全国名校高中数学题库--函数1

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一、考察函数的概念与性质（三要素、奇偶性、对称性、单调性、周

期性）

１（2010山东文数）（5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b（b为常数），则f(?1)?

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 答案：A

x２（2010山东文数）(3)函数f?x??log23?1的值域为

??A. ?0,??? B. ??0,??? C. ?1,??? D. ??1,??? 答案：A

232352525３（2010安徽文数）（7）设a?（）,b?（），c?（），则a，b，c的大小关系是

555（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a

7.A

【解析】y?x在x?0时是增函数，所以a?c，y?()在x?0时是减函数，所以c?b。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

2525x4x?1４（2010重庆理数）(5) 函数f?x??的图象 x2A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

4?x?11?4x??f(x) ?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称 解析：f(?x)??xx22

５（2010江西理数）9．给出下列三个命题： ①函数y?11?cosxxln与y?lntan是同一函数； 21?cosx2②若函数y?f?x?与y?g?x?的图像关于直线y?x对称，则函数

y?f?2x?与y?1g?x?的图像也关于直线y?x对称； 2③若奇函数f?x?对定义域内任意x都有f?x??f(2?x)，则f?x?为周期函数。

1

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其中真命题是

A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 【答案】C

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, f??x??f[2?(?x)]?f(2?x),又通过奇函数得f??x???f(x)，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。

６（2010北京文数）(6)给定函数①y?x，②y?log(1x1)?212，③y?|x?④y?2x?1，1|，

期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 答案：B

７（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且a?b，a?b，则函数

f(x)?(xa?b)?(xb?a)是

（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案：A

８（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是

(A)?m?R,使函数f（x）=x2?mx（x?R）是偶函数 (B)?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）是奇函数 (C)?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）都是偶函数 (D)?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）都是奇函数

【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当

2

m=0时，函数f（x）=x是偶函数，所以选A.

【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。

９．（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 D．f(?x)?3?x222?3x?f(x),g(?x)?3?x?3x??g(x)．

１０.（2010全国卷1文数）(7)已知函数f(x)?|lgx|.若a?b且，f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是

2

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(A)(1,??) (B)[1,??)(C) (2,??) (D) [2,??)

C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a?命题者的用苦良心之处.

【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).

?0?a?1?0?x?1??【解析2】由0

?xy?1?ab?1??z?x?y的取值范围问题，z?x?y?y??x?z，y?时z最小为2,∴(C) (2,??)

１１（.2009辽宁卷文）已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 （A）（

11?y???2??1?过点?1,1?xx1312121212，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） 33332323【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)

1),再根据f(x)的单调性 3112 得|2x－1|＜ 解得＜x＜ 【答案】A

333 ∴得f(|2x－1|)＜f(

二、考察函数的零点和函数与方程思想

1（2010上海文数）17.若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 [答]（ ） （A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 解析：构造函数f(x)?lgx?x?2,由f(1.75)?f()?lg f(2)?lg2?0知x0属于区间（1.75，2） ２（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ ，则 x2∈（x0，+?）

3

7471??0 441的一个零点.若x1∈（1，x0）， 1?x函数题库

（A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 （C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0

解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题 ３（2010天津文数）（4）函数f（x）=e?x?2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C

【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C ４．（2010天津理数）（2）函数f(x)=2?3x的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【答案】B

【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由f(?1)?

xx1?3?0,f(0)?1?0及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。 2三、考察基本初等函数图像间的关系

１.（2009北京文）为了得到函数y?lgx?3的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有的10点 （ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.

.w

２（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y= logbx (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系

||a中的图像可能是D

4

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ex?e?x３.(2009山东卷文)函数y?ex?e?x的图像大致为( ).

y yyy 111 1 O 1 x O1xO1 xO1 D

A B C 【解析】:函数有意义,需使ex?e?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

exy??e?xe2x?12ex?e?x?e2x?1?1?e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

４（2010安徽文数）（6）设abc?0,二次函３数f(x)?ax2?bx?c的图像可能是

6.D

【解析】当a?0时，b、c同号，（C）（D）两图中c?0，故b?0,?b2a?0，选项（D）符合

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

5

x

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四、考察指对数相互转化与运算

１（2010辽宁文数）（10）设2?5?m，且

ab11??2，则m? ab（A）10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选A.

11??logm2?logm5?logm10?2,?m2?10,又?m?0,?m?10. ab２.（2009全国卷Ⅱ文）设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则

（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=B。

３.（2009广东卷理）若函数y?f(x)是函数y?ax(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)?

A. log2x B. log1x C.

21lge, 作商比较知c>b,选212 D. x x2【解析】f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?

