向量等的几何直观解释。

【例5】微积分

【项目1】连续函数、可微函数观察

选定两个函数f x g x (),()，如

x x x f x g x x x 1

sin ,0(),()sin 0

,0≠?==?=?， 在点x 0(0)=处f x ()连续，而g x ()连续可微，观察它们在点x 0附近的图像的区别。

【方法】：分别作出函数f x g x (),()在包含x 0的一系列区间上的图像，并进行

对比。

【程序】：【Continuity_Differentiability.m 】。

【项目2】 处处连续处处不可微的函数例子---魏尔斯特拉斯曲线[3]

魏尔斯特拉斯函数是

n n n f x b a x x b a ab 0()cos(),,01,0,1π∞

==-∞<<+∞<<>>∑

（1）

级数（1）在x -∞<<+∞中一致收敛，所以f x ()在

x -∞<<+∞上连续，它是无穷多个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为

n n n y T x b a x ()cos()π== 其周期为n a 2，振幅为n b 。

余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点处，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为n T x ()的陡度，即得n T x ()的陡度就是

n n dT x ab dx

()max ()π= 现令 1a >为一整数，且1ab >，

所以n T x 1()+的陡度又比n T x ()的陡度大（ab ）倍，所以构成函数（1）的正弦波

就越来越窄，越来越陡，其振幅也越来越小。图1就b=1/2，a=5画出了级数

（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02_1.m ）。

短划线是部分和：S x T x x 00()()cos()π==； 虚线是部分和：S x T x T x x x 1011()()()cos()cos(5)2

ππ=+=+； 实线：S x T x T x T x x x x 201311()()()()cos()cos(5)cos(25)24

πππ=++=++。 【程序】：

【程序1】：Weierstrass0.m

【程序2】：Weierstrass100.m

观察图像，我们可以想象由无穷多项余弦波叠加而成的函数f x ()的图像会成为一条“毛茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像。事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微[]。

【项目3】定积分定义的几何演示

定积分0sin x e xdx π

?与其积分和的关系。 【原理】：

依据定积分的定义：001

sin lim sin ,max{}→==?=?∑?i n x

i i i i e xdx e x x πξλξλ 【步骤】：

【Step 1】：将区间[0,pi]分成n 等份即取i n

x π?=，取每个区间右端点

为i ξ，并计算积分和1

()sin i

n

i

i S n e n

ξπ

ξ==

∑；

【Step 2】：画出被积函数()sin x f x e x =的图形和S(n)所表示的面积； 【Step 3】：改变n ，重复Step1和Step2。 【程序】：【Integral.m 】 【项目4】二重积分定义的几何演示

演示二重积分22

,:||1,||12D

x y I dxdy D x y +=-≤≤??（）的积分和变化过程

（极坐标和直角坐标）。 【原理】：

二重积分的定义为：0

1

(,)lim (,)n

i i i i D

f x y d f λσξησ→==?∑??。

【直角坐标系】：体积微元的底面面积为i i j x y σ?=???，上式变成

1

(,)lim (,)n

i

i

i

j

i D

f x y d f x y λ

σξη→==??∑??

【步骤】：（直角坐标）

【Step 1】：对区域:||1,||1D x y ≤≤进行划分成m n ?等份即取

22

,i j m n

x y ?=?=，取每个矩形的右上角点为(,)i j ξη，则 22

1*,1,2,...,;1*,1,2,...,i j m n i i m j j n ξη=-+==-+=

积分和22

1122(,)2

m n i j

i j S m n m n ξη==+=-?∑∑；

【Step 2】：画出22

(,)2

x y f x y +=-的图形和S(m,n)所表示的体积；

【Step 3】：改变m,n ，重复Step1和Step2。 【程序】：【DoubleIntegral.m 】

【项目5】旋转曲面的生成[2]

用动画演示由曲线sin ,[0,]y z z π=∈绕z 轴旋转产生的旋转曲面的过程。

【步骤】：

【Step1】写出曲面的参数方程：旋转曲面的方程为：222sin x y z +=，

其参数方程为sin cos sin sin ,[0,],[0,2]=??=∈∈??=?

x v u y v u v u z v ππ。

【Step2】画出旋转面在区间20,,1,2,,n u k k n π∈=???? 内的图形；

采用镂空技术：将不需要画出的部分的Z 值赋值为NaN 。

【Step3】连续显示这些图形，形成动画。

【程序】：【SurfaceofRevolution.m 】。

【例6】线性代数

【项目】特征值与特征向量的定义及几何演示

设λ是方阵A 的特征值，ξ是对应于特征值λ的特征向量，则A ξλξ=。几何上可理解为当数0λ≠时，非零向量ξ在线性变换A 的作用下的像A ξ与向量ξ的方向平行（方向相同或相反）；当数0λ=时，非零向量ξ在线性变换A 的作用下的像为零向量。试用如下方阵验证。

（1）1221A ??=????； （2） 0.5 1.20.1 1.5A ??=????； （3）1111A ??=????

。 【原理】：

二维情况：依次取单位圆周：cos ,sin ,02x y θθθπ==≤≤上的向量

cos ()sin r r θθθ??==????

，分别绘制向量r 、Ar ，当它们共线时就绘制一条直线。 【程序】：【Eigenvalue_Vector.m 】。

2.3 数学规律的直观化理解

很多的数学结果和数学规律，可以使用MATLAB 借助几何图形或者动画加以直观化，以帮助理解。例如：

【例7】Fourier 级数展开及其和函数的逼近

数学原理：Fourier 级数展开定理。

设()f x 是以2π为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的

表达式为

1,0()1,0x f x x ππ--≤<?=?<≤?

试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼

近()f x 的情形。

【原理】：

以2l 为周期的函数()f x 的Fourier 级数为

01()(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=++∑ ，

其中 1()cos ,0,1,2,l n l n x a f x dx n l l π-==? ，1()sin ,1,2,l n l n x b f x dx n l l

π-==? 。 【步骤】：

Step1：求出f(x)的Fourier 系数；

由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier

级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数

02

2(1(1))()sin(),1,2,n n b f x nx dx n n π

ππ

--===? Step2：绘制逼近图形

【程序】：【Fourier.m 】。

【例8】线性代数：特征值与特征向量的迭代性质

【实验21】。

【例9】概率统计：二项分布的Galton 实验[4]

【实验22】。

3．关于在数学教学中引入数学软件和数学实验的一些思考

3.1 引入原因（Why ）

（1） 数学教学应该包含一个“全”过程：实践→理论→实践；

（2）数学教学应该与时俱进：与计算机结合，新的数学内容引入；

（3）知识应与技术有机结合：数学知识与数学技术问题。

3.2 内容和素材的选择(Where and What )

（1） 哪些数学概念和内容？（Where ）

重要概念、重点内容。问题：

● 多大范围内考虑？单门课程→公共数学课程→每个专业应用领域分类 ● 当前如何确定它们的重要性？可用PageRank 算法[1]确定吗？

（2）使用怎样的素材？（What ）

● 丰富多彩

? 数学领域

? 应用领域

3.3 如何实现(How )

● 技术的

非技术的

个人观点：（建立数学实验课件的过程）

参考文献

[1] Cleve B.Moler 著，喻文健译. MATLAB数值计算. 北京：机械工业出版社，2006年6月：Page11-13，62.

[2] 李辉来. 大学数学课程实验.北京：高等教育出版社，2008年1月：P82,192.

[3] 齐民友. 重温微积分. 北京：高等教育出版社，2004年1月：P175.

[4] 周晓阳. 数学实验与MATLAB. 武汉：华中科技大学出版社，2001年：P151-157.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/azc4.html