相似三角形专题复习

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知识点归纳：

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法

1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．

2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3. 相似三角形的对应角 ，对应边的________线，对应边上的______的比等于

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。

4

、相似三角形的基本图形）

A

C

D

D E

B

B C A

C

练习一：三角形相似的判定

1. 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

2. 如图，已知 ABD∽ ACE，求证： ABC∽ ADE．

3.如图, Rt△ABC, 斜边AC上有一点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC, 使截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条。

4. 如图，D点是 ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在 ABC的边上，并且点D、点E和 ABC的一个顶点组成的小三角形与 ABC相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．

5.（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．

6. 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

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7（2009年新疆）如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A.

7题

8.如果一个直角三角形的两条边长分别是图

6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ） 相似三角形的有关计算：

1.如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）

A．12m B．10m C．8m D．

7m

2. 如图所示，在△ABC中，AD是 BAC的平分线，AD的中垂线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD

2

FB·FC。

3.如图，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是_________。

4.如图，A、B、D、E四点在⊙O上，AE、BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO。计算CD CB的值，并指出CB的取值范围。

5. 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

6. 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．

．

7.已知：如图，在 ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平

分线，试利用三角形相似的关系说明AD2

DC AC．

8. 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

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9、阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1．6m宽的亮区DE，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3．6m，窗高AB=1．2m，那么窗口底

边离地面的高度BC= m ．

10、小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为

11. 已知：如图，ABCD中，AE:EB 1:2，求 AEF与 CDF的周长的比，如果S AEF 6cm2，求S CDF．

12．在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

13.在△ABC和△DEF中，

AB 2DE，AC 2DF， A D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 14、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝1，BD＝2， 则S△ADE︰S△ABC＝ ．

15、在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O．如果AD︰BC＝1︰3， 那么下列结论中，正确的是（ ）

（A）S△COD＝9S△ACO； （B）S△ABC＝9S△ACD； （C）S△BOC＝9S△AOD；（D）S△DOC＝9S△AOD． 16、如图1，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点FBE2，如果

D

BC 3，那么BF

FD

．

．

17、在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且DEDE∶BC等于 ( ) E

图1 （A）112

； （B）

3

； （C）

2； （D）

3．

2

3

相似三角形中的分类讨论

相似三角形常因对应边或对应角的不确定，而需要分类讨论。下面我们根据相似三角形所给条件的不同，分类展示相似三角形分类讨论的三种情况。 一、对应边不确定

(05济南)如图在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为_____。

B 图一 C B C B C 分析：题中已知△ADE与△ABC相似，但没有指明具体的对应边，图二 图三

所以需要分情况分类讨论： 二、对应角的不确定

如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,点P在BD上由点向D点移动.当P点移动到离B点多远时,△ABP与△CPD?

三、所求作的图形位置不确定

1、如图，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC－3AB=0，点P从B出发，沿BC方向以

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2cm/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动。若P、Q分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与△CBA相似？

2, 操作：正方形ABCD的边长为4，P是直线CD上一动点，将三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一直角边所在的直线与射线AD交于点E.设CP=x，DE=y.探究：（1）如图（1），当点P在正方形ABCD的边CD上时，求证：⊿BPC～⊿PED；（2）当点P在CD的延长线上时，求y关于x的函数关系式； （3）当DE=1时，求点P的位置. D D D

相似三角形与二次函数

1．矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），

C（0，－3），直线y＝－

34x与BC边相交于D点．（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线y＝ax2

－94

x经过点A，试确定此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以

P、O、M为顶点的三角形与△

2.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍； （3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

3.如图，已知抛物线y＝x 2

－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、

G三点为顶点的三角形与△PCA

相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理

由．

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