1

，所以f(x)?log1x，选B. 22五、考察导数的几何意义

1???１（2010全国卷2理数）（10）若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三

???12角形的面积为18，则a?

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..

133???11?31【解析】y'??x2,?k??a2，切线方程是y?a2??a2(x?a)，令x?0，

2221?3?113y?a2，令y?0，x?3a，∴三角形的面积是s??3a?a2?18，解得a?64.

222

6

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２（2010辽宁文理数）（12）已知点P在曲线y?斜角，则?的取值范围是 (A)[0,

4上，?为曲线在点P处的切线的倾ex?1??3???3?] (D) [,?) ) (B)[,) （C） (,4244244ex41x解析：选D.y???2x，???e??2,??1?y??0， xx1e?2e?1eex?2?xe3?即?1?tan??0，???[,?)

4３（2010全国卷2文数）（7）若曲线y?x2?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则

（A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1 【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1

４.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

'解:设切点P(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a),又?y|x?x?01?1

x0?a?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案选B

2５.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程

为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．?答案：A

【解析】由已知g?(1)?2，而f?(x)?g?(x)?2x，所以f?(1)?g?(1)?2?1?4故选A ６.（2009湖南卷文）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是【 A 】

11 C．2 D．? 42

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y y y y o a b x o a

o b x a

o b x a

b x

A ． B． C． D．

解: 因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上

各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y??k为常数噢.

六、考察利用导数判断函数的图像大致形状、单调性和最值

１（2010山东文数）（11）函数y?2x?x2的图像大致是

答案：A

２（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??13x?81x?234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量3为

（A）13万件 (B)11万件

(C) 9万件 (D)7万件 答案：C

t2?4t?1３（2010重庆文数）(12)已知t?0，则函数y?的最小值为____________ .

tt2?4t?11?t??4??2(?t?0)，当且仅当t?1时，ymin??2 解析：y?tt４.(2009年广东卷文)函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 【解析】f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex

x21世纪教育网 【答案】D

????(x?2)e8

x,令f?(x)?0,解得x?2,故选D

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七、考察函数的最值与恒成立问题

（2010天津理数）（16）设函数f(x)?2?2?，对任意x??,???，x?1?3??x?f???4m2f(x)?f(x?1)?4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 . ?m?【答案】D

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

3x22222依据题意得2?1?4m(x?1)?(x?1)?1?4(m?1)在x?[,??)上恒定成立，即

2m13232?4m????1x?[,??)上恒成立。 在22mxx23325152当x?时函数y??2??1取得最小值?，所以2?4m??，即

2xx3m3(3m2?1)(4m2?3)?0，解得m??33或m? 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解

八、考察抽象函数性质及其具体背景

１（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C] （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 解析：本题考查幂的运算性质 f(x)f(y)?aa?a２（2010

xyx?y?f(x?y)

1，4重庆理数）（15）已知函数f?x?满足：f?1??4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则f?2010?=_____________.

解析：取x=1 y=0得f(0)?1 2法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故f?2010?=f(0)=

1 2３.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则

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( D )

(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数

解: ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，

?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期

函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。 ４.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).

A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11)

【解析】:因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得

f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.

５.（2009江西卷文）已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有，则f(?2008)?f(2009)的值f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时，f(x)?log2(x?1）为

A．?2 B．?1 C．1 D．2 答案：C 【解析】f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log2?log2?1,故选C.

６.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B.

125215 C. 1 D. 2210

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【答案】A

【解析】若x≠0，则有f(x?1)?11?xf(x)，取x??，则有：

2x1112f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则 f()?f(??1)?122222?211f(?)?f() ）

221由此得f()?0于是，

2

311?1?532f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 f()?f(?1)?322232323122221?九、考察分段函数的有关计算

?log3x,x?01１（2010湖北文数）3.已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4

B.

1 4 C.-4 D-

1 4【答案】B

1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2，则f(f())?f(?2)?2?2?。

9994?log2x,x?0,?２（2010天津理数）（8）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范

1??2围是

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

a?0a<0????f(a)?f(?a)??loga?loga或?log(?a)?log(?a)2112???2?2?a?0?a?0?????a?1或-1?a?0 1或?1?aa????2?a

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【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

?x2+2x-3,x?0３.2010福建文数）7．函数（的零点个数为 ( ) fx)=??-2+lnx,x>0A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】当x?0时，令x?2x?3?0解得x??3；

当x?0时，令?2?lnx?0解得x?100，所以已知函数有两个零点，选C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

４.（2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+2x+b(b为常数)，则f(-1)=

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D

x2?3x?2,x?1,５（2010陕西文数）13.已知函数f（x）＝?2若f（f（0））＝4a，则实数a?x?ax,x?1,＝ 2 . 解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

６.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

?log2(1?x),x?0，则f

?f(x?1)?f(x?2),x?0f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

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1)与f(x?1)都是奇函数，1.（2010全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?则( )

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)?f(x?2) D.f(x?3)是奇函数 答案 D

解析 ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，

?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，

?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周

期函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D

2.(2010浙江理）对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：

?x1,x2?R且x2?x1，有??(x2?x1)?f(x2)?f(x)1是

?(?x2x?)1

．下列结论中正确的

( )

A．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2 B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则

f(x)?M?1 g(x)?2C．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2

D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2 答案 C

解析 对于??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)，即有???f(x2)?f(x1)??，

x2?x1令

f(x2)?f(x1)?k，有???k??，不妨设f(x)?M?1，g(x)?M?2，即有

x2?x1??1?kf??1,??2?kg??2，因此有??1??2?kf?kg??1??2，因此有f(x)?g(x)?M?1??2．

3.（2010浙江文）若函数f(x)?x?2a(a?R)，则下列结论正确的是（ ） xA.?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数 B.?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数

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C.?a?R，f(x)是偶函数 D.?a?R，f(x)是奇函数 答案 C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．

解析 对于a?0时有f?x??x2是一个偶函数

ex?e?x4. (2010山东卷理)函数y?x的图像大致为

e?e?xy ( ).

y 1O 1 x 1yy 1 O 1 x D

1 O1xO1 xA 答案 A

B C 解析 函数有意义,需使e?ex?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

ex?e?xe2x?12y?x?x?2x?1?2x,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

e?ee?1e?1【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

?log2(1?x),x?05.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，

f(x?1)?f(x?2),x?0?则f（2009）的值为

A.-1 B. 0 C.1 D. 2 答案 C

( )

解析 由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

14

函数题库

ex?e?x6.(2009山东卷文)函数y?x的图像大致为( ).

e?e?xy 1O 1 x 1yyy 1 O 1 x D

1 O1xO1 xA 答案 A.

B C

解析 函数有意义,需使e?ex?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

ex?e?xe2x?12y?x?x?2x?1?2x,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

e?ee?1e?1【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?则f（3）的值为

x?0?log2(4?x),，

?f(x?1)?f(x?2),x?0

( )

A.-1 B. -2 C.1 D. 2 答案 B

解析 由已知得f(?1)?log25,f(0)?log24?2,f(1)?f(0)?f(?1)?2?log25,

f(2)?f(1)?f(0)??log25,f(3)?f(2)?f(1)??log25?(2?log25)??2,故选B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则

( ).

A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11) 答案 D

解析 因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的

15

函数题库

周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得

f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

9.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=?x(x?0)的反函数是

2 （ ）

（A）y?x（x?0） （B）y??x2（x?0） （B）y?x（x?0） （D）y??x2（x?0） 答案 B

解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数x?0可知AC错,原函数y?0可知D错. 10.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y?log222?x的图像 2?x （ ）

（A） 关于原点对称 （B）关于主线y??x对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线y?x对称 答案 A

解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.（2009全国卷Ⅱ文）设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则

（ ）

（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 答案 B

解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=

1lge, 作商比较知c>b,选B。 2x12.（2009广东卷理）若函数y?f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，其图像

经过点(a,a)，则f(x)?

（ ）

A. log2x B. log1x C.

212 D. x x2

16

函数题库

答案 B

解析 f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?

1

，所以f(x)?log1x，选B. 2213.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是

（ ）

A. 在t1时刻，甲车在乙车前面 B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面 答案 A

解析 由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设a＜b,函数y?(x?a)2(x?b)的图像可能是

（ ）

答案 C

解析 y?(x?a)(3x?2a?，由b)y?0得x?a,x?大值0，当x?//2a?b，∴当x?a时，y取极32a?b时y取极小值且极小值为负。故选C。 3或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C 15.（2009安徽卷文）设

，函数

的图像可能是

（ ）

17

函数题库

答案 C

解析 可得x?a,x?b为y?(x?a)2(x?b)?0的两个零解. 当x?a时,则x?b?f(x)?0

当a?x?b时,则f(x)?0,当x?b时,则f(x)?0.选C。

?x2?3x?416.（2009江西卷文）函数y?的定义域为 （ ）

xA．[?4,1] B．[?4,0) C．(0,1] D．[?4,0)?(0,1]

答案 D 解析 由?x?0得?4?x?0或0?x?1,故选D. 2??x?3x?4?0?17.（2009江西卷文）已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有

f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时，f(x)?log2(x?1，则f(?2008)?f(2009)的）值为 A．?2 B．?1 C．1 D．2 答案 C

（ ）

2解析 f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log12?log2?1,故选C.

y18.（2009江西卷文）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V?V(t)的图象 P(x,y)O大致为 ( )

Q(x,0)x

18

V(t)函数题库 V(t)V(t)V(t) O 答案 B

解析 由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B. 19.（2009江西卷理）函数y?A B C D OtOOtttln(x?1)?x?3x?42的定义域为 ( )

A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,1] 答案 C 解析 由??x?1?0?x??1???1?x?1.故选C ?2??x?3x?4?0??4?x?120.（2009江西卷理）设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点

(s,f(t))(s,t?D)构成一个正方形区域，则a的值为

( )

A．?2 B．?4 C．?8 D．不能确定答案 B

b2?4ac4ac?b2解析 |x1?x2|?fmax(x)，，|a|?2?a，a??4，选B ?2a4a?x2?4x?6,x?021.（2009天津卷文）设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的解集是（ ）

?x?6,x?0A.(?3,1)?(3,??) C.(?1,1)?(3,??)

B.(?3,1)?(2,??) D.(??,?3)?(1,3)

答案 A

解析 由已知，函数先增后减再增 当x?0，f(x)?2f(1)?3令f(x)?3,

19

函数题库

解得x?1,x?3。

当x?0，x?6?3,x??3

故f(x)?f(1)?3 ，解得?3?x?1或x?3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.（2009天津卷文）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 A.f(x)?0

( )

2B.f(x)?0 C.f(x)?x D.f(x)?x

答案 A

解析 由已知，首先令x?0 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数y?1?ax1(x?R,且x??)的反函数是( ) 1?axa1?ax11?ax1(x?R,且x??) B、y?(x?R,且x??) A、y?1?axa1?axaC、y?1?x1?x(x?R,且x?1) D、y?(x?R,且x??1)

a(1?x)a(1?x)1?ax1(x?R,且x??)，从中解得 1?axa答案 D

解析 由原函数是y?x?1?y1?y(y?R,且y??1)即原函数的反函数是x?(y?R,且y??1)，故选

a(1?y)a(1?y)择D

24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 答案 D

解析 由题意可知球的体积为V(t)?4?R3(t)，则c?V'(t)?4?R2(t)R'(t)，由此可 3c?4?R(t)，而球的表面积为S(t)?4?R2(t)， 'R(t)R(t)所以v表＝S(t)?4?R(t)?8?R(t)R(t)，

'2'

20

函数题库

即v表＝8?R(t)R(t)＝2?4?R(t)R(t)＝''2c2c'，故选 R(t)＝'R(t)R(t)R(t)25.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B. 答案 A

解析 若x≠0，则有f(x?1)?52 ( )

15 C. 1 D. 221?x1f(x)，取x??，则有： x21112f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则 f()?f(??1)?122222?2111f(?)?f() ）由此得f()?0于是

222311?1?532f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 f()?f(?1)?32223232312222b26.（2009福建卷理）函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??对称。据此

2a1?可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m?f(x)??nf(x)?p?0的解集都不可能是

( )

2A. ?1,2? B ?1,4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64? 答案 D

解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程m[f(x)]?nf(x)?P?0中m,n,p分别赋值求出f(x)代入f(x)?0求出检验即得.

27.（2009辽宁卷文）已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 （A）（

( )

21312121212，） B.［，） C.（，） D.［，） 33332323答案 A

解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)

21

函数题库

1),再根据f(x)的单调性 3112 得|2x－1|＜ 解得＜x＜

333 ∴得f(|2x－1|)＜f(

28.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值

设f（x）=min{, x+2,10-x} (x? 0),则f（x）的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 答案 C 29.（2009陕西卷文）函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为（A）f?1 ( )

( )

121x?4(x?0) B.f?1(x)?x2?4(x?2)221212?1?1（C）f(x)?x?2(x?0) (D)f(x)?x?2(x?2)

22(x)?

学科

答案 D 解析 令原式

?1故f(x)?y?f(x)?2x?4(x?2)12x?2(x?2) 故选D. 2y2?4y2则y ?2x?4,即x???2222

30.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有

f(x2)?f(x1)?0.则

x2?x1 ( )

(A)f(3)?f(?2)?f(1) B.f(1)?f(?2)?f(3) C. f(?2)?f(1)?f(3) D.f(3)?f(1)?f(?2) 答案 A

解析 由(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0等价，于

f(x2)?f(x1)?0则f(x)在

x2?x1x1,x2?(??,0](x1?x2)上单调递增, 又f(x)是偶函数,故f(x)在

x1,x2?(0,??](x1?x2)单调递减.且满足n?N*时, f(?2)?f(2), 3>2?1?0,得

f(3)?f(?2)?f(1),故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意 的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0. 则当n?N时,有

*( )

22

函数题库

(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) B.f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

C. C.f(n?1)?f(?n)?f(n?1) D.f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

答案 C

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x?01))

f(x)为偶函数?f(x)在(0，??为减函数]而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

?x2?x1时，f(x2)?f(x在)(??,0]为增函数1)?f(x32.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B. 答案 A

解析 若x≠0，则有f(x?1)?52 ( )

15 C. 1 D. 221?x1f(x)，取x??，则有： x21112f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则 f()?f(??1)?122222?211f(?)?f() ）

221由此得f()?0于是，

2311?1?532f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 f()?f(?1)?322232323122221?33.（2009湖北卷文）函数y?A.y?C.y?1?2x1(x?R,且x??)的反函数是 1?2x2 ( )

1?2x11?2x1(x?R,且x?) B.y?(x?R,且x??) 1?2x21?2x21?x1?x(x?R,且x?1) D.y?(x?R,且x??1)

2(1?x)2(1?x)答案 D

解析 可反解得x?1?y1?x且可得原函数中y∈R、y≠-1所以故f?1(x)2(1?y)2(1?x)

23

函数题库

f?1(x)1?x且x∈R、x≠-1选D

2(1?x)x(x?0) 的图像分别对应1??x34.(2009湖南卷理)如图1，当参数???2时，连续函数y?曲线C1和C2 , 则 ( ) A 0??1?? B 0????1 C

?1??2?0 D ?2??1?0

答案 B

解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函

数在(0,??)是连续的，可知参数?1?0,?2?0，即排除C，D项，又取x?1，知对应函数值y1?11，由图可知y1?y2,所以?1??2，即选B项。 ,y2?1??11??235.(2009湖南卷理)设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，定义函数

( )

?f(x),f(x)?K fk(x)???K,f(x)?K取函数f(x)=2?x?e。若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则( )

?1A．K的最大值为2 B. K的最小值为2

C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 答案 D

解析 由f'(x)?1?e?x0,??)所以x?(??,0)时，f'(x)?0，当x?(?0,知x?0，

时，f'(x)?0，所以f(x)max?f(0)?1,即f(x)的值域是(??,1]，而要使fk(x)?f(x)在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时fk(x)?f(x)。故选D项。

?x2?4x,36.（2009天津卷理）已知函数f(x)??2?4x?x,的取值范围是

x?0x?0

若f(2?a)?f(a),则实数a

( )

2 A (??,?1)?(2,??) B (?1,2) C (?2,1) D (??,?2)?(1,??)

24

函数题库

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

2解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2?a?a，解得?2?a?1，故选择C。

37.（2009四川卷理）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f(f())的值是A.0 B.

52( )

15 C.1 D. 22【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12） 答案 A 解析 令x??11111111，则?f()?f(?)?f()?f()?0；令x?0，则22222222f(0)?0

由xf(x?1)?(1?x)f(x)得f(x?1)?x?1f(x)，所以 x535353515f()?2f()?f()??2f()?0?f(f())?f(0)?0，故选择A。

3223231222238.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y?1 有相同定义域的是 x ( )

A .f(x)?lnx B.f(x)?答案 A

解析 解析 由y?1 C. f(x)?|x| D.f(x)?ex x11可得定义域是x?0.f(x)?lnx的定义域x?0；f(x)?的定

xxx义域是x≠0；f(x)?|x|的定义域是x?R;f(x)?e定义域是x?R。故选A.

39.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数f?x?的部分图像如右图所示，则在??2,0?上，下列函数中与f?x?的单调性不同的是

2

( )

A．y?x?1 B. y?|x|?1

25

函数题库

C. y???2x?1,x?0?x?1,x?03

x??e,x?oD．y???x

??e,x?0答案 C

解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，注意到要与f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调递增。而函数

y?x2?1在???,1?上递减；函数y?x?1在???,0?时单调递减；函数

?2x?1,x?0在（??,0]上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增， y??3?x?1,x?0x??e,x?0?x显然符合题意；而函数y???x，有y’=-e<0(x<0),故其在（??,0]上单调递减，

??e,x?0不符合题意，综上选C。

40.（2009重庆卷文）把函数f(x)?x?3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移

3v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v

的最小值为

A．2 B．4 答案 B

C．6

D．8

（ ）

解析 根据题意曲线C的解析式为y?(x?u)?3(x?u)?v,则方程

31(x?u)3?3(x?u)?v?x3?3x，即3ux2(u3?3u?v)?0，即v??u3?3u对任意

4131u?0 恒成立，于是v??u?3u的最大值，令g(u)??u3?3u(u?0),则 44u?0 g((u)??3u2?3??3(u?2)(u?2)由此知函数g(u)在（0，2）上为增函数，

44在(2,??)上为减函数，所以当u?2时，函数g(u)取最大值，即为4，于是v?4。 41.（2009重庆卷理）若f(x)?答案

1?a是奇函数，则a? ． x2?11 212x?a??a,f(?x)??f(x) 解析 解法1f(?x)??x2?11?2x

26

函数题库

2x112x1??a??(?a)?2a???1故a?1?2x2x?11?2x1?2x2

42（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 答案

3x?1 解析 由y＝x3+1，得x＝3y?1，将y改成x，x改成y可得答案。

?3x,x?1,44（2009北京文）已知函数f(x)??若f(x)?2，则x? .

??x,x?1,.w.w.s.5 答案 log32

5.u.c.w 解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由??x?1?x?1，无解，故应填log32. ?x?log2?3x??x?2?x??2?3?2?1,x?0?1?x45.（2009北京理）若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为____________.

3?(1)x,x?0??3答案 ??3,1?

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算

的考查.

?x?01? （1）由|f(x)|???11??3?x?0.

3???x3?x?0?x?01??xx （2）由|f(x)|????1?1???1?1?0?x?1.

3????????3??3?3??3?1的解集为?x|?3?x?1，∴应填??3,1?. ?35?1x46.（2009江苏卷）已知a?，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，

2 ∴不等式|f(x)|?则m、n的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。

27

函数题库

a?5?1?(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减。由f(m)?f(n)得：m0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1?x2?x3?x4?_________.

答案 -8

解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知

f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,

所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12x3?x4?4所以x1?x2?x3?x4??12?4??8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有

f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

28

函数题库

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④

解析 ①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新 颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x) x(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点. 解 （1）设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b；

2 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ? ?g??1??a?b?c1?2? f?x??b??1 ， b?2 2 c?m； ?c?m，1?g?x?m?x??2， 设P?xo,yo? xx

29

函数题库

则PQ?x0??y0?2?222?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m2?2

x0?x0?2 ?22 m??m2?2?4 （2）由y?f?x??kx??1?k?x?2； 2m?2?0， x 得 ?1?k?x2?2x?m?0 ?*?

mm，函数y?f?x??kx有一零点x??； 221 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1?，

m 当k?1时，方程?*?有一解x?? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；若m?0，

k?1?1?2?4?4m?1?k?1?1?m?1?k?，函数y?f?x??kx有两个零点x?； ?m2?1?k?k?1, k?1?0 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??1, 函数mx?y?f?xx??k有一零点

1 k?149.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x)?x3?(k2?k?1)x2?5x?2，

g(x)?k2x2?kx?1，

其中k?R．

（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．．

?g(x),x?0, （II）设函数q(x)?? 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一

f(x),x?0.?的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．

解 （I）因P(x)?f(x)?g(x)?x?(k?1)x?(k?5)?1，

所以p??x??0在p??x??3x2?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，．．．．

32?0,3?上有实数解，且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x2?2x?5),

(3x2?2x?5)3?910??k??????2x?1????，令t?2x?1,有t??1,7?，记

2x?14?2x?13?

30

函数题库

9h(t)?t?,则h?t?在?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有h?t???6,10?，

t于是?2x?1??9??6,10?，得k???5,?2?，而当k??2时有p??x??0在?0,3? 2x?1上有两个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?； （II）当x?0时有q??x??f??x??3x2?2(k2?k?1)x?5；

当x?0时有q??x??g??x??2k2x?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0， 下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递增，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有k?5，（ⅱ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此k?5，综合（ⅰ）（ⅱ）k?5；

当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．

7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若(2)求

f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； 直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的f(x),x?(a,??)，．．．．

(3)设函数h(x)?解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

?a?0（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a??1

?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3

31

函数题库

当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min22??2a2,a?0?f(?a),a?0?????2

f(a),a?0???2a,a?0 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，

??4a2?12(a2?1)?12?8a2

当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0,得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262当a?(?,?)时，解集为(a,]?[,??);

2233a?3?2a222当a?[?,]时，解集为[,??).

22350.（2009年上海卷理）已知函数y?f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a?0)，函数y?f(x?a)与y?f?1；若函数(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”

。 y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”（1） 判断函数g(x)?x?1(x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”。求y?f(x)的表达式。 解 （1）函数g(x)?x?1(x?0)的反函数是g?1(x)?22x?1(x?1)

?g?1(x?1)?x(x?0)

而g(x?1)?(x?1)?1(x??1),其反函数为y?故函数g(x)?x?1(x?0)不满足“1和性质”

22x?1?1(x?1)

32

函数题库

（2）设函数f(x)?kx?b(x?R)满足“2和性质”，k?0.

?f?1(x)?x?bx?2?b(x?R),?f?1(x?2)?…….6分 kkx?b?2k而f(x?2)?k(x?2)?b(x?R),得反函数y?………….8分

kx?2?bx?b?2k由“2和性质”定义可知=对x?R恒成立

kk?k??1,b?R,即所求一次函数为f(x)??x?b(b?R)………..10分

（3）设a?0，x0?0，且点(x0,y0)在y?f(ax)图像上，则(y0,x0)在函数y?f?1(ax)图象上，

故

．．．．．12分 f(ax0)?y0，可得ay0?f(x0)?af(ax0)， ．

f?1(ay0)?x0

令ax0?x，则a?

xf(x0)xx。?f(x0)?。 ．．．．．．14分 f(x)，即f(x)?0xx0x0综上所述，1?b1qn?1?bnf(x)?而f?1kkk(k?0)，此时f(ax)?，其反函数就是y?，

axxax(ax)?k?1，故y?f(ax)与y?f(ax)互为反函数 。 ax2005—2008年高考题

一、选择题

2? x≤1，?1?x，1.（2008年山东文科卷）设函数f(x)??2则

??x?x?2，x?1，?1?f??的值为（ ） ?f(2)?D．18

A．

15 16

B．?27 16 C．

8 9

答案 A

2.（07天津）在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?

是减函数，则函数f?x?

（ ）

A.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是减函数

33

函数题库

C.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数 答案 B

3. (07福建)已知函数f?x?为R上的减函数，则满足f??是

?1?x????f?1?的实数x的取值范围 ?

（ ）

A.??1,1? C.??1,0???0,1? 答案 C

B.?0,1?

D.???,?1???1,???

4.(07重庆)已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则

（ ）

A.f?6??f?7? B. f?6??f?9? D. f?7??f?10?

C. f?7??f?9?

答案 D

5.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 A.y? ( )

3|x?1| (0≤x≤2) 233B.y??|x?1| (0≤x≤2)

223C.y??|x?1| (0≤x≤2)

2D.y?1?|x?1| (0≤x≤2)

答案 B

6.（2005年上海13）若函数f(x)?1，则该函数在(??,??)上是 2x?1（ ）

A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 答案 A 二、填空题

7.（2007上海春季5）设函数y?f(x)是奇函数. 若f(?2)?f(?1)?3?f(1)?f(2)?3

则f(1)?f(2)? .

答案 ?3

8.（2007年上海）函数y?lg(4?x)的定义域是 ．

x?334

函数题库

答案 xx?4且x?3

9.（2006年安徽卷）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2????1，若f?1???5,f?x?

则f?f?5???_______________。

15答案 - 解析 f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。

f(?1?2)510.（2006年上海春）已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，

f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? .

答案 -x-x

三、解答题

11.(2007广东) 已知a是实数，函数f?x??2ax2?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间

4

??1,1?上有零点，求a的取值范围.

解析 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0. 令 ??4?8a?3?a??8a2?24a?4?0, 解得 a??3?7 2 ①当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 ②当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5时，y?f?x?在

??1,1?上也恰有一个零点.

③当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则

a?0a?0?????8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 235

函数题库

综上所求实数a的取值范围是a?1或a??3?5. 2第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

一、选择题

1. (北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)函数y?f(x)的定义域是

???,???，若对于任意的正数a，函数g(x)?数，则函数y?f(x)的图象可能是

f(x?a)?f(x)都是其定义域上的增函

( )

答案 A

2.（2009龙岩一中）函数y?1?x?x?22的定义域是 （ ）

A.(??,?1) B.(?1,2) C.(??,?1)?(2,??) D. (2,??) 答案 B

3.（2009湘潭市一中12月考）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)??f(x?)，且

32f(?2)?f(?1)??1，f(0)?2,f(1)?f(2)?…?f(2008)?f(2009)? （ ）

A.?2 答案 A

B.?1

C.0

D.1

4.（2009广东三校一模）定义在R上的函数f?x?是奇函数又是以2为周期的周期函数,则

f?1??f?4??f?7?等于

( )

C.1 A.-1 B.0

答案 B

D.4

2?x?0?ax?1,f(x)?5.（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测）函数?2ax??(a?1)e,x?0在(??,??)上单调，则的取值范围是

36

( )

函数题库

A．(??,?2]?(1,2] C．(1,2] 答案 A

B．[?2,?1)?[2,??) D．[2,??)

6.（黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）对于函数f(x)?lgx定义域中任意

x1,x2(x1?x2)有如下结论：①f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)；

②f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)； ③ ④f(f(x1)?f(x2)?0；

x1?x2x1?x2f(x1)?f(x2))?。上述结论中正确结论的序号是 ( ) 22 A．② B．②③ C．②③④ D．①②③④

答案 B

7.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知函数

(x?1)?8x?8f(x)??2,g(x)?lnx.则f(x)与g(x)两函数的图像的交点个数

?x?6x?5(x?1)为 A．1 B．2 C．3 答案 B

8.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知

( ）

D．4

f(x)(x?0,x?R)是奇函数,当x?0时,f?(x)?0,且f(?2)?0，则不等式

f(x)?0的解集是

A．（—2，0）

B．(2,??)

D．(??,?2)?(2,??)

（ ）

C．(?2,0)?(2,??) 答案 C

11?x29.（江门市2009年高考模拟考试）设函数f(x)?ln(?)的定义域为M，g(x)?的

x1?x定义域为N，则M?N? ( )

A.xx?0 B.xx?0且x?1 C.xx?0且x??1 D.xx?0且x??1 答案 C

10．（2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科））设f?x??????????1?x，又记 1?x D．

( )

f1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?,则f2009?x??

1x?1A．? B．x C．

x?1x

37

1?x 1?x函数题库

答案 D

11.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数f(x)是奇函数，并且在R上为增函 数，若0≤?≤

?时，f（msin?）＋f（1—m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是( ) 21A．（0，1）B．（－∞，0）C．(??,) D．（－∞，1）

2答案 D

二、填空题

12．（2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数f(x)为R上的奇函数， 当x?0时，f(x)?x(x?1).若f(a)??2，则实数a? . 答案 ?1

13.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)给出定义：若m?11?x?m?(其中m为22整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}?m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)?|x?{x}|的四个命题： ①函数y?f(x)的定义域是R，值域是[0，②函数y?f(x)的图像关于直线x?1]； 2k(k?Z)对称； 2③函数y?f(x)是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数y?f(x)在??,?上是增函数；

22???11?则其中真命题是__ ． 答案 ①②③

?x2,x?014.（安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考）已知函数f?x???，则不

?x?1,x?0等式f?x??4的解集为 答案 (??,2)?(3,??)

?x?2(x??1)?2(?1?x?2)，则15.(北京市石景山区2009年4月高三一模理)函数f(x)??x?2x(x?2)?13f(?)?________，若f(a)?，则实数a的取值范围是

22

38

函数题库

答案 ；(??,?)?(?123222，) 2216. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)设a为常数，f(x)=x2-4x+3. 若函数f(x+a)为偶函数，则a=__________；f(f(a))=_______. 答案 2,8 17.（2009丹阳高级中学一模）若函数y?mx2?x?5在??2,??)上是增函数，则m的取 值范围是____________。 答案 0?m?三、解答题

18.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数f(x)?x?1?x?2。 （1）画出函数y=f(x)的图像；

（2）若不等式a?b?a?b?af(x)，（a?0,a、b?R）恒成立，求实数x的范围。

?2x?3 (x?2)?解：(1)f(x)??1 (1?x?2)

?3?2x (x?1)?y 14

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得

|a?b|?|a?b|?f(x)

|a||a?b|?|a?b||a?b?a?b|??2

|a||a|1 1 2 x 又因为

则有2≥f(x)

解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得

15?x? 222007—2008年联考题

一、选择题

1.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数f(x)满足

f(x?1)??f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a?f(3)， b?f(2)，c?f(2)，

则a,b,c大小关系是

( )

A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a 答案 D

39

D．c?b?a

函数题库

2.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数y?1?x?A．奇函数

B.偶函数 D.非奇非偶函数

x?1是 ( )

C.既是奇函数又是偶函数 答案 D

3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R上的函数，且在 (-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是

( )

A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 ∞，+∞)上是减函数

答案 A

4.(广东省2008届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积

D.偶函数，且在(-

y(m2)与时间t(月)的关系: y?f(t)?at, 有以下叙述:

①这个指数函数的底数为2;

②第5个月时, 浮萍面积就会超过30m; ③浮萍从4m蔓延到12m需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等;

⑤若浮萍蔓延到2m, 3m, 6m所经过的时间分别是t1,t2,t3, 则t1?t2?t3.其中正确的是

( )

222222 A.①② B.①②③④ 答案 D

C.②③④⑤ D. ①②⑤

5.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）.映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一 个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为

（ ）

A.24 B.6 答案 C 二、填空题

C.36 D.72

6.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）若对于任意a?[-1,1], 函数f(x) = x+ (a －4)x + 4－2a的值恒大于零, 则x的取值范围是 答案 （??,1)?(3,?)

7.(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数f(x)?|x?ax?b|(x?R,b?0)，给

40

22

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